Улитка Паскаля

Улитка Паскаля ― плоская кривая определённого типа. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её.

Уравнения

Уравнение в прямоугольных координатах:

<math>(x^2 + y^2 + ay)^2=\ell^2(x^2+y^2)</math>

в полярных координатах:

<math>\rho = \ell-a \sin\phi.</math>

Здесь a — диаметр исходной окружности, а l — расстояние, на которое смещается точка вдоль радиус-вектора (см. конхоида).

При этом начало координат является

• узловой точкой при <math>a>\ell</math>.
• точка возврата при <math>a=\ell</math> (в этом случае Улитка Паскаля называется кардиоидой).
• двойной точкой при <math>a<\ell</math>.

В случае <math>\ell=\frac{a}{2}</math> улитка Паскаля также называется трисектри́са (также триссектри́са). Такое название она получила из за того, что если на плоскости задана трисектриса, то трисекцию угла можно построить с помощью циркуля и линейки. Уравнение трисектрисы:

<math>z = b (e^{it} + e^{2it}) = b e^{3it\over 2} (e^{it\over 2} + e^{-it\over 2}) = 2b \cos {t\over 2} e^{3it\over 2} </math>,

в полярных координатах:

<math>r = 2b\cos{\theta \over 3}</math>

Свойства

• Улитка Паскаля является плоской алгебраической кривой 4-го порядка.
• Улитка Паскаля является подерой окружности.
• Улитка Паскаля является конхоидой окружности относительно точки на окружности.
• Улитка Паскаля является частным случаем Декартова овала.
• Улитка Паскаля является частным случаем эпитрохоиды.
• Улитка Паскаля является примером эквихордной кривой.
• Длина дуги выражается эллиптическим интегралом 2-го рода.
• Площадь, ограниченная улиткой Паскаля:

  <math>S=\frac{\pi a^2}2+\pi \ell^2</math>

при <math>a>\ell</math> площадь внутренней петли при вычислении по этой формуле считается дважды.