Момент инерции

Момент инерции
<math>J = \int r^2 \mathrm dm</math>
Размерность	L2M
Единицы измерения
СИ	кг·м²
СГС	г·см²

Моме́нт ине́рции — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м².

Обозначение: I или J.

Различают несколько моментов инерции — в зависимости от типа базового множества до которого отсчитываются расстояния от элементарных масс.

Осевой момент инерции

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

<math>J_a=\sum_{i=1}^n m_i r_i^2</math>,

где:

• m_i — масса i-й точки,
• r_i — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

<math>J_a=\int\limits_{(m)} r^2dm=\int\limits_{(V)} \rho r^2dV</math>,

где:

dm = ρ dV — масса малого элемента объёма тела dV,

ρ — плотность,

r — расстояние от элемента dV до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

<math>J_a=\rho\int\limits_{(V)} r^2dV.</math>

Теорема Гюйгенса — Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

<math>J=J_c+md^2,</math>

где m — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

<math>J=J_c+md^2=\frac{1}{12}ml^2+m\left(\frac{l}{2}\right)^2=\frac{1}{3}ml^2.</math>

Осевые моменты инерции некоторых тел

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения

Тело	Описание	Положение оси a	Момент инерции Ja
	Материальная точка массы m	На расстоянии r от точки, неподвижная	<math>mr^2</math>
	Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m	Ось цилиндра	<math>mr^2</math>
	Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m	Ось цилиндра	<math>\frac{1}{2}mr^2</math>
	Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r2 и внутренним радиусом r1	Ось цилиндра	<math>m \frac{r_2^2+r_1^2}{2}</math>
	Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс	<math>{1 \over 4} m \cdot r^2 + {1 \over 12} m \cdot l^2</math>
	Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l, радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс	<math>{1 \over 2} m \cdot r^2 + {1 \over 12} m \cdot l^2</math>
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс	<math>\frac{1}{12}ml^2</math>
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец	<math>\frac{1}{3}ml^2</math>
	Тонкостенная сфера радиуса r и массы m	Ось проходит через центр сферы	<math>\frac{2}{3}mr^2</math>
	Шар радиуса r и массы m	Ось проходит через центр шара	<math>\frac{2}{5}mr^2</math>
	Конус радиуса r и массы m	Ось конуса	<math>\frac{3}{10}mr^2</math>
	Равнобедренный треугольник с высотой h, основанием a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину	<math>\frac{1}{24}m(a^2+12h^2)</math>
	Правильный треугольник со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс	<math>\frac{1}{12}ma^2</math>
	Квадрат со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс	<math>\frac{1}{6}ma^2</math>
	Прямоугольник со сторонами a и b и массой m	Ось перпендикулярна плоскости прямоугольника и проходит через центр масс	<math>\frac{1}{12}m(a^2+b^2)</math>
	Правильный n-угольник радиуса r и массой m	Ось перпендикулярна плоскости и проходит через центр масс	<math>\frac{mr^2}{6}\left [ 1+2cos(\pi/n)^2 \right ] </math>

Вывод формул

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы  

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобьём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ_i. Тогда

<math>J = \sum dJ_i = \sum R^2_idm. \qquad (1)</math>

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

<math>J = \sum R^2dm = R^2\sum dm = mR^2.</math>

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы  

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R₁, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

<math>dm = \rho dV = \rho \cdot 2\pi rhdr; \qquad dJ = r^2dm = 2\pi\rho h r^3dr. </math>

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

<math>J = \int^R_{R_1}dJ = 2\pi\rho h\int^R_{R_1}r^3dr = </math>

<math>= 2\pi\rho h \left. \frac{r^4}{4} \right

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Вывод формулы  

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R₁ = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

<math>J = \frac{1}{2}mR^2.</math>

Сплошной конус

Вывод формулы  

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh, перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

<math>r = \frac{Rh}{H},</math>

где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят

<math>dm = \rho dV = \rho \cdot \pi r^2 dh;</math>

<math>dJ = \frac{1}{2}r^2dm = \frac{1}{2}\pi \rho r^4 dh

= \frac{1}{2}\pi \rho \left( \frac{Rh}{H} \right)^4 dh;</math> Интегрируя, получим

<math>

\begin{align} J = \int^H_0 dJ = \frac{1}{2}\pi \rho \left( \frac{R}{H} \right)^4 \int^H_0 h^4 dh

\frac{1}{2}\pi \rho \left( \frac{R}{H} \right)^4 \left. \frac{h^5}{5} \right|^H_0

= \frac{1}{10}\pi \rho R^4H = \left( \rho \cdot \frac{1}{3}\pi R^2H \right)\frac{3}{10}R^2 = \frac{3}{10}mR^2. \end{align} </math>

Сплошной однородный шар

Вывод формулы  

Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

<math>r = \sqrt{R^2-h^2}.</math>

Масса и момент инерции такого диска составят

<math>dm = \rho dV = \rho \cdot \pi r^2 dh; </math>

<math>dJ = \frac{1}{2}r^2dm = \frac{1}{2} \pi\rho r^4 dh

= \frac{1}{2} \pi\rho \left( R^2-h^2 \right)^2 dh = \frac{1}{2} \pi\rho \left( R^4-2R^2h^2+h^4 \right) dh.</math> Момент инерции шара найдём интегрированием:

<math>

\begin{align} J & = \int^R_{-R}dJ = 2\int^R_0 dJ = \pi\rho\int^R_0 \left( R^4-2R^2h^2+h^4 \right) dh = \\ & = \pi\rho \left. \left( R^4h- \frac{2}{3}R^2h^3 + \frac{1}{5}h^5 \right) \right

Тонкостенная сфера

Вывод формулы  

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:

<math>J_0 = \frac{2}{5}MR^2 = \frac{8}{15}\pi \rho R^5.</math>

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.

