Квадрика
Ква́дрика или квадри́ка — n-мерная гиперповерхность в n+1-мерном пространстве, заданная как множество нулей многочлена второй степени. Если ввести координаты {x1, x2, ..., xn+1} (в евклидовом или аффинном пространстве), общее уравнение квадрики имеет вид[1]
- <math>
\sum_{i,j=1}^{n+1} x_i Q_{ij} x_j + \sum_{i=1}^{n+1} P_i x_i + R = 0. </math>
Это уравнение можно переписать более компактно в матричных обозначениях:
- <math>
x Q x^T + P x^T + R = 0</math>
где x = {x1, x2, ..., xn+1} — вектор-строка, xT — транспонированный вектор, Q — матрица размера (n+1)×(n+1) (предполагается, что хотя бы один её элемент ненулевой), P — вектор-строка, а R — константа. Наиболее часто рассматривают квадрики над действительными или комплексными числами. Определение можно распространить на квадрики в проективном пространстве, см. ниже.
Более общо, множество нулей системы полиномиальных уравнений известно как алгебраическое многообразие. Таким образом, квадрика является (аффинным или проективным) алгебраическим многообразием второй степени и коразмерности 1.
Содержание
Квадрики в евклидовом пространстве
Квадрики на евклидовой плоскости соответствуют случаю n = 1, то есть являются кривыми. Обычно их называют не квадриками, а кониками или коническими сечениями.
Квадрики в (трёхмерном действительном) евклидовом пространстве имеют размерность n = 2 и называются поверхностями второго порядка. Проведя ортогональную замену базиса, любую квадрику в евклидовом пространстве можно привести к нормальной форме. В трёхмерном евклидовом пространстве существует 17 таких форм.[2] Из них 5 являются невырожденными (то есть соответствующая им билинейная форма <math>Q</math> является невырожденной). Вырожденные формы включают в себя плоскости, прямые, точки и даже квадрики без действительных точек.[3]
| Невырожденные действительные квадрики в евклидовом пространстве | ||
|---|---|---|
| Эллипсоид | <math>{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 1</math> | 
|
| Эллиптический параболоид | <math>{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - z = 0</math> | 
|
| Гиперболический параболоид | <math>{x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} - z = 0</math> | 
|
| Однополостный гиперболоид | <math>{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 1</math> | 
|
| Двуполостный гиперболоид | <math>{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = - 1</math> | 
|
Аффинное и проективное пространство
Классификация квадрик в трёхмерном аффинном пространстве совпадает с классификацией квадрик в евклидовом пространстве.[4] Различие состоит в том, что любые две квадрики из одного класса можно перевести друг в друга аффинным преобразованием, тогда как соответствующее ортогональное преобразование существует не всегда (например, эллипсоид <math>x^2+y^2+z^2=1</math> невозможно перевести движением в эллипсоид <math>2x^2+2y^2+2z^2=1</math>).
От квадрики в аффинном пространстве можно перейти к квадрике в проективном пространстве, введя однородные координаты. Пусть в аффинном пространстве введены координаты <math>(x_1,x_2,\ldots x_{n+1}),</math> тогда в уравнении квадрики достаточно домножить линейные члены на <math>x_0,</math> а свободный член на <math>x_0^2.</math> Уравнение проективной квадрики в однородных координатах имеет вид
- <math>Q(x)=\sum_{ij} a_{ij}x_ix_j=0.</math>
Без ограничения общности можно считать, что матрица <math>Q</math> симметрична, то есть <math>a_{ij}=a_{ji}.</math> Проективная квадрика называется невырожденной, если соответствующая ей квадратичная форма невырождена.
В действительном проективном пространстве, согласно закону инерции квадратичных форм, любую невырожденную квадратичную форму можно (проективным преобразованием) привести к виду
- <math>Q(x) = \pm x_0^2 \pm x_1^2 \pm\cdots\pm x_{n+1}^2</math>
Поскольку сигнатура квадратичной формы является её инвариантом, в размерности n = 2 существует ровно три класса эквивалентности:
- <math>Q(x) = \begin{cases}
x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2\\ x_0^2+x_1^2+x_2^2-x_3^2\\ x_0^2+x_1^2-x_2^2-x_3^2 \end{cases} </math>
Эллипсоид, эллиптический параболоид и двуполостный гиперболоид принадлежат второму классу, а гиперболический параболоид и однополостный гиперболоид — третьему (последние две квадрики являются примерами линейчатых поверхностей). Ни одна квадрика в действительном проективном пространстве не принадлежит первому классу, так как соответствующее уравнение определяет пустое множество. В комплексном проективном пространстве все невырожденные квадрики эквивалентны.
Произношение термина
В словарях приводится различные ударения: ква́дрика[5] и квадри́ка[6][7]. Распространённым является произношение ква́дрика[8][9][10].
