Уравнение трёх моментов
Уравнение трёх моментов — уравнение для расчёта моментов в задаче об изгибе неразрезной многопролётной балки[1].
Известно, что балка при наличии дополнительных опор становится статически неопределимой. Одним из методов расчёта таких балок является метод сил. С помощью данного метода выводится уравнение трёх моментов[2]:
- <math>
M_{i-1}l_i + 2M_i(l_i+l_{i+1})+ M_{i+1}l_{i+1}=
-6\left(\frac{\Omega_ia_i}{l_i}+\frac{\Omega_{i+1}b_{i+1}}{l_{i+1}}\right).
</math>
Здесь <math>\Omega_i</math> — площадь эпюры моментов i-й статически определимой балки, <math>a_i</math> — расстояние от центра тяжести i-й эпюры до левого конца балки, <math>b_i</math> — расстояние от центра тяжести i-й эпюры до правого конца балки, <math>l_i=a_i+b_i</math> — длина i-й балки.
Вывод уравнения трёх моментов предусматривает, что после введения шарниров над опорами получается статически определимая система из <math>n</math> балок, каждая из которых представляет простую балку с опорами по концам. Неизвестные в методе сил — моменты, приложенные по концам независимых балок.
История
Впервые уравнение для расчёта неразрезных балок применил мостостроитель и путейский инженер Берто (Bertot) в 1855 г[3]. Сам же метод применялся ранее (1849) при реконструкции моста через Сену в Аньере (пригород Парижа, ныне известный как Аньер-сюр-Сен, фр. Asnières-sur-Seine), но опубликован Клапейроном в трудах Академии наук только в 1857 г. Так как идея основной системы с неизвестными моментами над опорами впервые была высказана Клапейроном, уравнение трёх моментов связывают с его именем[4]. Дальнейшее развитие теория неразрезных балок получила в работах Отто Мора, который обобщил теорию на случай, когда опоры расположены на разной высоте (1860).
Процедура применения
Процедура решения задачи с использованием уравнения трёх моментов такова.
1. Балка режется на отдельные части (простые балки) дополнительными внутренними шарнирами в местах крепления опор.
Обозначения реакций образовавшихся связей: — моменты <math>M_0, M_1,..., M_{n}</math>.
2. Нумеруются пролёты (участки балки между опорами). Число пролётов равно <math>n</math>. Левая консоль считается нулевым пролётом, правая имеет номер <math>n+1</math>. Длины пролётов: <math>l_i</math>, <math>i=0,...,n+1</math>.
3. Из условия равновесия консольных частей определяются моменты <math>M_0</math> и <math>M_n</math>. Остальные моменты являются неизвестными системы <math>n-1</math> уравнений трёх моментов.
4. Строятся эпюры моментов <math>M_p</math> и перерезывающих сил <math>Q_p</math> в пролётах и консолях (если они есть) балки от действия внешней нагрузки. Каждый пролёт представляет собой отдельную статически определимую балку.
5. Вычисляются площади эпюр моментов <math>\Omega_i</math>, <math>i=1,...,n</math> в пролётах и расстояния от центров тяжести этих площадей до левой (<math>a_i</math>) и правой (<math>b_i</math>) опоры соответствующего пролёта.
6. Решение системы уравнений трёх моментов складывается с эпюрами моментов от внешней нагрузки. Полученная эпюра есть эпюра моментов в неразрезной балке.
Пример
Построить эпюру моментов в неразрезной балке длиной 19 метров с четырьмя опорами (рис. 1). На балку действует распределённая нагрузка <math>q_1= 10</math> кН/м, <math>q_2=12</math> кН/м и сосредоточенная сила <math>P = 9</math> кН.
</center>
Длина консоли: <math>l_0=4</math> м. Длины пролетов: <math>l_1=l_2=l_3=5</math> м. Получаем основную систему метода сил, вводя шарниры над опорами (рис. 2). Моменты <math>M_0</math> и <math>M_3</math> — величины известные и определяются из условия равновесия консолей. Правой консоли здесь нет, <math>M_3=0</math>. Для левой консоли получаем <math>M_0=q_1l_0^2/2</math>.
Строим эпюры моментов от внешней нагрузки в независимых балках основной (статически определимой) системы (рис. 3). Эпюры строим на сжатом волокне (как принято в машиностроении; в строительстве и архитектуре эпюры моментов принято строить на растянутом волокне).