<math>

\begin{align} J & = \frac{dJ_0}{dR}dR = \frac{d}{dR} \left( \frac{8}{15}\pi \rho R^5 \right) dR = \\ & = \frac{8}{3}\pi \rho R^4 dR = \left( \rho \cdot 4 \pi R^2 dR \right) \frac{2}{3} R^2 = \frac{2}{3} mR^2 \end{align} </math>

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Вывод формулы  

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна

<math>dm = \frac{mdr}{l}; \qquad dJ = r^2dm = \frac{mr^2dr}{l}.</math>

Интегрируя, получим

<math>J = \int^{l/2}_{-l/2} dJ = 2\int^{l/2}_0 dJ = \frac{2m}{l}\int^{l/2}_0 r^2dr

= \frac{2m}{l} \left. \frac{r^3}{3} \right|^{l/2}_0 = \frac{2m}{l} \frac{l^3}{24} = \frac{1}{12}ml^2.</math>

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

Вывод формулы  

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние ^l⁄₂. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

<math>J = J_0+mr^2 = J_0+m \left( \frac{l}{2} \right)^2

= \frac{1}{12}ml^2 + \frac{1}{4}ml^2 = \frac{1}{3}ml^2.</math>

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников

<timeline> ImageSize = width:400 height:230 PlotArea = top:20 bottom:50 right:20 left:20 AlignBars = late Colors =

id:pl value:red legend:Планеты_
id:ao value:brightblue legend:Спутники_
id:gs value:oceanblue legend:Галилеевы_спутники_ 
id:ioao value:rgb(0,1,1)
id:grid value:rgb(0.85,0.85,0.85)
id:grid1 value:rgb(0.75,0.75,0.75) 
id:canvas value:rgb(0.95,0.95,0.95)

DateFormat = yyyy Period = from:0 till:700 TimeAxis = orientation:horizontal ScaleMinor = unit:year increment:10 start:0 gridcolor:grid BackgroundColors = canvas:white Legend = columns:3 left:50 top:24 columnwidth:90 BarData =

 barset:PM

PlotData=

width:8 align:left fontsize:7 shift:(5,-3) anchor:till
barset:PM
from: 0 till: 391 color:ao text:"Луна"
from: 0 till: 375 color:gs text:"Ио"
from: 0 till: 366 color:pl text:"Марс"
from: 0 till: 359 color:gs text:"Каллисто"
from: 0 till: 346 color:gs text:"Европа"
from: 0 till: 346 color:pl text:"Меркурий"
from: 0 till: 340 color:ao text:"Титан"
from: 0 till: 331 color:pl text:"Земля"
from: 0 till: 330 color:pl text:"Венера"
from: 0 till: 310 color:gs text:"Ганимед"
from: 0 till: 290 color:pl text:"Нептун"
from: 0 till: 254 color:pl text:"Юпитер"
from: 0 till: 225 color:pl text:"Уран"
from: 0 till: 210 color:pl text:"Сатурн"

TextData=

pos:(65,45) textcolor:black fontsize:6
text:0,1
pos:(118,45) textcolor:black fontsize:6
text:0,2
pos:(168,45) textcolor:black fontsize:6
text:0,3
pos:(221,45) textcolor:black fontsize:6
text:0,4
pos:(272,45) textcolor:black fontsize:6
text:0,5
pos:(325,45) textcolor:black fontsize:6
text:0,6
pos:(375,45) textcolor:black fontsize:6
text:0,7

LineData =

 at:100 color:grid1 width:1
 at:200 color:grid1 width:1
 at:300 color:grid1 width:1
 at:400 color:yellow width:1
 at:500 color:grid1 width:1
 at:600 color:grid1 width:1
 at:667 color:yellow width:1
 at:700 color:grid1 width:1

</timeline>

Безразмерные моменты инерции планет и спутников

Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr²). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение допплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС, пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра.

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

<math>J_{xy}=\int\limits_{(m)} xydm=\int\limits_{(V)} xy\rho dV</math>

<math>J_{xz}=\int\limits_{(m)} xzdm=\int\limits_{(V)} xz\rho dV</math>

<math>J_{yz}=\int\limits_{(m)} yzdm=\int\limits_{(V)} yz\rho dV</math>

где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции J_xy и J_xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции данного тела.

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

Геометрические моменты инерции

Геометрический момент инерции объёма относительно оси — геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой:

<math>J_{Va}=\int\limits_{(V)} r^2dV</math>,

где, как и ранее r — расстояние от элемента dV до оси a.

