Физический маятник
Физи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.
Содержание
Определения
- <math>\theta</math> — угол отклонения маятника от равновесия;
- <math>\alpha</math> — начальный угол отклонения маятника;
- <math>m</math> — масса маятника;
- <math>h</math> — расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;
- <math>r</math> — радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.
- <math>g</math> — ускорение свободного падения.
Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса:
- <math>I = m\left(r^2+h^2\right)</math>.
Дифференциальное уравнение движения физического маятника
Пренебрегая сопротивлением среды, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести записывается следующим образом:
- <math>I\frac{d^2\theta}{dt^2} = -mgh\sin\theta</math>.
Полагая <math>\frac{r^2}{h} + h = l</math>, предыдущее уравнение можно переписать в виде:
- <math>l\frac{d^2\theta}{dt^2} = -g\sin\theta</math>.
Последнее уравнение аналогично уравнению колебаний математического маятника длиной <math>l</math>. Величина <math>l</math> называется приведённой длиной физического маятника.
Центр качания физического маятника
Центр качания — точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний не изменился.
Поместим на луче, проходящем от точки подвеса через центр тяжести точку на расстоянии <math>l</math> от точки подвеса. Эта точка и будет центром качания маятника.
Действительно, если всю массу сосредоточить в центре качания, то центр качания будет совпадать с центром масс. Тогда момент инерции относительно оси подвеса будет равен <math>I = ml^2</math>, а момент силы тяжести относительно той же оси <math>-mgl\sin\theta</math>. Легко заметить, уравнение движения не изменится.
Теорема Гюйгенса
Формулировка
Если физический маятник подвесить за центр качания, то его период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса сделается новым центром качания.
Доказательство
Вычислим приведенную длину для нового маятника:
- <math>l_1 = \frac{r^2}{r^2/h} + \frac{r^2}{h} = h + \frac{r^2}{h} = l</math>.
Совпадение приведённых длин для двух случаев и доказывает утверждение, сделанное в теореме.
Период колебаний физического маятника
Для того, чтобы найти период колебаний физического маятника, необходимо решить уравнение качания.
Для этого умножим левую <math>l\frac{d^2\theta}{dt^2} = l\frac{d}{dt}\left(\frac{d\theta}{dt}\right)</math> и правую часть этого уравнения на <math>d\theta</math>. Тогда:
- <math>l\frac{d\theta}{dt}d\left(\frac{d\theta}{dt}\right) = -g\sin\theta\, d\theta</math>.
Интегрируя это уравнение, получаем.
- <math>l\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 = 2g\cos\theta+C</math>,
где <math>C</math> произвольная постоянная. Её можно найти из граничного условия, что в моменты <math>\theta = \pm \alpha\,\,\,, \frac{d\theta}{dt} = 0</math>. Получаем: <math>C = -2g\cos\alpha</math>. Подставляем и преобразовываем получившееся уравнение:
- <math>\frac{d\theta}{dt} = 2\sqrt{\frac{g}{l}}\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}}</math>.
Отделяем переменные и интегрируем это уравнение:
- <math>\sqrt{\frac{g}{l}}t = \int\limits_0^\frac{\theta}{2}{\frac{d\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}}}}</math>.
Удобно сделать замену переменной, полагая <math>\sin\frac{\theta}{2} = \sin\frac{\alpha}{2}\sin\varphi</math>. Тогда искомое уравнение принимает вид:
- <math>t = \sqrt\frac{l}{g}\int\limits_0^\varphi{\frac{d\varphi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\alpha}{2}\sin^2\varphi}}} = \sqrt\frac{l}{g} F\left(\varphi\setminus \alpha/2\right)</math>.
Здесь <math> F\left(\varphi\setminus \alpha\right)</math> — нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Для периода колебаний получаем формулу:
- <math>T = 4\sqrt\frac{l}{g}\,\int\limits_0^{\pi/2}{\frac{d\varphi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\alpha}{2}\sin^2\varphi}}} = 4\sqrt\frac{l}{g}\,K\left(\sin\frac{\alpha}{2}\right)</math>.
Здесь <math>K\left(\sin\frac{\alpha}{2}\right)</math> — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Раскладывая его в ряд, можно получить удобную для практических вычислений формулу:
- <math>T = 2\pi \sqrt\frac{l}{g} \left\{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \sin^{4}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \dots + \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 \sin^{2n}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \dots \right\}
</math>.
Период малых колебаний физического маятника
Если амплитуда колебаний <math>\alpha</math> мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается хорошо известная формула малых колебаний:
- <math>T = 2\pi\sqrt\frac{l}{g} = 2\pi\sqrt\frac{I}{mgh}</math>.
Эта формула даёт результаты приемлемой точности (ошибка менее 1 %) при углах, не превышающих 4°.
Следующий порядок приближения можно использовать с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) при углах до 1 радиана (≈60°)
- <math>T \approx 2\pi\sqrt\frac{l}{g} \left( 1 + \frac{1}{4}\sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \right) = \frac{\pi}{4}\sqrt\frac{l}{g} \left( 9 - \cos{\alpha}\right)</math>.
См. также
Напишите отзыв о статье "Физический маятник"
Ссылки
- маятник — статья из Большой советской энциклопедии.
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи желательно?:
|
Отрывок, характеризующий Физический маятник
– А! – сказал Анатоль. – Ну садись.– Что ж, садись! – сказал Долохов.
