Цепная линия

Цепна́я ли́ния — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжёлая нить или цепь (отсюда название) с закреплёнными концами в однородном гравитационном поле. Является плоской трансцендентной кривой.

Уравнение в декартовых координатах:

<math>y = { a \over 2 }( e^{x/a}+e^{-x/a} ) = a ~ \operatorname{ch} { x \over a } </math>

(о функции <math>\operatorname{ch}</math> см. гиперболический косинус).

Свойства

• Мыльная плёнка, натянутая на два кольца, принимает форму катеноида — поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии.
• Длина дуги от вершины до произвольной точки (x; y):

  <math>s = a ~ \operatorname{sh} {x \over a} = \sqrt{y^2-a^2}</math>

• Радиус кривизны:

  <math>R = a ~ \operatorname{ch}^2 {x \over a} = {y^2 \over a}</math>

• Площадь, ограниченная цепной линией, двумя её ординатами и осью абсцисс:

  <math>S = a^2 \left(\operatorname{sh}{x_2 \over a} - \operatorname{sh}{x_1 \over a}\right) = a \left(\sqrt{y_2^2-a^2} - \sqrt{y_1^2-a^2}\right)</math>

Применения

Арка

Перевёрнутая цепная линия — идеальная форма для арок. Однородная арка в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только деформации сжатия, но не изгиба.

На арке в Сент-Луисе написана формула её цепной линии в футах:

<math>y = -127{,}7^\prime \cdot \operatorname{ch}({x / 127{,}7^\prime}) + 757{,}7^\prime</math>

В метрах это

<math>y = -38{,}92 \cdot \operatorname{ch}({x / 38{,}92}) + 230{,}95</math>

Мосты

Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии.

Стоит заметить, что форма тросов подвесного моста ближе к параболе, чем к цепной линии. Это связано с тем, что основная нагрузка распределена в пролёте моста, а не в тросах.

История

Уравнение цепной линии практически одновременно получено Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли.

Литература

• Люстерник Л. А. Кратчайшие линии. Вариационные задачи. — М.-Л.: Гостехиздат, 1955. — (Популярные лекции по математике).
• Меркин Д. Р. Введение в механику гибкой нити. — М.: Наука, 1980. — 240 с.