Размерность J_Va — длина в пятой степени (<math> \mathrm {dim} J_{Va}= \mathrm {L^{5}}</math>), соответственно единица измерения СИ — м⁵.

Геометрический момент инерции площади относительно оси — геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой:

<math>J_{Sa}=\int\limits_{(S)} r^2dS</math>,

где интегрирование выполняется по поверхности S, а dS — элемент этой поверхности.

Размерность J_Sa — длина в четвёртой степени (<math> \mathrm {dim} J_{Sa}= \mathrm {L^{4}}</math>), соответственно единица измерения СИ — м⁴. В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката часто указывается в см⁴.

Через геометрический момент инерции площади выражается момент сопротивления сечения:

<math>W=\frac{J_{Sa}}{r_{max}}</math>.

Здесь r_max — максимальное расстояние от поверхности до оси.

Геометрические моменты инерции площади некоторых фигур
Прямоугольника высотой <math>h</math> и шириной <math>b</math>:	<math>J_y =\frac{bh^3}{12}</math> <math>J_z =\frac{hb^3}{12}</math>
Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам <math>H</math> и <math>B</math>, а по внутренним <math>h</math> и <math>b</math> соответственно	<math>J_z =\frac{BH^3}{12}-\frac{bh^3}{12}=\frac{1}{12}(BH^3-bh^3)</math> <math>J_y =\frac{HB^3}{12}-\frac{hb^3}{12}=\frac{1}{12}(HB^3-hb^3)</math>
Круга диаметром <math>d</math>	<math> J_y=J_z =\frac{\pi d^4}{64}</math>

Момент инерции относительно плоскости

Моментом инерции твёрдого тела относительно некоторой плоскости называют скалярную величину, равную сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до рассматриваемой плоскости.

Если через произвольную точку <math>O</math> провести координатные оси <math>x, y, z</math>, то моменты инерции относительно координатных плоскостей <math>xOy</math>, <math>yOz</math> и <math>zOx</math> будут выражаться формулами:

<math>J_{xOy}= \sum_{i=1}^n m_i z_i^2\ </math>,

<math>J_{yOz}= \sum_{i=1}^n m_i x_i^2\ </math>,

<math>J_{zOx}= \sum_{i=1}^n m_i y_i^2\ </math>.

В случае сплошного тела суммирование заменяется интегрированием.

Центральный момент инерции

Центральный момент инерции (момент инерции относительно точки O, момент инерции относительно полюса, полярный момент инерции) <math>J_O</math>  — это величина, определяемая выражением:

<math>J_a=\int\limits_{(m)} r^2dm=\int\limits_{(V)} \rho r^2dV</math>,

где:

• <math>dm=\rho dV</math> — масса малого элемента объёма тела <math>dV</math>,
• <math>\rho</math> — плотность,
• <math>r</math> — расстояние от элемента <math>dV</math> до точки O.

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые моменты инерции, а также через моменты инерции относительно плоскостей:

<math>J_O==\frac{1}{2}\left(J_x+J_y+J_z\right)</math>,

<math>J_O=J_{xOy}+J_{yOz}+J_{xOz}</math>.

Тензор инерции и эллипсоид инерции

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором <math>\vec s = \left \Vert s_x , s_y , s_z \right \Vert^T ,\left \vert \vec s \right \vert=1 </math>, можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы:

<math>I_s= \vec s^T \cdot \hat J \cdot \vec s \qquad</math> (1),

где <math>\hat J </math> — тензор инерции. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры <math>3 \times 3 </math> и состоит из компонент центробежных моментов:

<math>\hat J = \left \Vert \begin{array}{ccc} J_{xx} & -J_{xy} & -J_{xz} \\ -J_{yx} & J_{yy} & -J_{yz} \\-J_{zx} & -J_{zy} & J_{zz} \end{array} \right \Vert </math> , <math>J_{xy}= J_{yx}, J_{xz}= J_{zx}, J_{zy}= J_{yz}, </math>
<math>J_{xx}=\int\limits_{(m)} (y^2+z^2)dm , J_{yy}=\int\limits_{(m)} (x^2+z^2)dm, J_{zz}=\int\limits_{(m)} (x^2+y^2)dm </math>.

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора <math>\hat J </math>:
<math>\hat J_d = \hat Q^T \cdot \hat J \cdot \hat Q ;</math> <math>\hat J_d = \left \Vert \begin{array}{ccc} J_{X} & 0 & 0 \\ 0 & J_{Y} & 0 \\0 & 0 & J_{Z} \end{array} \right \Vert </math>,
где <math>\hat Q </math> — ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины <math>J_{X},J_{Y},J_{Z} </math> — главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:

<math>I_s= J_{X} \cdot s_x^2 +J_{Y} \cdot s_y^2 + J_{Z} \cdot s_z^2 </math>,

откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на <math>I_s</math>

<math>\left ( {s_x \over \sqrt {I_s}}\right )^2 \cdot J_{X} + \left ( {s_y \over \sqrt {I_s}}\right )^2 \cdot J_{Y} + \left ( {s_z \over \sqrt {I_s}}\right )^2 \cdot J_{Z} =1 </math>

и произведя замены:

<math>\xi= {s_x \over \sqrt {I_s}}, \eta= {s_y \over \sqrt {I_s}}, \zeta= {s_z \over \sqrt {I_s}} </math>,

получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах <math>\xi \eta \zeta</math>:

<math>\xi^2 \cdot J_{X} + \eta^2 \cdot J_{Y} + \zeta^2 \cdot J_{Z} =1 </math>

Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:

<math>r^2 = \xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = \left ( {s_x \over \sqrt {I_s}}\right )^2 + \left ( {s_y \over \sqrt {I_s}}\right )^2 + \left ( {s_z \over \sqrt {I_s}}\right )^2 = {1 \over I_s} </math>

См. также

• Движение твёрдого тела
• Метод главных компонент
• Сопротивление материалов
• Теорема Штейнера
• Теорема Кёнига (механика)
• Механические приложения тройного интеграла
• Механические приложения двойного интеграла
• Полярный момент инерции
• Список моментов инерции
• Момент силы
• Момент импульса

Литература

• Матвеев. А. Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432с.)
• Трофимова Т. И. Курс физики. — 7-е изд. — М.: Высшая школа, 2001. — 542 с.
• Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А.[nature.web.ru/db/msg.html?mid=1186208&s=120000000 Механика твердого тела. Лекции.] Издательство Физического факультета МГУ, 1997.
• Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.
• Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие — М.: Дрофа, 2002, 800с. ISBN 5-7107-5956-3
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Том I. Механика. 4-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — 560 с.
• Беляев Н. М., Сопротивление материалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976. — 608 с.

Ссылки

• [genphys.phys.msu.ru/rus/lab/mech/opis3/mex3.htm Определение момента инерции тел простой формы]
• [fast-const.ru/articles.php?article_id=17 Осевые моменты инерции, моменты сопротивления и радиусы инерции плоских фигур]
• [kataltim.ru/geom.htm Online Калькулятор осевых моментов инерции, моментов сопротивления и радиусов инерции плоских фигур]

