Эпициклоида

Эпицикло́ида (от греч. ὲπί — на, над, при и κυκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внешней стороне другой окружности без скольжения.

Уравнения

Если центр неподвижной окружности находится в начале координат, её радиус равен <math>R</math>, радиус катящейся по ней окружности равен <math>r</math>, то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно <math>\varphi</math>:

<math>\begin{cases}

x = (R + r)\cos\varphi - r\cos(\alpha+\frac{R+r}{r}\varphi) \\ y = (R + r)\sin\varphi - r\sin(\alpha+\frac{R+r}{r}\varphi) \end{cases}</math> где <math>\alpha</math> — угол поворота точки, описывающей эпициклоиду, относительно центра неподвижной окружности, <math>\varphi</math> — параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси <math>OX</math>.

Можно ввести величину <math>\textstyle k=\frac{R}{r}</math>, тогда уравнения предстанут в виде

<math>\begin{cases}

x = r (k+1) \left( \cos \varphi- \frac{\cos((k+1)\varphi)}{k+1} \right) \\ y = r (k+1) \left( \sin \varphi- \frac{\sin((k+1)\varphi)}{k+1} \right) \end{cases}</math>

Величина <math>k</math> определяет форму эпициклоиды. При <math>k=1</math> эпициклоида образует кардиоиду, а при <math>k=2</math> — нефроиду. Если <math>k</math> — несократимая дробь вида <math>\frac{m}{n}</math> (<math>m,n \in \mathbb{N}</math>), то <math>m</math> — это количество каспов данной эпициклоиды, а <math>n</math> — количество полных вращений катящейся окружности. Если <math>k</math> иррациональное число, то кривая является незамкнутой и имеет бесконечное множество несовпадающих каспов.

• Эпициклоиды при разных значениях параметра k:
• EpicycloidK1.gif

  <math>k = 1</math> (кардиоида)

• EpicycloidK2.gif

  <math>k = 2</math> (нефроида)

• EpicycloidK3.gif

  <math>k = 3</math>

• EpicycloidK0,75.gif

  <math>k = \frac{3}{4}</math>

• Epicycloid 3to1.gif

  <math>k = \frac{1}{3}</math>

• Epicycloid 2to1.gif

  <math>k = 0.5 = \frac{1}{2}</math>

• Epicycloid-2-1.svg

  <math>k = 2.1 = \frac{21}{10}</math>

• Epicycloid-3-8.svg

  <math>k = 3.8 = \frac{19}{5}</math>

• Epicycloid-5-5.svg

  <math>k = 5.5 = \frac{11}{2}</math>

• Epicycloid-7-2.svg

  <math>k = 7.2 = \frac{36}{5}</math>

См. также

• Циклоида
• Гипоциклоида
• Эпитрохоида