Эллиптические функции Якоби

Эллиптические функции Якоби — это набор основных эллиптических функций комплексного переменного, и вспомогательных тэта-функций, которые имеют прямое отношение к некоторым прикладным задачам (например, уравнение маятника). Они также имеют полезные аналогии с тригонометрическими функциями, как показывает соответствующее обозначение <math>\operatorname{\mathrm{sn}}</math> для <math>\sin</math>. Они не дают самый простой способ развить общую теорию, как замечено недавно: это может быть сказано на основе эллиптических функций Вейерштрасса. Эллиптические функции Якоби имеют в основном параллелограмме по два простых полюса и два простых нуля.

Введение

Существует эллиптическая функция, имеющая в основном параллелограмме один полюс второго порядка и два простых нуля; это — «эллиптическая функция Вейерштрасса». Впрочем, более полезны «эллиптические функции Якоби», имеющие по два простых полюса и по два простых нуля в каждом основном параллелограмме. Каждая из этих функций в основном параллелограмме принимает любое значение в точности два раза.

Обозначение

Для эллиптических функций можно встретить разнообразные обозначения, которые могут запутать суть дела. Эллиптические функции — функции двух переменных. Первую переменную можно дать в терминах амплитуды φ, или обычно, в терминах u, данного ниже. Вторую переменную можно было бы дать в терминах параметра m, или как эллиптический модуль k, где k ² = m, или в терминах модулярного угла <math>o\!\varepsilon</math>, где <math>m=\sin^2o\!\varepsilon</math>.

Определение как обратные к эллиптическим интегралам

Приведённое выше определение в терминах мероморфных функций абстрактно. Существует более простое, но абсолютно эквивалентное определение, задающее эллиптические функции как обратные к неполному эллиптическому интегралу первого рода. Пусть

<math>u=\int\limits_0^\phi \frac{d\theta} {\sqrt {1-m \sin^2 \theta}}. </math>

Эллиптическая функция sn u задаётся как

<math>\operatorname {sn}\; u = \sin \phi</math>

и cn u определяется

<math>\operatorname {cn}\; u = \cos \phi</math>

а

<math>\operatorname {dn}\; u = \sqrt {1-m\sin^2 \phi}.</math>

Здесь угол <math>\phi</math> называется амплитудой. <math>\operatorname {dn}\; u = \Delta(u)</math> называется дельта амплитудой. Значение m является свободным параметром, который полагается реальным в диапазоне <math>0\leq m \leq 1</math>, и таким образом эллиптические функции являются функциями двух аргументов: амплитуды <math>\phi</math> и параметра m.

Оставшиеся девять эллиптических функций легко построить из трёх вышеприведённых. Это будет сделано ниже.

Заметьте, что когда <math>\phi=\pi/2</math>, то u равен четверти периода K.

Определение в терминах тэта-функций

Эквивалентно эллиптические функции Якоби можно определить в терминах θ-функций. Если мы определим <math>\vartheta(0;\tau)</math> как <math>\vartheta</math>, и <math>\vartheta_{01}(0;\tau), \vartheta_{10}(0;\tau), \vartheta_{11}(0;\tau)</math> соответственно как <math>\vartheta_{01}, \vartheta_{10}, \vartheta_{11}</math> (тэта константы) тогда эллиптический модуль k равен <math>k=({\vartheta_{10} \over \vartheta})^2</math>. полагая <math>u = \pi \vartheta^2 z</math>, получим

<math>\mbox{sn}(u; k) = -{\vartheta \vartheta_{11}(z;\tau) \over \vartheta_{10} \vartheta_{01}(z;\tau)}</math>

<math>\mbox{cn}(u; k) = {\vartheta_{01} \vartheta_{10}(z;\tau) \over \vartheta_{10} \vartheta_{01}(z;\tau)}</math>

<math>\mbox{dn}(u; k) = {\vartheta_{01} \vartheta(z;\tau) \over \vartheta \vartheta_{01}(z;\tau)}</math>

Поскольку функции Якоби определяются в терминах эллиптического модуля <math>k(\tau)</math>, необходимо найти обратные к ним и выразить τ в терминах k. Начнём с дополнительного модуля <math>k' = \sqrt{1-k^2}</math>. Как функция τ запишем

<math>k'(\tau) = ({\vartheta_{01} \over \vartheta})^2.</math>

Введём обозначение

<math>\ell = {1 \over 2} {1-\sqrt{k'} \over 1+\sqrt{k'}} =

{1 \over 2} {\vartheta - \vartheta_{01} \over \vartheta + \vartheta_{01}}.</math>