Напишите отзыв о статье "Квадрика"
Литература
- Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 2, стр.795 (статья «Квадрика»). М.: Советская энциклопедия, 1979—1985.
Примечания
- ↑ Silvio Levy. [www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node61.html geom.uiuc.edu Quadrics] (англ.). Geometry Formulas and Facts, excerpted from 30th Edition of the CRC Standard Mathematical Tables and Formulas (CRC Press). Проверено 30 июля 2013.
- ↑ Sameen Ahmed Khan. [indapt.org/images/stories/bulletin2010/bulletin_november_2010.pdf Quadratic Surfaces in Science and Engineering] (англ.). Bulletin of the IAPT, 2(11), 327—330 (November 2010). (Publication of the Indian Association of Physics Teachers). Проверено 30 июля 2013. [www.webcitation.org/6IqbGNlju Архивировано из первоисточника 13 августа 2013].
- ↑ Stewart Venit, Wayne Bishop, Elementary Linear Algebra (fourth edition), International Thompson Publishing, 1996.
- ↑ П. С. Александров. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. С.275.
- ↑ Lohwater's A.J. Russian-english dictionary of the mathematical sciences. Edited by R.P.Boas. 1990. стр 155
- ↑ Математический энциклопедический словарь, Москва, Советская энциклопедия, 1988, стр. 265.
- ↑ О. Е. Иванова и др.; отв. ред. В. В. Лопатин. Русский орфографический словарь: - 2-е изд., 2005, 943 с., стр.285
- ↑ «поверхности степени 2 называются ква́дриками» [www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=11999 21 min 55 sec - 22 min 05 sec] (Летняя школа «Современная математика», 2015. Курс «Двадцать семь прямых».)
- ↑ «ква́дрика в проективном пространстве», [www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?option_lang=rus&presentid=13468 1 min - 1 min 05 sec] (Научно-образовательный центр МИАН. Курс «Классическая алгебраическая геометрия», 2015/2016.)
- ↑ «пусть X - это ква́дрика, предположим, что на этой ква́дрике существует точка», [www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?option_lang=rus&presentid=2546 6 min 36 sec - 6 min 56 sec] (Общеинститутский математический семинар Санкт-Петербургского отделения МИАН, 23 сентября 2010 г.)
См. также
- Коническое сечение
- Коническая константа
- Кривая второго порядка
- Кубика
- Поверхность второго порядка
- Теорема Брианшона
- Теорема Паскаля
- Фигуры Лиссажу
Отрывок, характеризующий Квадрика
Он закрыл глаза. Одни образы сменялись другими. На одном он долго, радостно остановился. Он живо вспомнил один вечер в Петербурге. Наташа с оживленным, взволнованным лицом рассказывала ему, как она в прошлое лето, ходя за грибами, заблудилась в большом лесу. Она несвязно описывала ему и глушь леса, и свои чувства, и разговоры с пчельником, которого она встретила, и, всякую минуту прерываясь в своем рассказе, говорила: «Нет, не могу, я не так рассказываю; нет, вы не понимаете», – несмотря на то, что князь Андрей успокоивал ее, говоря, что он понимает, и действительно понимал все, что она хотела сказать. Наташа была недовольна своими словами, – она чувствовала, что не выходило то страстно поэтическое ощущение, которое она испытала в этот день и которое она хотела выворотить наружу. «Это такая прелесть был этот старик, и темно так в лесу… и такие добрые у него… нет, я не умею рассказать», – говорила она, краснея и волнуясь. Князь Андрей улыбнулся теперь той же радостной улыбкой, которой он улыбался тогда, глядя ей в глаза. «Я понимал ее, – думал князь Андрей. – Не только понимал, но эту то душевную силу, эту искренность, эту открытость душевную, эту то душу ее, которую как будто связывало тело, эту то душу я и любил в ней… так сильно, так счастливо любил…» И вдруг он вспомнил о том, чем кончилась его любовь. «Ему ничего этого не нужно было. Он ничего этого не видел и не понимал. Он видел в ней хорошенькую и свеженькую девочку, с которой он не удостоил связать свою судьбу. А я? И до сих пор он жив и весел».Князь Андрей, как будто кто нибудь обжег его, вскочил и стал опять ходить перед сараем.
25 го августа, накануне Бородинского сражения, префект дворца императора французов m r de Beausset и полковник Fabvier приехали, первый из Парижа, второй из Мадрида, к императору Наполеону в его стоянку у Валуева.
Переодевшись в придворный мундир, m r de Beausset приказал нести впереди себя привезенную им императору посылку и вошел в первое отделение палатки Наполеона, где, переговариваясь с окружавшими его адъютантами Наполеона, занялся раскупориванием ящика.
Fabvier, не входя в палатку, остановился, разговорясь с знакомыми генералами, у входа в нее.
