Верзьера Аньези

Верзье́ра (верзие́ра) Анье́зи (иногда ло́кон Анье́зи) — плоская кривая, геометрическое место точек <math>M</math>, для которых выполняется соотношение <math>\textstyle\frac{BM}{BC}=\frac{OA}{OB}</math>, где <math>OA</math> — диаметр окружности, <math>BC</math> — полухорда этой окружности, перпендикулярная <math>OA</math>. Своё название верзьера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривую.

История

Пьер Ферма в 1630 году нашёл площадь области между кривой и её асимптотой. В 1703 году Гвидо Гранди, независимо от Ферма, описал построение этой кривой, а в работе 1718 года назвал её верзьерой (итал. Versiera, от лат. Versoria), так как в его конструкции использовалась функция синус-верзус.

В 1748 году Мария Аньези опубликовала известный обобщающий труд Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, в котором кривая, как и в работе Гранди, именовалась верзьерой. По совпадению, итальянское слово Versiera/Aversiera, производное от латинского Adversarius, имело также значение «ведьма» (англ. witch). Возможно, по этой причине кембриджский профессор Джон Колсон, переводивший труд Аньези на английский, неправильно перевёл это слово, в результате чего в литературе на английском языке кривая часто именуется the witch of Agnesi.

Уравнения

<math>O=(0,0)</math>, <math>A=(0,a)</math>

• В прямоугольной системе координат:

<math>y=\frac{a^3}{a^2+x^2}</math>

Вывод  

Координаты точки <math>M</math>, лежащей на верзьере — это <math>x=BM</math>, <math>y=OB</math>. <math>OA=a</math> и по определению строим пропорцию

<math>\textstyle\frac{x}{BC}=\frac{a}{y}</math>

Отсюда

<math>\textstyle BC=\frac{xy}{a}</math>

С другой стороны <math>BC</math> может быть найден из уравнения окружности:

<math>\textstyle \left (y-\frac{a}{2}\right )^2+x^2=\frac{a^2}{4}</math>

Нам известен <math>y=OB</math>, значит выражаем <math>x^2</math>:

<math>\textstyle x^2=\frac{a^2}{4}-\left (y-\frac{a}{2}\right )^2</math>

Приравниваем оба выражения для <math>BC</math>:

<math>\textstyle\frac{x^2 y^2}{a^2}=\frac{a^2}{4}-\left (y-\frac{a}{2}\right )^2</math>

Возводим в квадрат, переносим и выносим <math>y^2</math> за скобки:

<math>\textstyle\left (\frac{x^2}{a^2}+1\right )y^2=ay</math>

Выражаем y (y=0 не подходит по определению):

<math>\textstyle y=\frac{a^3}{a^2+x^2}</math>

Если <math>a</math> — это не диаметр, а радиус окружности, то уравнение такое:

<math>\textstyle y=\frac{8a^3}{4a^2+x^2}</math>

• Параметрическое уравнение:

<math>\begin{cases}x=a\,\operatorname{tg}\,\varphi \\y=a\cos^2\varphi \end{cases}</math>, где <math>\varphi</math> — угол между <math>OA</math> и <math>OC</math>

Вывод  

Координаты точки <math>M</math> однозначно определяются углом <math>\varphi</math> между <math>OB</math> и <math>OC</math>. Если <math>OB=y</math>, а <math>BM=x</math>, то по определению верзьеры можно составить пропорцию

<math>\textstyle\frac{OA}{y}=\frac{x}{BC}</math>

<math>OA</math> по предположению равен <math>a</math>. Из треугольника <math>OBC</math>: <math>BC=y\,\operatorname{tg}\,\varphi</math>, значит

<math>\textstyle\frac{a}{y}=\frac{x}{y\,\operatorname{tg}\,\varphi}</math>

отсюда <math>x=a\,\operatorname{tg}\,\varphi</math>. Эту формулу подставляем в уравнение кривой:

