Эллиптическая функция

Эллиптическая функция — в комплексном анализе периодическая в двух направлениях функция, заданная на комплексной плоскости. Эллиптические функции можно рассматривать как аналоги тригонометрических (имеющих только один период). Исторически, эллиптические функции были открыты как функции, обратные эллиптическим интегралам.

Определение

Эллиптической функцией называют такую мероморфную функцию <math>f</math>, определённую на области <math>\mathbb{C}</math>, для которой существуют два ненулевых комплексных числа <math>a</math> и <math>b</math>, таких что:

<math>f(z + a) = f(z + b) = f(z), \forall z \in C</math>

а также частное <math>\frac{a}{b}</math> не является действительным числом.

Из этого следует, что для любых целых <math>m</math> и <math>n</math>:

<math>f(z + ma + nb) = f(z), \forall z \in C</math>.

Любое комплексное число <math>\omega</math>, такое что

<math>f(z + \omega) = f(z), \forall z \in C</math>,

называют периодом функции <math>f</math>. Если периоды <math>a</math> и <math>b</math> таковы, что любое <math>\omega</math> может быть записано как:

<math>\omega = ma + nb</math>,

то <math>a</math> и <math>b</math> называют фундаментальными периодами. Каждая эллиптическая функция обладает парой фундаментальных периодов.

Параллелограмм <math>\Pi</math> с вершинами в <math>0</math>, <math>a</math>, <math>b</math>, <math>a+b</math> называется Фундаментальным параллелограммом.

Свойства

• Не существует отличных от констант целых эллиптических функций. (Первая теорема Лиувилля)

• Если эллиптическая функция <math>f(z)</math> не имеет полюсов на границе параллелограмма <math>\alpha+\Pi</math>, то сумма вычетов <math>f(z)</math> во всех полюсах, лежащих внутри <math>\alpha+\Pi</math> равна нулю. (Вторая теорема Лиувилля)

• Любая эллиптическая функция с периодами <math>a</math> и <math>b</math> может быть представлена в виде

<math>f(z)=h(\wp (z))+g(\wp (z)){\wp}'(z)</math>

Где h, g — рациональные функции, <math>\wp(z)</math> — функция Вейерштрасса с теми же периодами, что и у <math>f(z)</math>. Если при этом <math>f(z)</math> является чётной функцией, то её можно представить в виде <math>f(z)=h(\wp (z))</math>, где h рациональна.

• Эллиптические функции неэлементарны, это было доказано Якоби в 1830-х годах.

См. также

• Эллиптические функции Вейерштрасса
• Эллиптические функции Якоби
• Гиперболические функции

Литература

1. Э. Кнэпп. Эллиптические кривые. М.: Факториал Пресс, 2004 год. § 6.2 Эллиптические функции.
2. И. И. Привалов. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Государственное издание физико-математической литературы, 1960 год. Глава 11.

Отрывок, характеризующий Эллиптическая функция

– Покажу, покажу, это не секрет. А за лошадь благодарить будете.
– Так я велю привести лошадь, – сказал Ростов, желая избавиться от Телянина, и вышел, чтобы велеть привести лошадь.
В сенях Денисов, с трубкой, скорчившись на пороге, сидел перед вахмистром, который что то докладывал. Увидав Ростова, Денисов сморщился и, указывая через плечо большим пальцем в комнату, в которой сидел Телянин, поморщился и с отвращением тряхнулся.
– Ох, не люблю молодца, – сказал он, не стесняясь присутствием вахмистра.
Ростов пожал плечами, как будто говоря: «И я тоже, да что же делать!» и, распорядившись, вернулся к Телянину.
Телянин сидел всё в той же ленивой позе, в которой его оставил Ростов, потирая маленькие белые руки.
«Бывают же такие противные лица», подумал Ростов, входя в комнату.
– Что же, велели привести лошадь? – сказал Телянин, вставая и небрежно оглядываясь.
– Велел.
– Да пойдемте сами. Я ведь зашел только спросить Денисова о вчерашнем приказе. Получили, Денисов?
– Нет еще. А вы куда?
– Вот хочу молодого человека научить, как ковать лошадь, – сказал Телянин.
Они вышли на крыльцо и в конюшню. Поручик показал, как делать заклепку, и ушел к себе.
Когда Ростов вернулся, на столе стояла бутылка с водкой и лежала колбаса. Денисов сидел перед столом и трещал пером по бумаге. Он мрачно посмотрел в лицо Ростову.
– Ей пишу, – сказал он.
Он облокотился на стол с пером в руке, и, очевидно обрадованный случаю быстрее сказать словом всё, что он хотел написать, высказывал свое письмо Ростову.
– Ты видишь ли, дг'уг, – сказал он. – Мы спим, пока не любим. Мы дети пг`axa… а полюбил – и ты Бог, ты чист, как в пег'вый день создания… Это еще кто? Гони его к чог'ту. Некогда! – крикнул он на Лаврушку, который, нисколько не робея, подошел к нему.
– Да кому ж быть? Сами велели. Вахмистр за деньгами пришел.
Денисов сморщился, хотел что то крикнуть и замолчал.
– Сквег'но дело, – проговорил он про себя. – Сколько там денег в кошельке осталось? – спросил он у Ростова.
– Семь новых и три старых.
– Ах,сквег'но! Ну, что стоишь, чучела, пошли вахмистг'а, – крикнул Денисов на Лаврушку.
– Пожалуйста, Денисов, возьми у меня денег, ведь у меня есть, – сказал Ростов краснея.
– Не люблю у своих занимать, не люблю, – проворчал Денисов.
– А ежели ты у меня не возьмешь деньги по товарищески, ты меня обидишь. Право, у меня есть, – повторял Ростов.
– Да нет же.
И Денисов подошел к кровати, чтобы достать из под подушки кошелек.