Определим также ном q как <math>q = \exp (\pi i \tau)</math> и разложим <math>\ell</math> в ряд по степеням нома q. Получим

<math>\ell = {q+q^9+q^{25}+ \cdots \over 1+2q^4+2q^{16}+ \cdots}.</math>

Обращение ряда даёт

<math>q = \ell+2\ell^5+15\ell^9+150\ell^{13}+1707\ell^{17}+20910\ell^{21}+268616\ell^{25}+\cdots.</math>

Поскольку мы можем рассмотреть частный случай когда мнимая часть τ больше или равна <math>\sqrt{3}/2</math>, мы можем сказать, что значение q меньше или равно <math>\exp(-\pi \sqrt{3}/2)</math>. Для таких малых значений вышеприведённый ряд сходится очень быстро, и это позволяет легко найти подходящее значение для q.

Другие функции

Изменением порядка двух букв в названии функций обычно обозначают обратные к трём функциям приведённых выше:

<math>

\operatorname{ns}(u)=1/\operatorname{sn}(u) </math>

<math>

\operatorname{nc}(u)=1/\operatorname{cn}(u) </math>

<math>

\operatorname{nd}(u)=1/\operatorname{dn}(u) </math>

Отношения трех главных функций обозначают первой буквой числителя, следующей перед первой буквой знаменателя:

<math>

\operatorname{sc}(u)=\operatorname{sn}(u)/\operatorname{cn(u)} </math>

<math>

\operatorname{sd}(u)=\operatorname{sn}(u)/\operatorname{dn(u)} </math>

<math>

\operatorname{dc}(u)=\operatorname{dn}(u)/\operatorname{cn(u)} </math>

<math>

\operatorname{ds}(u)=\operatorname{dn}(u)/\operatorname{sn(u)} </math>

<math>

\operatorname{cs}(u)=\operatorname{cn}(u)/\operatorname{sn(u)} </math>

<math>

\operatorname{cd}(u)=\operatorname{cn}(u)/\operatorname{dn(u)} </math>

Более кратко запишем

<math>\operatorname{pq}(u)=\frac{\operatorname{pr}(u)}{\operatorname{qr(u)}}</math>

где все буквы p, q, и r являются любыми буквами s, c, d, n (следует помнить, что ss = cc = dd = nn = 1).

Дополнительные теоремы

Функции удовлетворяют двум алгебраическим соотношениям

<math>\operatorname{cn}^2 + \operatorname{sn}^2 = 1,</math>

<math>\operatorname{dn}^2 + k^2 \operatorname{sn}^2 = 1.</math>

Видно, что (cn, sn, dn) параметризует эллиптическую кривую, которая является пересечением двух квадрик определенной вышеупомянутыми двумя уравнениями. Мы теперь можем определить групповой закон для точек на этой кривой с помощью дополнительных формул для функций Якоби

<math>\operatorname{cn}(x+y) =

{\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y) - \operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y) \over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x) \;\operatorname{sn}^2 (y)}}, </math>

<math>\operatorname{sn}(x+y) =

{\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{cn}(y)\;\operatorname{dn}(y) + \operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{dn}(x) \over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}}, </math>

<math>\operatorname{dn}(x+y) =

{\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y) - k^2 \;\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y) \over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}}. </math>

Тригонометрические и гиперболические функции, как частный случай эллиптических

• Если m = 1, то

<math>u = \int\limits_0^\varphi \frac{d\theta}{\sqrt{1-\sin^2{\theta}}} = \operatorname{ln}\left(\frac{1}{\cos\varphi} - \operatorname{tg}\varphi\right)</math>;

Отсюда

<math>\sin\varphi = \operatorname{sn}\,u = \frac{e^u-1}{e^u+1} = \operatorname{th}\,u</math>

Отсюда

<math>\operatorname{cn}\,u = \sqrt{1-\operatorname{sn}^2\,u} = \frac{1}{\operatorname{ch}\,u}</math>

и

<math>\operatorname{dn}\,u = \sqrt{1-\operatorname{sn}^2\,u} = \frac{1}{\operatorname{ch}\,u}</math>

Таким образом, при m = 1 эллиптические функции вырождаются в гиперболические.