Отрывок, характеризующий Момент инерции

– II n'y a rien qui restaure, comme une tasse de cet excellent the russe apres une nuit blanche, [Ничто так не восстановляет после бессонной ночи, как чашка этого превосходного русского чаю.] – говорил Лоррен с выражением сдержанной оживленности, отхлебывая из тонкой, без ручки, китайской чашки, стоя в маленькой круглой гостиной перед столом, на котором стоял чайный прибор и холодный ужин. Около стола собрались, чтобы подкрепить свои силы, все бывшие в эту ночь в доме графа Безухого. Пьер хорошо помнил эту маленькую круглую гостиную, с зеркалами и маленькими столиками. Во время балов в доме графа, Пьер, не умевший танцовать, любил сидеть в этой маленькой зеркальной и наблюдать, как дамы в бальных туалетах, брильянтах и жемчугах на голых плечах, проходя через эту комнату, оглядывали себя в ярко освещенные зеркала, несколько раз повторявшие их отражения. Теперь та же комната была едва освещена двумя свечами, и среди ночи на одном маленьком столике беспорядочно стояли чайный прибор и блюда, и разнообразные, непраздничные люди, шопотом переговариваясь, сидели в ней, каждым движением, каждым словом показывая, что никто не забывает и того, что делается теперь и имеет еще совершиться в спальне. Пьер не стал есть, хотя ему и очень хотелось. Он оглянулся вопросительно на свою руководительницу и увидел, что она на цыпочках выходила опять в приемную, где остался князь Василий с старшею княжной. Пьер полагал, что и это было так нужно, и, помедлив немного, пошел за ней. Анна Михайловна стояла подле княжны, и обе они в одно время говорили взволнованным шопотом:
– Позвольте мне, княгиня, знать, что нужно и что ненужно, – говорила княжна, видимо, находясь в том же взволнованном состоянии, в каком она была в то время, как захлопывала дверь своей комнаты.
– Но, милая княжна, – кротко и убедительно говорила Анна Михайловна, заступая дорогу от спальни и не пуская княжну, – не будет ли это слишком тяжело для бедного дядюшки в такие минуты, когда ему нужен отдых? В такие минуты разговор о мирском, когда его душа уже приготовлена…
Князь Василий сидел на кресле, в своей фамильярной позе, высоко заложив ногу на ногу. Щеки его сильно перепрыгивали и, опустившись, казались толще внизу; но он имел вид человека, мало занятого разговором двух дам.
– Voyons, ma bonne Анна Михайловна, laissez faire Catiche. [Оставьте Катю делать, что она знает.] Вы знаете, как граф ее любит.
– Я и не знаю, что в этой бумаге, – говорила княжна, обращаясь к князю Василью и указывая на мозаиковый портфель, который она держала в руках. – Я знаю только, что настоящее завещание у него в бюро, а это забытая бумага…
Она хотела обойти Анну Михайловну, но Анна Михайловна, подпрыгнув, опять загородила ей дорогу.
– Я знаю, милая, добрая княжна, – сказала Анна Михайловна, хватаясь рукой за портфель и так крепко, что видно было, она не скоро его пустит. – Милая княжна, я вас прошу, я вас умоляю, пожалейте его. Je vous en conjure… [Умоляю вас…]
Княжна молчала. Слышны были только звуки усилий борьбы зa портфель. Видно было, что ежели она заговорит, то заговорит не лестно для Анны Михайловны. Анна Михайловна держала крепко, но, несмотря на то, голос ее удерживал всю свою сладкую тягучесть и мягкость.
– Пьер, подойдите сюда, мой друг. Я думаю, что он не лишний в родственном совете: не правда ли, князь?
– Что же вы молчите, mon cousin? – вдруг вскрикнула княжна так громко, что в гостиной услыхали и испугались ее голоса. – Что вы молчите, когда здесь Бог знает кто позволяет себе вмешиваться и делать сцены на пороге комнаты умирающего. Интриганка! – прошептала она злобно и дернула портфель изо всей силы.
Но Анна Михайловна сделала несколько шагов, чтобы не отстать от портфеля, и перехватила руку.
– Oh! – сказал князь Василий укоризненно и удивленно. Он встал. – C'est ridicule. Voyons, [Это смешно. Ну, же,] пустите. Я вам говорю.
Княжна пустила.
– И вы!
Анна Михайловна не послушалась его.
– Пустите, я вам говорю. Я беру всё на себя. Я пойду и спрошу его. Я… довольно вам этого.
– Mais, mon prince, [Но, князь,] – говорила Анна Михайловна, – после такого великого таинства дайте ему минуту покоя. Вот, Пьер, скажите ваше мнение, – обратилась она к молодому человеку, который, вплоть подойдя к ним, удивленно смотрел на озлобленное, потерявшее всё приличие лицо княжны и на перепрыгивающие щеки князя Василья.
– Помните, что вы будете отвечать за все последствия, – строго сказал князь Василий, – вы не знаете, что вы делаете.