Император Наполеон еще не выходил из своей спальни и оканчивал свой туалет. Он, пофыркивая и покряхтывая, поворачивался то толстой спиной, то обросшей жирной грудью под щетку, которою камердинер растирал его тело. Другой камердинер, придерживая пальцем склянку, брызгал одеколоном на выхоленное тело императора с таким выражением, которое говорило, что он один мог знать, сколько и куда надо брызнуть одеколону. Короткие волосы Наполеона были мокры и спутаны на лоб. Но лицо его, хоть опухшее и желтое, выражало физическое удовольствие: «Allez ferme, allez toujours…» [Ну еще, крепче…] – приговаривал он, пожимаясь и покряхтывая, растиравшему камердинеру. Адъютант, вошедший в спальню с тем, чтобы доложить императору о том, сколько было во вчерашнем деле взято пленных, передав то, что нужно было, стоял у двери, ожидая позволения уйти. Наполеон, сморщась, взглянул исподлобья на адъютанта.
– Point de prisonniers, – повторил он слова адъютанта. – Il se font demolir. Tant pis pour l'armee russe, – сказал он. – Allez toujours, allez ferme, [Нет пленных. Они заставляют истреблять себя. Тем хуже для русской армии. Ну еще, ну крепче…] – проговорил он, горбатясь и подставляя свои жирные плечи.
– C'est bien! Faites entrer monsieur de Beausset, ainsi que Fabvier, [Хорошо! Пускай войдет де Боссе, и Фабвье тоже.] – сказал он адъютанту, кивнув головой.
– Oui, Sire, [Слушаю, государь.] – и адъютант исчез в дверь палатки. Два камердинера быстро одели его величество, и он, в гвардейском синем мундире, твердыми, быстрыми шагами вышел в приемную.
Боссе в это время торопился руками, устанавливая привезенный им подарок от императрицы на двух стульях, прямо перед входом императора. Но император так неожиданно скоро оделся и вышел, что он не успел вполне приготовить сюрприза.
Наполеон тотчас заметил то, что они делали, и догадался, что они были еще не готовы. Он не захотел лишить их удовольствия сделать ему сюрприз. Он притворился, что не видит господина Боссе, и подозвал к себе Фабвье. Наполеон слушал, строго нахмурившись и молча, то, что говорил Фабвье ему о храбрости и преданности его войск, дравшихся при Саламанке на другом конце Европы и имевших только одну мысль – быть достойными своего императора, и один страх – не угодить ему. Результат сражения был печальный. Наполеон делал иронические замечания во время рассказа Fabvier, как будто он не предполагал, чтобы дело могло идти иначе в его отсутствие.
– Я должен поправить это в Москве, – сказал Наполеон. – A tantot, [До свиданья.] – прибавил он и подозвал де Боссе, который в это время уже успел приготовить сюрприз, уставив что то на стульях, и накрыл что то покрывалом.
Де Боссе низко поклонился тем придворным французским поклоном, которым умели кланяться только старые слуги Бурбонов, и подошел, подавая конверт.
Наполеон весело обратился к нему и подрал его за ухо.
– Вы поспешили, очень рад. Ну, что говорит Париж? – сказал он, вдруг изменяя свое прежде строгое выражение на самое ласковое.
– Sire, tout Paris regrette votre absence, [Государь, весь Париж сожалеет о вашем отсутствии.] – как и должно, ответил де Боссе. Но хотя Наполеон знал, что Боссе должен сказать это или тому подобное, хотя он в свои ясные минуты знал, что это было неправда, ему приятно было это слышать от де Боссе. Он опять удостоил его прикосновения за ухо.
– Je suis fache, de vous avoir fait faire tant de chemin, [Очень сожалею, что заставил вас проехаться так далеко.] – сказал он.
– Sire! Je ne m'attendais pas a moins qu'a vous trouver aux portes de Moscou, [Я ожидал не менее того, как найти вас, государь, у ворот Москвы.] – сказал Боссе.
Наполеон улыбнулся и, рассеянно подняв голову, оглянулся направо. Адъютант плывущим шагом подошел с золотой табакеркой и подставил ее. Наполеон взял ее.
– Да, хорошо случилось для вас, – сказал он, приставляя раскрытую табакерку к носу, – вы любите путешествовать, через три дня вы увидите Москву. Вы, верно, не ждали увидать азиатскую столицу. Вы сделаете приятное путешествие.
Боссе поклонился с благодарностью за эту внимательность к его (неизвестной ему до сей поры) склонности путешествовать.
– А! это что? – сказал Наполеон, заметив, что все придворные смотрели на что то, покрытое покрывалом. Боссе с придворной ловкостью, не показывая спины, сделал вполуоборот два шага назад и в одно и то же время сдернул покрывало и проговорил:
– Подарок вашему величеству от императрицы.
Это был яркими красками написанный Жераром портрет мальчика, рожденного от Наполеона и дочери австрийского императора, которого почему то все называли королем Рима.