– Постою, Федор Иванович.
– Садись, врешь, пей, – сказал Анатоль и налил ему большой стакан мадеры. Глаза ямщика засветились на вино. Отказываясь для приличия, он выпил и отерся шелковым красным платком, который лежал у него в шапке.
– Что ж, когда ехать то, ваше сиятельство?
– Да вот… (Анатоль посмотрел на часы) сейчас и ехать. Смотри же, Балага. А? Поспеешь?
– Да как выезд – счастлив ли будет, а то отчего же не поспеть? – сказал Балага. – Доставляли же в Тверь, в семь часов поспевали. Помнишь небось, ваше сиятельство.
– Ты знаешь ли, на Рожество из Твери я раз ехал, – сказал Анатоль с улыбкой воспоминания, обращаясь к Макарину, который во все глаза умиленно смотрел на Курагина. – Ты веришь ли, Макарка, что дух захватывало, как мы летели. Въехали в обоз, через два воза перескочили. А?
– Уж лошади ж были! – продолжал рассказ Балага. – Я тогда молодых пристяжных к каурому запрег, – обратился он к Долохову, – так веришь ли, Федор Иваныч, 60 верст звери летели; держать нельзя, руки закоченели, мороз был. Бросил вожжи, держи, мол, ваше сиятельство, сам, так в сани и повалился. Так ведь не то что погонять, до места держать нельзя. В три часа донесли черти. Издохла левая только.
Анатоль вышел из комнаты и через несколько минут вернулся в подпоясанной серебряным ремнем шубке и собольей шапке, молодцовато надетой на бекрень и очень шедшей к его красивому лицу. Поглядевшись в зеркало и в той самой позе, которую он взял перед зеркалом, став перед Долоховым, он взял стакан вина.
– Ну, Федя, прощай, спасибо за всё, прощай, – сказал Анатоль. – Ну, товарищи, друзья… он задумался… – молодости… моей, прощайте, – обратился он к Макарину и другим.
Несмотря на то, что все они ехали с ним, Анатоль видимо хотел сделать что то трогательное и торжественное из этого обращения к товарищам. Он говорил медленным, громким голосом и выставив грудь покачивал одной ногой. – Все возьмите стаканы; и ты, Балага. Ну, товарищи, друзья молодости моей, покутили мы, пожили, покутили. А? Теперь, когда свидимся? за границу уеду. Пожили, прощай, ребята. За здоровье! Ура!.. – сказал он, выпил свой стакан и хлопнул его об землю.
– Будь здоров, – сказал Балага, тоже выпив свой стакан и обтираясь платком. Макарин со слезами на глазах обнимал Анатоля. – Эх, князь, уж как грустно мне с тобой расстаться, – проговорил он.
– Ехать, ехать! – закричал Анатоль.
Балага было пошел из комнаты.
– Нет, стой, – сказал Анатоль. – Затвори двери, сесть надо. Вот так. – Затворили двери, и все сели.
– Ну, теперь марш, ребята! – сказал Анатоль вставая.
Лакей Joseph подал Анатолю сумку и саблю, и все вышли в переднюю.
– А шуба где? – сказал Долохов. – Эй, Игнатка! Поди к Матрене Матвеевне, спроси шубу, салоп соболий. Я слыхал, как увозят, – сказал Долохов, подмигнув. – Ведь она выскочит ни жива, ни мертва, в чем дома сидела; чуть замешкаешься, тут и слезы, и папаша, и мамаша, и сейчас озябла и назад, – а ты в шубу принимай сразу и неси в сани.
Лакей принес женский лисий салоп.
– Дурак, я тебе сказал соболий. Эй, Матрешка, соболий! – крикнул он так, что далеко по комнатам раздался его голос.
Красивая, худая и бледная цыганка, с блестящими, черными глазами и с черными, курчавыми сизого отлива волосами, в красной шали, выбежала с собольим салопом на руке.
– Что ж, мне не жаль, ты возьми, – сказала она, видимо робея перед своим господином и жалея салопа.
Долохов, не отвечая ей, взял шубу, накинул ее на Матрешу и закутал ее.
– Вот так, – сказал Долохов. – И потом вот так, – сказал он, и поднял ей около головы воротник, оставляя его только перед лицом немного открытым. – Потом вот так, видишь? – и он придвинул голову Анатоля к отверстию, оставленному воротником, из которого виднелась блестящая улыбка Матреши.
– Ну прощай, Матреша, – сказал Анатоль, целуя ее. – Эх, кончена моя гульба здесь! Стешке кланяйся. Ну, прощай! Прощай, Матреша; ты мне пожелай счастья.
– Ну, дай то вам Бог, князь, счастья большого, – сказала Матреша, с своим цыганским акцентом.
У крыльца стояли две тройки, двое молодцов ямщиков держали их. Балага сел на переднюю тройку, и, высоко поднимая локти, неторопливо разобрал вожжи. Анатоль и Долохов сели к нему. Макарин, Хвостиков и лакей сели в другую тройку.
– Готовы, что ль? – спросил Балага.
– Пущай! – крикнул он, заматывая вокруг рук вожжи, и тройка понесла бить вниз по Никитскому бульвару.
– Тпрру! Поди, эй!… Тпрру, – только слышался крик Балаги и молодца, сидевшего на козлах. На Арбатской площади тройка зацепила карету, что то затрещало, послышался крик, и тройка полетела по Арбату.