</center>
Записываем уравнения трёх моментов:
<math>l_1M_0+2M_1(l_1+l_2)+M_2l_2=-6(\Omega_1a_1/l_1+\Omega_2b_2/l_2),</math>
<math>l_2M_1+2M_2(l_2+l_3)+M_3l_3=-6(\Omega_2a_2/l_2+\Omega_3b_3/l_3).</math>
Здесь <math>\Omega_1=10.8\cdot5/2=27,</math> <math>a_1=(2+5)/3=2.333,</math> <math>\Omega_2=\Omega_3=2fl_2/3=125,</math> <math>a_2=b_2=a_3=b_3=2.5.</math> Решаем систему уравнений <math>M_1=7.301</math> кНм, <math>M_2=-39.325</math> кНм. Строим эпюру от этих моментов (рис. 4).
Складываем (по точкам) эпюры от нагрузки (рис. 3) и от моментов (рис. 4). Получаем эпюру моментов в балке (рис. 5).
Очевидным достоинством метода является простота матрицы системы линейных уравнения задачи. Эта матрица — трёхдиагональная, что позволяет применять различные упрощённые численные схемы решения.
Напишите отзыв о статье "Уравнение трёх моментов"
Примечания
- ↑ Кирсанов М. Н. Maple и Maplet. Решения задач механики. — СПб.: Лань, 2012. — 512 с. — ISBN 978-5-8114-1271-6. — С. 179—181.
- ↑ Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — 536 с. — С. 217.
- ↑ Бернштейн С.А. Очерки по истории строительной механики. — М.: Государственное издательство литературы по строительству и архитектуре, 1957. — 236 с. — С. 209.
- ↑ Тимошенко С. П. История науки о сопротивлении материалов. 2-е изд. — М.: URSS, 2006. — 536 с. — ISBN 5-484-00449-7. — С. 176.
Литература
- Киселёв В. А. Строительная механика. Общий курс. — М.: Стройиздат, 1986. — 520 с.
- Горшков А. Г., Трошин В. Н., Шалашилин В. И. Сопротивление материалов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 544 с. — ISBN 5-9221-0181-1.
Отрывок, характеризующий Уравнение трёх моментов
Старый князь тоже не спал. Тихон сквозь сон слышал, как он сердито шагал и фыркал носом. Старому князю казалось, что он был оскорблен за свою дочь. Оскорбление самое больное, потому что оно относилось не к нему, а к другому, к дочери, которую он любит больше себя. Он сказал себе, что он передумает всё это дело и найдет то, что справедливо и должно сделать, но вместо того он только больше раздражал себя.«Первый встречный показался – и отец и всё забыто, и бежит кверху, причесывается и хвостом виляет, и сама на себя не похожа! Рада бросить отца! И знала, что я замечу. Фр… фр… фр… И разве я не вижу, что этот дурень смотрит только на Бурьенку (надо ее прогнать)! И как гордости настолько нет, чтобы понять это! Хоть не для себя, коли нет гордости, так для меня, по крайней мере. Надо ей показать, что этот болван об ней и не думает, а только смотрит на Bourienne. Нет у ней гордости, но я покажу ей это»…
Сказав дочери, что она заблуждается, что Анатоль намерен ухаживать за Bourienne, старый князь знал, что он раздражит самолюбие княжны Марьи, и его дело (желание не разлучаться с дочерью) будет выиграно, и потому успокоился на этом. Он кликнул Тихона и стал раздеваться.
«И чорт их принес! – думал он в то время, как Тихон накрывал ночной рубашкой его сухое, старческое тело, обросшее на груди седыми волосами. – Я их не звал. Приехали расстраивать мою жизнь. И немного ее осталось».
– К чорту! – проговорил он в то время, как голова его еще была покрыта рубашкой.
Тихон знал привычку князя иногда вслух выражать свои мысли, а потому с неизменным лицом встретил вопросительно сердитый взгляд лица, появившегося из под рубашки.
– Легли? – спросил князь.
Тихон, как и все хорошие лакеи, знал чутьем направление мыслей барина. Он угадал, что спрашивали о князе Василье с сыном.
– Изволили лечь и огонь потушили, ваше сиятельство.