<math>\textstyle y=\frac{a^3}{a^2+a^2\,\operatorname{tg}^2\,\varphi}</math>

<math>\textstyle y=\frac{a}{1+\,\operatorname{tg}^2\,\varphi}</math>

Используя тождество, получаем

<math>y=a\cos^2\varphi</math>

• В полярной системе уравнение верзьеры достаточно сложное: чтобы найти его необходимо решить кубическое уравнение:

<math>\textstyle \rho\sin{\varphi}=\frac{a^3}{a^2+\rho^2\cos^{2}\varphi}</math>

<math>\textstyle \rho^3(\cos^2\varphi\sin\varphi)+\rho(a^2\sin\varphi)-a^3=0</math>

Однако полученная формула будет слишком сложной и громоздкой, чтобы иметь какое-либо практическое значение.

Свойства

• Верзьера — кривая третьего порядка.
• Диаметр <math>OA</math> единственная ось симметрии кривой.
• Кривая имеет один максимум — <math>A(0;a)</math> и две точки перегиба — <math>\textstyle P_{1,2}\left (\pm\frac{a}{\sqrt{3}};\frac{3a}{4}\right ) </math>
• В окрестности вершины <math>A</math> верзьера приближается к окружности диаметра <math>OA</math>. В точке <math>A</math> происходит касание, и кривая совпадает с окружностью. Это показывает величина радиуса кривизны в точке <math>A</math>: <math>\textstyle R_A=\frac{a}{2}</math>.
• Площадь под графиком <math>S=\pi a^2</math>. Она вычисляется интегрированием уравнения по всему <math>\textstyle\mathbb{R}</math>.
• Объём тела вращения верзьеры вокруг своей асимптоты (оси <math>OX</math>) <math>\textstyle V=\frac{\pi^2 a^3}{2}</math>.

Построение

Строится окружность диаметра <math>a</math> и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится прямая через выбранную точку касательной и точку окружности, противоположную точке касания. Эта прямая пересекает окружность в некоторой точке. Через эту точку строится прямая, параллельная касательной. Точка верзьеры лежит на пересечении этой прямой и перпендикуляра к касательной в выбранной точке.

Интересные факты

• Трамплин-рампа российского авианосца Адмирал флота Советского Союза Кузнецов образован верзьерой Аньези. Когда самолет сходит с рампы, он находится в идеальном угле атаки при скорости 180—200 км/ч (для Су-27). Теоретически, с рампы-трамплина может взлететь самолет любой взлетной массы.

См. также

• Кривая
• Распределение Коши

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — М.: АСТ:Астрель, 2006.

Ссылки

• [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/235/%D0%90%D0%9D%D0%AC%D0%95%D0%97%D0%98 Статья на сайте «Академик»]. Проверено 13 января 2012. [www.webcitation.org/66AJkBUXH Архивировано из первоисточника 14 марта 2012].
• [school-collection.edu.ru/catalog/res/d2e2e977-064d-4a6e-99a8-17ef4f4f5d2c/ Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов]. Проверено 13 января 2012. [www.webcitation.org/66AJlJDrt Архивировано из первоисточника 14 марта 2012].
• [www.dynamicgeometry.com/JavaSketchpad/Gallery/Trigonometry_and_Analytic_Geometry/The_Witch_of_Agnesi.html Анимация построения] (англ.). Проверено 13 января 2012. [www.webcitation.org/66AJmlUcs Архивировано из первоисточника 14 марта 2012].
• [www.mathcurve.com/courbes2d/agnesi/agnesi.shtml Статья в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables] (фр.). Проверено 15 июня 2010. [www.webcitation.org/66AJnD4JJ Архивировано из первоисточника 14 марта 2012].
• [mathworld.wolfram.com/WitchofAgnesi.html Статья на сайте Wolfram MathWorld] (англ.). Проверено 15 июня 2010.
• [xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/WitchOfAgnesi_dir/witchOfAgnesi.html XahLee.org] (англ.). Проверено 13 января 2012.
• Leslie Pacher. [www.shsu.edu/~mth_jaj/math470/papers_s06/Leslie.pdf The mathematical “Witch”] (англ.). Проверено 13 января 2012. [www.webcitation.org/66AJohbSX Архивировано из первоисточника 14 марта 2012].