Брахистохрона

Брахистохро́на (от греч. βράχιστος — кратчайший и χρόνος — время) — кривая скорейшего спуска. Задача о её нахождении была поставлена в 1696 году Иоганном Бернулли. Заключается она в следующем:

Среди плоских кривых, соединяющих две данные точки А и В, лежащих в одной вертикальной плоскости (В ниже А), найти ту, двигаясь по которой под действием только силы тяжести, сонаправленной отрицательной полуоси OY, материальная точка из А достигнет B за кратчайшее время.

Решением задачи о брахистохроне является дуга циклоиды с горизонтальным основанием, точка возврата которой находится в точке А, или иными словами, имеющая вертикальную касательную в точке A.

Примечательно, что время спуска не зависит от расположения начальной точки на дуге циклоиды.

Решение задачи о брахистохроне

На статью Иоганна Бернулли откликнулись Исаак Ньютон, Яков Бернулли, Г. В. Лейбниц, Г. Ф. Лопиталь, Э. В. Чирнхаус. Все они, как и сам Иоганн Бернулли решили задачу разными способами. Метод решения, полученного 26 января 1697 года Исааком Ньютоном, лег в основу важнейшей области естествознания — вариационного исчисления.

Пусть имеются две произвольные точки, расположенные на разных ординатах. Далее пусть произвольная материальная точка M скатывается от точки A к точке B под действием только силы тяжести (силы трения отсутствуют). Найдем такую траекторию, при которой время скатывания будет минимально.

Направим ось ординат вниз и сопоставим начальной точке нулевое значение ординаты. Запишем закон сохранения энергии для материальной точки M:

<math>{\frac{m v^2}{2}}=mgy</math>, где

<math>m</math> — масса тела,

<math>g</math> — ускорение свободного падения,

<math>y</math> — ордината,

<math>v</math> — скорость движения тела.

Получаем:

<math> v=\sqrt{2gy}</math>,

откуда можно найти значение проекции скорости на ось <math>x</math>:

<math>v_x=\frac{v}{\sqrt{1+(y')^2}}=\frac{\sqrt{2gy}}{\sqrt{1+(y')^2}}</math>.

Поскольку время на спуск равняется <math>\int_a^b {\frac{1}{v_x}} dx </math>, то задача сводится к минимизации значения интеграла

<math>\frac{1}{\sqrt{2g}}\int_a^b \sqrt{\frac{1+(y')^2}{y}} dx</math>.

Литература

• Клейбер И. А. Брахистохрона // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки

• [home.imm.uran.ru/iagsoft/brach/BrachJ2_.html Страница с Java-апплетом, строящим брахистохрону и анимирующим движение по ней]

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)