– Не за чем, не за чем… – быстро проговорил князь и, всунув ноги в туфли и руки в халат, пошел к дивану, на котором он спал.
Несмотря на то, что между Анатолем и m lle Bourienne ничего не было сказано, они совершенно поняли друг друга в отношении первой части романа, до появления pauvre mere, поняли, что им нужно много сказать друг другу тайно, и потому с утра они искали случая увидаться наедине. В то время как княжна прошла в обычный час к отцу, m lle Bourienne сошлась с Анатолем в зимнем саду.
Княжна Марья подходила в этот день с особенным трепетом к двери кабинета. Ей казалось, что не только все знают, что нынче совершится решение ее судьбы, но что и знают то, что она об этом думает. Она читала это выражение в лице Тихона и в лице камердинера князя Василья, который с горячей водой встретился в коридоре и низко поклонился ей.
Старый князь в это утро был чрезвычайно ласков и старателен в своем обращении с дочерью. Это выражение старательности хорошо знала княжна Марья. Это было то выражение, которое бывало на его лице в те минуты, когда сухие руки его сжимались в кулак от досады за то, что княжна Марья не понимала арифметической задачи, и он, вставая, отходил от нее и тихим голосом повторял несколько раз одни и те же слова.
Он тотчас же приступил к делу и начал разговор, говоря «вы».
– Мне сделали пропозицию насчет вас, – сказал он, неестественно улыбаясь. – Вы, я думаю, догадались, – продолжал он, – что князь Василий приехал сюда и привез с собой своего воспитанника (почему то князь Николай Андреич называл Анатоля воспитанником) не для моих прекрасных глаз. Мне вчера сделали пропозицию насчет вас. А так как вы знаете мои правила, я отнесся к вам.
– Как мне вас понимать, mon pere? – проговорила княжна, бледнея и краснея.
– Как понимать! – сердито крикнул отец. – Князь Василий находит тебя по своему вкусу для невестки и делает тебе пропозицию за своего воспитанника. Вот как понимать. Как понимать?!… А я у тебя спрашиваю.
– Я не знаю, как вы, mon pere, – шопотом проговорила княжна.
– Я? я? что ж я то? меня то оставьте в стороне. Не я пойду замуж. Что вы? вот это желательно знать.
Княжна видела, что отец недоброжелательно смотрел на это дело, но ей в ту же минуту пришла мысль, что теперь или никогда решится судьба ее жизни. Она опустила глаза, чтобы не видеть взгляда, под влиянием которого она чувствовала, что не могла думать, а могла по привычке только повиноваться, и сказала:
– Я желаю только одного – исполнить вашу волю, – сказала она, – но ежели бы мое желание нужно было выразить…
Она не успела договорить. Князь перебил ее.
– И прекрасно, – закричал он. – Он тебя возьмет с приданным, да кстати захватит m lle Bourienne. Та будет женой, а ты…
Князь остановился. Он заметил впечатление, произведенное этими словами на дочь. Она опустила голову и собиралась плакать.
– Ну, ну, шучу, шучу, – сказал он. – Помни одно, княжна: я держусь тех правил, что девица имеет полное право выбирать. И даю тебе свободу. Помни одно: от твоего решения зависит счастье жизни твоей. Обо мне нечего говорить.
– Да я не знаю… mon pere.
– Нечего говорить! Ему велят, он не только на тебе, на ком хочешь женится; а ты свободна выбирать… Поди к себе, обдумай и через час приди ко мне и при нем скажи: да или нет. Я знаю, ты станешь молиться. Ну, пожалуй, молись. Только лучше подумай. Ступай. Да или нет, да или нет, да или нет! – кричал он еще в то время, как княжна, как в тумане, шатаясь, уже вышла из кабинета.
Судьба ее решилась и решилась счастливо. Но что отец сказал о m lle Bourienne, – этот намек был ужасен. Неправда, положим, но всё таки это было ужасно, она не могла не думать об этом. Она шла прямо перед собой через зимний сад, ничего не видя и не слыша, как вдруг знакомый шопот m lle Bourienne разбудил ее. Она подняла глаза и в двух шагах от себя увидала Анатоля, который обнимал француженку и что то шептал ей. Анатоль с страшным выражением на красивом лице оглянулся на княжну Марью и не выпустил в первую секунду талию m lle Bourienne, которая не видала ее.
