Трисектриса Маклорена

В геометрии трисектриса Маклорена — это кубика, примечательная своим свойством трисекции, поскольку она может быть использована для трисекции угла. Её можно определить как геометрическое место точек пересечения двух прямых, каждая из которых вращаются равномерно вокруг двух различных точек (полюсов) с отношением угловых скоростей 1:3, при этом первоначально прямые совпадают с прямой, проходящей через эти полюса. Обобщение этого построения называется Секущая Маклорена. Секущая названа в честь Колина Маклорена, который исследовал кривую в 1742 году.

Уравнения

Пусть две прямые вращаются вокруг точек <math>P = (0,0)</math> и <math>P_1 = (a, 0)</math>, так что прямая, вращающаяся вокруг <math>P</math>, имеет с осью x угол <math>\theta</math>, а вращающаяся вокруг <math>P_1</math>, имеет угол <math>3\theta</math>. Пусть <math>Q</math> — точка пересечения, тогда угол, образованный прямыми в точке <math>Q</math>, равен <math>2\theta</math>. По теореме синусов

<math>{r \over \sin 3\theta} = {a \over \sin 2\theta}</math>, так что в полярной системе координат это даст

<math>r= a \frac{\sin 3\theta}{\sin 2\theta} = {a \over 2} \frac{4 \cos^2 \theta - 1} {\cos \theta} = {a \over 2} (4 \cos \theta - \sec \theta)</math>.

Таким образом, кривая принадлежит семейству конхоид Слюза.

В прямоугольной системе координат уравнение выглядит как

<math>2x(x^2+y^2)=a(3x^2-y^2)</math>.

Если начало координат сдвинуть в (a, 0), то вывод, близкий к приведённому, показывает, что уравнение в полярных координат превращается в

<math>r = \frac{a}{2 \cos{\theta \over 3}}</math>

делая её примером эписпирали.

Свойство трисекции

Для заданного угла <math>\phi</math> рисуем луч из <math>(a, 0)</math> так, что угол с осью <math>x</math> составляет <math>\phi</math>. Рисуем луч из начала координат в точку пересечения первого луча с кривой. По построению кривой, угол между вторым лучом и осью <math>x</math> равен <math>\phi/ 3</math>.

Замечательные точки и свойства

Кривая имеет пересечение с осью x в точке <math>3a \over 2</math> и двойную неподвижную точку в начале координат. Вертикальная прямая <math>x={-{a \over 2}}</math> является асимптотой. Кривая пересекает прямую x = a в точках <math>(a,{\pm {1 \over \sqrt{3 a})</math>, соответствующих трисекции прямого угла. Как основная кубика, она имеет род нуль.

Связь с другими кривыми

Трисектриса Маклорена может быть определена как коническое сечение тремя путями. Конкретно:

• Она является инверсией гиперболы по отношению к единичной окружности

<math>2x=a(3x^2-y^2)</math>.

• Она является циссоидой окружности

<math>(x+a)^2+y^2 = a^2</math>

и прямой <math>x={a \over 2}</math> относительно начала координат.

• Она является подерой параболы относительно начала координат

<math>y^2=2a(x-\tfrac{3}{2}a)</math>.

Вдобавок,

• Инверсия относительно точки <math>(a, 0)</math> является трисектрисой улитки.
• Трисектриса Маклорена связана с декартовым листом аффинным преобразованием.

Литература

• J. Dennis Lawrence A catalog of special plane curves. — Dover Publications, 1972. — С. 36, 95, 104—106. — ISBN 0-486-60288-5.
• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/MaclaurinTrisectrix.html Maclaurin Trisectrix] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Ссылки

• [www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Curves/Trisectrix.html «Trisectrix of Maclaurin» на списке знаменитых кривых MacTutor]
• [www.2dcurves.com/cubic/cubictr.html «Trisectrix of MacLaurin» на 2dcurves.com]
• [xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/TriOfMaclaurin_dir/triOfMaclaurin.html «Trisectrix of Maclaurin» на Наглядном Словаре Плоских Кривых]
• [www.mathcurve.com/courbes2d/maclaurin/maclaurin.shtml «Trisectrice de Maclaurin» на сайте Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables]
• [www.jimloy.com/geometry/trisect.htm#curves Loy, Jim «Trisection of an Angle», Part VI]