– Мерзкая женщина! – вскрикнула княжна, неожиданно бросаясь на Анну Михайловну и вырывая портфель.
Князь Василий опустил голову и развел руками.
В эту минуту дверь, та страшная дверь, на которую так долго смотрел Пьер и которая так тихо отворялась, быстро, с шумом откинулась, стукнув об стену, и средняя княжна выбежала оттуда и всплеснула руками.
– Что вы делаете! – отчаянно проговорила она. – II s'en va et vous me laissez seule. [Он умирает, а вы меня оставляете одну.]
Старшая княжна выронила портфель. Анна Михайловна быстро нагнулась и, подхватив спорную вещь, побежала в спальню. Старшая княжна и князь Василий, опомнившись, пошли за ней. Через несколько минут первая вышла оттуда старшая княжна с бледным и сухим лицом и прикушенною нижнею губой. При виде Пьера лицо ее выразило неудержимую злобу.
– Да, радуйтесь теперь, – сказала она, – вы этого ждали.
И, зарыдав, она закрыла лицо платком и выбежала из комнаты.
За княжной вышел князь Василий. Он, шатаясь, дошел до дивана, на котором сидел Пьер, и упал на него, закрыв глаза рукой. Пьер заметил, что он был бледен и что нижняя челюсть его прыгала и тряслась, как в лихорадочной дрожи.
– Ах, мой друг! – сказал он, взяв Пьера за локоть; и в голосе его была искренность и слабость, которых Пьер никогда прежде не замечал в нем. – Сколько мы грешим, сколько мы обманываем, и всё для чего? Мне шестой десяток, мой друг… Ведь мне… Всё кончится смертью, всё. Смерть ужасна. – Он заплакал.
Анна Михайловна вышла последняя. Она подошла к Пьеру тихими, медленными шагами.
– Пьер!… – сказала она.
Пьер вопросительно смотрел на нее. Она поцеловала в лоб молодого человека, увлажая его слезами. Она помолчала.
– II n'est plus… [Его не стало…]
Пьер смотрел на нее через очки.
– Allons, je vous reconduirai. Tachez de pleurer. Rien ne soulage, comme les larmes. [Пойдемте, я вас провожу. Старайтесь плакать: ничто так не облегчает, как слезы.]
Она провела его в темную гостиную и Пьер рад был, что никто там не видел его лица. Анна Михайловна ушла от него, и когда она вернулась, он, подложив под голову руку, спал крепким сном.
На другое утро Анна Михайловна говорила Пьеру:
– Oui, mon cher, c'est une grande perte pour nous tous. Je ne parle pas de vous. Mais Dieu vous soutndra, vous etes jeune et vous voila a la tete d'une immense fortune, je l'espere. Le testament n'a pas ete encore ouvert. Je vous connais assez pour savoir que cela ne vous tourienera pas la tete, mais cela vous impose des devoirs, et il faut etre homme. [Да, мой друг, это великая потеря для всех нас, не говоря о вас. Но Бог вас поддержит, вы молоды, и вот вы теперь, надеюсь, обладатель огромного богатства. Завещание еще не вскрыто. Я довольно вас знаю и уверена, что это не вскружит вам голову; но это налагает на вас обязанности; и надо быть мужчиной.]
Пьер молчал.
– Peut etre plus tard je vous dirai, mon cher, que si je n'avais pas ete la, Dieu sait ce qui serait arrive. Vous savez, mon oncle avant hier encore me promettait de ne pas oublier Boris. Mais il n'a pas eu le temps. J'espere, mon cher ami, que vous remplirez le desir de votre pere. [После я, может быть, расскажу вам, что если б я не была там, то Бог знает, что бы случилось. Вы знаете, что дядюшка третьего дня обещал мне не забыть Бориса, но не успел. Надеюсь, мой друг, вы исполните желание отца.]
Пьер, ничего не понимая и молча, застенчиво краснея, смотрел на княгиню Анну Михайловну. Переговорив с Пьером, Анна Михайловна уехала к Ростовым и легла спать. Проснувшись утром, она рассказывала Ростовым и всем знакомым подробности смерти графа Безухого. Она говорила, что граф умер так, как и она желала бы умереть, что конец его был не только трогателен, но и назидателен; последнее же свидание отца с сыном было до того трогательно, что она не могла вспомнить его без слез, и что она не знает, – кто лучше вел себя в эти страшные минуты: отец ли, который так всё и всех вспомнил в последние минуты и такие трогательные слова сказал сыну, или Пьер, на которого жалко было смотреть, как он был убит и как, несмотря на это, старался скрыть свою печаль, чтобы не огорчить умирающего отца. «C'est penible, mais cela fait du bien; ca eleve l'ame de voir des hommes, comme le vieux comte et son digne fils», [Это тяжело, но это спасительно; душа возвышается, когда видишь таких людей, как старый граф и его достойный сын,] говорила она. О поступках княжны и князя Василья она, не одобряя их, тоже рассказывала, но под большим секретом и шопотом.