• Если m = 0, то

<math>u = \int\limits_0^\varphi d\theta = \varphi</math>;

Отсюда

<math>\sin\varphi = \sin\,u = \operatorname{sn}\,u</math>,

а также

<math>\operatorname{cn}\,u = \cos\,u</math>,

<math>\operatorname{dn}\,u = 1</math>,

Таким образом, при m = 0 эллиптические функции вырождаются в тригонометрические.

Соотношение между квадратами функций

Для квадратов этих функций верны следующие соотношения

<math>

-\operatorname{dn}^2(u)+m_1= -m\;\operatorname{cn}^2(u) = m\;\operatorname{sn}^2(u)-m </math>

<math>

-m_1\;\operatorname{nd}^2(u)+m_1= -mm_1\;\operatorname{sd}^2(u) = m\;\operatorname{cd}^2(u)-m </math>

<math>

m_1\;\operatorname{sc}^2(u)+m_1= m_1\;\operatorname{nc}^2(u) = \operatorname{dc}^2(u)-m </math>

<math>

\operatorname{cs}^2(u)+m_1=\operatorname{ds}^2(u)=\operatorname{ns}^2(u)-m </math>

где <math>m+m_1=1</math> и <math>m=k^2</math>.

Дополнительные равенства для квадратов можно получить если заметить, что <math>\operatorname{pq}^2 \cdot \operatorname{qp}^2 = 1</math>, а также <math>\operatorname{pq}=\operatorname{pr}/\operatorname{qr}</math> где p, q, r — любые буквы s, c, d, n и ss = cc = dd = nn = 1.

Ном

Пусть ном равен <math>q=\exp(-\pi K'/K)</math> и пусть аргумент — <math>v=\pi u /(2K)</math>. Тогда функции можно представить в виде сумм Ламберта

<math>\operatorname{sn}(u)=\frac{2\pi}{K\sqrt{m}}

\sum_{n=0}^\infty \frac{q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}} \sin (2n+1)v,</math>

<math>\operatorname{cn}(u)=\frac{2\pi}{K\sqrt{m}}

\sum_{n=0}^\infty \frac{q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}} \cos (2n+1)v,</math>

<math>\operatorname{dn}(u)=\frac{\pi}{2K} + \frac{2\pi}{K}

\sum_{n=1}^\infty \frac{q^{n}}{1+q^{2n}} \cos 2nv.</math>

Решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

Производные трёх основных эллиптических функций Якоби записываются в виде:

<math>

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{sn}\,(z; k) = \mathrm{cn}\,(z;k)\, \mathrm{dn}\,(z;k),</math>

<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{cn}\,(z; k) = -\mathrm{sn}\,(z;k)\, \mathrm{dn}\,(z;k),</math>

<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{dn}\,(z; k) = - k^2 \mathrm{sn}\,(z;k)\, \mathrm{cn}\,(z;k).

</math>

Используя теорему, формулировка которой приведена выше получим для заданного k (0 < k < 1) уравнения решениями которых являются эллиптические функции Якоби:

• <math>\mathrm{sn}\,(x;k)</math> является решением уравнения <math>\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + (1+k^2) y - 2 k^2 y^3 = 0,</math> и <math> \left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (1-y^2) (1-k^2 y^2)</math>

• <math>\mathrm{cn}\,(x;k)</math> является решением уравнения <math>\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + (1-2k^2) y + 2 k^2 y^3 = 0,</math> и <math> \left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (1-y^2) (1-k^2 + k^2 y^2)</math>

• <math>\mathrm{dn}\,(x;k)</math> является решением уравнения <math>\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} - (2 - k^2) y + 2 y^3 = 0,</math> и <math> \left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (y^2 - 1) (1 - k^2 - y^2)</math>

Ссылки

• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/JacobiEllipticFunctions.html Jacobi Elliptic Functions] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• [beshenov.ru/mh/09.xml Эллиптические функции // Двайт Г. Б., Таблицы интегралов и другие математические формулы] (MathML)
• [elliptic.googlecode.com/ Эллиптические функции], Процедуры для Matlab

Литература

• Бобылёв Д. К.,. Эллиптические интегралы и функции // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Abramowitz Milton. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover. — ISBN ISBN 0-486-61272-4. See [www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_569.htm Chapter 16]

• Н. И. Ахиезер. Элементы теории эллиптических функций. — Москва: Наука, 1970.

• Дж. Н. Ватсон Э. Т. Уиттекер. Курс современного анализа. Ч.2. Трансцендентные функции. — Москва: Мир, 1963. или Москва: УРСС, 2010