Уравнение Льенара

Уравнение Лиенара — уравнение, часто использующееся в теории колебаний и динамических систем. Названо в честь французского физика А. Лиенара.

Определение

Пусть <math>f</math> и <math>g</math> — две гладкие функции в пространстве <math>R^3</math>. Пусть <math>g</math> — нечётная функция, а <math>f</math> — чётная. Тогда уравнение вида

<math>{d^2x \over dt^2}+f(x){dx \over dt}+g(x)=0</math>

называется уравнением Лиенара.

Кроме того, уравнение Лиенара можно свести к дифференциальному уравнению первого порядка, сделав замену <math>v = {dx \over dt}</math>. Тогда уравнение Лиенара преобразуется в уравнение Абеля второго типа: <math>v{dv \over dx}+f(x)v+g(x)=0</math>

Примеры

• Осциллятор Ван дер Поля <math>{d^2x \over dt^2} - \mu (1-x^2) {dx \over dt} + x= 0</math> имеет вид уравнения Лиенара при <math>\left \{ \begin{matrix} f(x)=\mu(1-x^2) \\ g(x)=x \end{matrix} \right.</math>.

Связанные определения

Система Лиенара

Уравнение Лиенара может быть преобразовано в систему дифференциальных уравнений.

Пусть

<math>F(x) := \int_0^x f(\xi) d\xi</math>;

<math>x_1:= x</math>;

<math>x_2:={dx \over dt} + F(x)</math>.

Тогда система вида

<math>\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \mathbf{h}(x_1, x_2) := \begin{bmatrix} x_2 - F(x_1) \\ -g(x_1) \end{bmatrix}</math>

называется системой Лиенара.

Теорема Лиенара

Система Лиенара имеет единственный и устойчивый предельный цикл около начала координат, если система удовлетворяет следующим трём критериям:

• <math>g(x)>0</math> для всех <math>x>0</math>;
• <math>\lim_{x \to \infty} F(x) := \lim_{x \to \infty} \int_0^x f(\xi) d\xi\ = \infty;</math>
• <math>F(x)</math> имеет только один положительный корень при некотором значении параметра <math>p</math>, где

<math>F(x)<0</math> при <math>0<x<p</math> и

<math>F(x)>0</math> и монотонна при <math>x>p</math>.

См. также

• Дифференциальное уравнение;
• Осциллятор.

Отрывок, характеризующий Уравнение Льенара

– Это ты для гостей так убралась, а? – сказал он. – Хороша, очень хороша. Ты при гостях причесана по новому, а я при гостях тебе говорю, что вперед не смей ты переодеваться без моего спроса.
– Это я, mon pиre, [батюшка,] виновата, – краснея, заступилась маленькая княгиня.
– Вам полная воля с, – сказал князь Николай Андреевич, расшаркиваясь перед невесткой, – а ей уродовать себя нечего – и так дурна.
И он опять сел на место, не обращая более внимания на до слез доведенную дочь.
– Напротив, эта прическа очень идет княжне, – сказал князь Василий.
– Ну, батюшка, молодой князь, как его зовут? – сказал князь Николай Андреевич, обращаясь к Анатолию, – поди сюда, поговорим, познакомимся.
«Вот когда начинается потеха», подумал Анатоль и с улыбкой подсел к старому князю.
– Ну, вот что: вы, мой милый, говорят, за границей воспитывались. Не так, как нас с твоим отцом дьячок грамоте учил. Скажите мне, мой милый, вы теперь служите в конной гвардии? – спросил старик, близко и пристально глядя на Анатоля.
– Нет, я перешел в армию, – отвечал Анатоль, едва удерживаясь от смеха.
– А! хорошее дело. Что ж, хотите, мой милый, послужить царю и отечеству? Время военное. Такому молодцу служить надо, служить надо. Что ж, во фронте?
– Нет, князь. Полк наш выступил. А я числюсь. При чем я числюсь, папа? – обратился Анатоль со смехом к отцу.
– Славно служит, славно. При чем я числюсь! Ха ха ха! – засмеялся князь Николай Андреевич.
И Анатоль засмеялся еще громче. Вдруг князь Николай Андреевич нахмурился.
– Ну, ступай, – сказал он Анатолю.
Анатоль с улыбкой подошел опять к дамам.
– Ведь ты их там за границей воспитывал, князь Василий? А? – обратился старый князь к князю Василью.
– Я делал, что мог; и я вам скажу, что тамошнее воспитание гораздо лучше нашего.
– Да, нынче всё другое, всё по новому. Молодец малый! молодец! Ну, пойдем ко мне.
Он взял князя Василья под руку и повел в кабинет.
Князь Василий, оставшись один на один с князем, тотчас же объявил ему о своем желании и надеждах.