В Лысых Горах, имении князя Николая Андреевича Болконского, ожидали с каждым днем приезда молодого князя Андрея с княгиней; но ожидание не нарушало стройного порядка, по которому шла жизнь в доме старого князя. Генерал аншеф князь Николай Андреевич, по прозванию в обществе le roi de Prusse, [король прусский,] с того времени, как при Павле был сослан в деревню, жил безвыездно в своих Лысых Горах с дочерью, княжною Марьей, и при ней компаньонкой, m lle Bourienne. [мадмуазель Бурьен.] И в новое царствование, хотя ему и был разрешен въезд в столицы, он также продолжал безвыездно жить в деревне, говоря, что ежели кому его нужно, то тот и от Москвы полтораста верст доедет до Лысых Гор, а что ему никого и ничего не нужно. Он говорил, что есть только два источника людских пороков: праздность и суеверие, и что есть только две добродетели: деятельность и ум. Он сам занимался воспитанием своей дочери и, чтобы развивать в ней обе главные добродетели, до двадцати лет давал ей уроки алгебры и геометрии и распределял всю ее жизнь в беспрерывных занятиях. Сам он постоянно был занят то писанием своих мемуаров, то выкладками из высшей математики, то точением табакерок на станке, то работой в саду и наблюдением над постройками, которые не прекращались в его имении. Так как главное условие для деятельности есть порядок, то и порядок в его образе жизни был доведен до последней степени точности. Его выходы к столу совершались при одних и тех же неизменных условиях, и не только в один и тот же час, но и минуту. С людьми, окружавшими его, от дочери до слуг, князь был резок и неизменно требователен, и потому, не быв жестоким, он возбуждал к себе страх и почтительность, каких не легко мог бы добиться самый жестокий человек. Несмотря на то, что он был в отставке и не имел теперь никакого значения в государственных делах, каждый начальник той губернии, где было имение князя, считал своим долгом являться к нему и точно так же, как архитектор, садовник или княжна Марья, дожидался назначенного часа выхода князя в высокой официантской. И каждый в этой официантской испытывал то же чувство почтительности и даже страха, в то время как отворялась громадно высокая дверь кабинета и показывалась в напудренном парике невысокая фигурка старика, с маленькими сухими ручками и серыми висячими бровями, иногда, как он насупливался, застилавшими блеск умных и точно молодых блестящих глаз.
В день приезда молодых, утром, по обыкновению, княжна Марья в урочный час входила для утреннего приветствия в официантскую и со страхом крестилась и читала внутренно молитву. Каждый день она входила и каждый день молилась о том, чтобы это ежедневное свидание сошло благополучно.
Сидевший в официантской пудреный старик слуга тихим движением встал и шопотом доложил: «Пожалуйте».
Из за двери слышались равномерные звуки станка. Княжна робко потянула за легко и плавно отворяющуюся дверь и остановилась у входа. Князь работал за станком и, оглянувшись, продолжал свое дело.
Огромный кабинет был наполнен вещами, очевидно, беспрестанно употребляемыми. Большой стол, на котором лежали книги и планы, высокие стеклянные шкафы библиотеки с ключами в дверцах, высокий стол для писания в стоячем положении, на котором лежала открытая тетрадь, токарный станок, с разложенными инструментами и с рассыпанными кругом стружками, – всё выказывало постоянную, разнообразную и порядочную деятельность. По движениям небольшой ноги, обутой в татарский, шитый серебром, сапожок, по твердому налеганию жилистой, сухощавой руки видна была в князе еще упорная и много выдерживающая сила свежей старости. Сделав несколько кругов, он снял ногу с педали станка, обтер стамеску, кинул ее в кожаный карман, приделанный к станку, и, подойдя к столу, подозвал дочь. Он никогда не благословлял своих детей и только, подставив ей щетинистую, еще небритую нынче щеку, сказал, строго и вместе с тем внимательно нежно оглядев ее:
– Здорова?… ну, так садись!
Он взял тетрадь геометрии, писанную его рукой, и подвинул ногой свое кресло.
– На завтра! – сказал он, быстро отыскивая страницу и от параграфа до другого отмечая жестким ногтем.
Княжна пригнулась к столу над тетрадью.
– Постой, письмо тебе, – вдруг сказал старик, доставая из приделанного над столом кармана конверт, надписанный женскою рукой, и кидая его на стол.
Лицо княжны покрылось красными пятнами при виде письма. Она торопливо взяла его и пригнулась к нему.
– От Элоизы? – спросил князь, холодною улыбкой выказывая еще крепкие и желтоватые зубы.
– Да, от Жюли, – сказала княжна, робко взглядывая и робко улыбаясь.
– Еще два письма пропущу, а третье прочту, – строго сказал князь, – боюсь, много вздору пишете. Третье прочту.
– Прочтите хоть это, mon pere, [батюшка,] – отвечала княжна, краснея еще более и подавая ему письмо.
– Третье, я сказал, третье, – коротко крикнул князь, отталкивая письмо, и, облокотившись на стол, пододвинул тетрадь с чертежами геометрии.
– Ну, сударыня, – начал старик, пригнувшись близко к дочери над тетрадью и положив одну руку на спинку кресла, на котором сидела княжна, так что княжна чувствовала себя со всех сторон окруженною тем табачным и старчески едким запахом отца, который она так давно знала. – Ну, сударыня, треугольники эти подобны; изволишь видеть, угол abc…
Княжна испуганно взглядывала на близко от нее блестящие глаза отца; красные пятна переливались по ее лицу, и видно было, что она ничего не понимает и так боится, что страх помешает ей понять все дальнейшие толкования отца, как бы ясны они ни были. Виноват ли был учитель или виновата была ученица, но каждый день повторялось одно и то же: у княжны мутилось в глазах, она ничего не видела, не слышала, только чувствовала близко подле себя сухое лицо строгого отца, чувствовала его дыхание и запах и только думала о том, как бы ей уйти поскорее из кабинета и у себя на просторе понять задачу.
Старик выходил из себя: с грохотом отодвигал и придвигал кресло, на котором сам сидел, делал усилия над собой, чтобы не разгорячиться, и почти всякий раз горячился, бранился, а иногда швырял тетрадью.
Княжна ошиблась ответом.
– Ну, как же не дура! – крикнул князь, оттолкнув тетрадь и быстро отвернувшись, но тотчас же встал, прошелся, дотронулся руками до волос княжны и снова сел.
Он придвинулся и продолжал толкование.
– Нельзя, княжна, нельзя, – сказал он, когда княжна, взяв и закрыв тетрадь с заданными уроками, уже готовилась уходить, – математика великое дело, моя сударыня. А чтобы ты была похожа на наших глупых барынь, я не хочу. Стерпится слюбится. – Он потрепал ее рукой по щеке. – Дурь из головы выскочит.
Она хотела выйти, он остановил ее жестом и достал с высокого стола новую неразрезанную книгу.
– Вот еще какой то Ключ таинства тебе твоя Элоиза посылает. Религиозная. А я ни в чью веру не вмешиваюсь… Просмотрел. Возьми. Ну, ступай, ступай!
Он потрепал ее по плечу и сам запер за нею дверь.
Княжна Марья возвратилась в свою комнату с грустным, испуганным выражением, которое редко покидало ее и делало ее некрасивое, болезненное лицо еще более некрасивым, села за свой письменный стол, уставленный миниатюрными портретами и заваленный тетрадями и книгами. Княжна была столь же беспорядочная, как отец ее порядочен. Она положила тетрадь геометрии и нетерпеливо распечатала письмо. Письмо было от ближайшего с детства друга княжны; друг этот была та самая Жюли Карагина, которая была на именинах у Ростовых:
Жюли писала:
«Chere et excellente amie, quelle chose terrible et effrayante que l'absence! J'ai beau me dire que la moitie de mon existence et de mon bonheur est en vous, que malgre la distance qui nous separe, nos coeurs sont unis par des liens indissolubles; le mien se revolte contre la destinee, et je ne puis, malgre les plaisirs et les distractions qui m'entourent, vaincre une certaine tristesse cachee que je ressens au fond du coeur depuis notre separation. Pourquoi ne sommes nous pas reunies, comme cet ete dans votre grand cabinet sur le canape bleu, le canape a confidences? Pourquoi ne puis je, comme il y a trois mois, puiser de nouvelles forces morales dans votre regard si doux, si calme et si penetrant, regard que j'aimais tant et que je crois voir devant moi, quand je vous ecris».
[Милый и бесценный друг, какая страшная и ужасная вещь разлука! Сколько ни твержу себе, что половина моего существования и моего счастия в вас, что, несмотря на расстояние, которое нас разлучает, сердца наши соединены неразрывными узами, мое сердце возмущается против судьбы, и, несмотря на удовольствия и рассеяния, которые меня окружают, я не могу подавить некоторую скрытую грусть, которую испытываю в глубине сердца со времени нашей разлуки. Отчего мы не вместе, как в прошлое лето, в вашем большом кабинете, на голубом диване, на диване «признаний»? Отчего я не могу, как три месяца тому назад, почерпать новые нравственные силы в вашем взгляде, кротком, спокойном и проницательном, который я так любила и который я вижу перед собой в ту минуту, как пишу вам?]
Прочтя до этого места, княжна Марья вздохнула и оглянулась в трюмо, которое стояло направо от нее. Зеркало отразило некрасивое слабое тело и худое лицо. Глаза, всегда грустные, теперь особенно безнадежно смотрели на себя в зеркало. «Она мне льстит», подумала княжна, отвернулась и продолжала читать. Жюли, однако, не льстила своему другу: действительно, и глаза княжны, большие, глубокие и лучистые (как будто лучи теплого света иногда снопами выходили из них), были так хороши, что очень часто, несмотря на некрасивость всего лица, глаза эти делались привлекательнее красоты. Но княжна никогда не видала хорошего выражения своих глаз, того выражения, которое они принимали в те минуты, когда она не думала о себе. Как и у всех людей, лицо ее принимало натянуто неестественное, дурное выражение, как скоро она смотрелась в зеркало. Она продолжала читать: 211
«Tout Moscou ne parle que guerre. L'un de mes deux freres est deja a l'etranger, l'autre est avec la garde, qui se met en Marieche vers la frontiere. Notre cher еmpereur a quitte Petersbourg et, a ce qu'on pretend, compte lui meme exposer sa precieuse existence aux chances de la guerre. Du veuille que le monstre corsicain, qui detruit le repos de l'Europe, soit terrasse par l'ange que le Tout Рuissant, dans Sa misericorde, nous a donnee pour souverain. Sans parler de mes freres, cette guerre m'a privee d'une relation des plus cheres a mon coeur. Je parle du jeune Nicolas Rostoff, qui avec son enthousiasme n'a pu supporter l'inaction et a quitte l'universite pour aller s'enroler dans l'armee. Eh bien, chere Marieie, je vous avouerai, que, malgre son extreme jeunesse, son depart pour l'armee a ete un grand chagrin pour moi. Le jeune homme, dont je vous parlais cet ete, a tant de noblesse, de veritable jeunesse qu'on rencontre si rarement dans le siecle оu nous vivons parmi nos villards de vingt ans. Il a surtout tant de franchise et de coeur. Il est tellement pur et poetique, que mes relations avec lui, quelque passageres qu'elles fussent, ont ete l'une des plus douees jouissances de mon pauvre coeur, qui a deja tant souffert. Je vous raconterai un jour nos adieux et tout ce qui s'est dit en partant. Tout cela est encore trop frais. Ah! chere amie, vous etes heureuse de ne pas connaitre ces jouissances et ces peines si poignantes. Vous etes heureuse, puisque les derienieres sont ordinairement les plus fortes! Je sais fort bien, que le comte Nicolas est trop jeune pour pouvoir jamais devenir pour moi quelque chose de plus qu'un ami, mais cette douee amitie, ces relations si poetiques et si pures ont ete un besoin pour mon coeur. Mais n'en parlons plus. La grande nouvelle du jour qui occupe tout Moscou est la mort du vieux comte Безухой et son heritage. Figurez vous que les trois princesses n'ont recu que tres peu de chose, le prince Basile rien, est que c'est M. Pierre qui a tout herite, et qui par dessus le Marieche a ete reconnu pour fils legitime, par consequent comte Безухой est possesseur de la plus belle fortune de la Russie. On pretend que le prince Basile a joue un tres vilain role dans toute cette histoire et qu'il est reparti tout penaud pour Petersbourg.
«Je vous avoue, que je comprends tres peu toutes ces affaires de legs et de testament; ce que je sais, c'est que depuis que le jeune homme que nous connaissions tous sous le nom de M. Pierre les tout court est devenu comte Безухой et possesseur de l'une des plus grandes fortunes de la Russie, je m'amuse fort a observer les changements de ton et des manieres des mamans accablees de filles a Marieier et des demoiselles elles memes a l'egard de cet individu, qui, par parenthese, m'a paru toujours etre un pauvre, sire. Comme on s'amuse depuis deux ans a me donner des promis que je ne connais pas le plus souvent, la chronique matrimoniale de Moscou me fait comtesse Безухой. Mais vous sentez bien que je ne me souc nullement de le devenir. A propos de Marieiage, savez vous que tout derienierement la tante en general Анна Михайловна, m'a confie sous le sceau du plus grand secret un projet de Marieiage pour vous. Ce n'est ni plus, ni moins, que le fils du prince Basile, Anatole, qu'on voudrait ranger en le Marieiant a une personne riche et distinguee, et c'est sur vous qu'est tombe le choix des parents. Je ne sais comment vous envisagerez la chose, mais j'ai cru de mon devoir de vous en avertir. On le dit tres beau et tres mauvais sujet; c'est tout ce que j'ai pu savoir sur son compte.