Эллипсоид инерции

Эллипсо́ид ине́рции (для точки O) — геометрическая фигура в виде поверхности второго порядка, которая характеризует тензор инерции твёрдого тела относительно точки O.

Тензор инерции и эллипсоид инерции

Основная статья: Тензор инерции

Момент инерции тела дается общей формулой:

<math>

I = \int \mathbf r_{\bot}^2 \,dm </math> Тензор инерции для твердого тела представляется в виде симметричной матрицы

<math>

\begin{pmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{pmatrix} </math> в которой элементы являются моментами инерции относительно различных осей:

<math>I_{xx} = \int (y^2 + z^2)\, dm</math> <math>I_{yy} = \int (x^2 + z^2)\, dm</math> <math>I_{zz} = \int (x^2 + y^2)\, dm</math>

<math>I_{xy} = I_{yx} = - \int xy\, dm</math> <math>I_{xz} = I_{zx} = - \int xz\, dm</math> <math>I_{yz} = I_{zy} = - \int yz\, dm</math>

Матрица тензора инерции может быть представлена в диагональном виде, и тогда диагональные элементы <math>I_{x}</math>, <math>I_{y}</math>, <math>I_{z}</math> будут главными моментами инерции тела. Уравнение эллипсоида инерции тогда запишется как:

<math>I_{x} x^2 + I_{y} y^2 + I_{z} z^2 = 1 </math>

При этом координатные оси эллипсоида должны совпадать с главными осями тела.

Знание эллипсоида инерции позволяет найти момент инерции тела относительно любой оси, если только она проходит через центр эллипсоида. Для этого вдоль выбранной оси проводится радиус-вектор до пересечения с эллипсоидом инерции. Момент инерции тела относительно этой оси дается формулой:

<math>I = \frac{1}{r^2}</math>, где <math>r</math> - длина радиус-вектора.

Примеры эллипсоидов инерции

Прямоугольный параллелепипед

Пусть параллелепипед имеет размеры <math>a, b, c </math>. Главные моменты инерции:

<math>

I_x = \frac{m}{12} (b^2+c^2), \quad I_y=\frac{m}{12}(a^2+c^2), \quad I_z=\frac {m}{12} (a^2+b^2) </math> Примерный вид эллипсоида инерции представлен на иллюстрации.

Для расчета эллипсоида инерции бесконечно длинного тонкого стержня один из размеров считается много больше остальных, и эллипсоид вырождается в цилиндрическую поверхность.

Литература

1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. — 4-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — Т. 1. Механика. — С. 311. — 560 с. — ISBN 5-9221-0225-7.
2. Лабораторный практикум по общей физике / А.Д.Гладун. — М.: МФТИ, 2004. — Т. 1. Механика. — С. 133. — 316 с. — ISBN 5-7417-0202-3.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. — 5-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — Т. 1. Механика. — С. 131. — 224 с. — ISBN 978-5-9221-0819-5.

Отрывок, характеризующий Эллипсоид инерции

– Оставьте, Борис, вы такой дипломат (слово дипломат было в большом ходу у детей в том особом значении, какое они придавали этому слову); даже скучно, – сказала Наташа оскорбленным, дрожащим голосом. – За что она ко мне пристает? Ты этого никогда не поймешь, – сказала она, обращаясь к Вере, – потому что ты никогда никого не любила; у тебя сердца нет, ты только madame de Genlis [мадам Жанлис] (это прозвище, считавшееся очень обидным, было дано Вере Николаем), и твое первое удовольствие – делать неприятности другим. Ты кокетничай с Бергом, сколько хочешь, – проговорила она скоро.
– Да уж я верно не стану перед гостями бегать за молодым человеком…
– Ну, добилась своего, – вмешался Николай, – наговорила всем неприятностей, расстроила всех. Пойдемте в детскую.
Все четверо, как спугнутая стая птиц, поднялись и пошли из комнаты.
– Мне наговорили неприятностей, а я никому ничего, – сказала Вера.
– Madame de Genlis! Madame de Genlis! – проговорили смеющиеся голоса из за двери.
Красивая Вера, производившая на всех такое раздражающее, неприятное действие, улыбнулась и видимо не затронутая тем, что ей было сказано, подошла к зеркалу и оправила шарф и прическу. Глядя на свое красивое лицо, она стала, повидимому, еще холоднее и спокойнее.

В гостиной продолжался разговор.
– Ah! chere, – говорила графиня, – и в моей жизни tout n'est pas rose. Разве я не вижу, что du train, que nous allons, [не всё розы. – при нашем образе жизни,] нашего состояния нам не надолго! И всё это клуб, и его доброта. В деревне мы живем, разве мы отдыхаем? Театры, охоты и Бог знает что. Да что обо мне говорить! Ну, как же ты это всё устроила? Я часто на тебя удивляюсь, Annette, как это ты, в свои годы, скачешь в повозке одна, в Москву, в Петербург, ко всем министрам, ко всей знати, со всеми умеешь обойтись, удивляюсь! Ну, как же это устроилось? Вот я ничего этого не умею.
– Ах, душа моя! – отвечала княгиня Анна Михайловна. – Не дай Бог тебе узнать, как тяжело остаться вдовой без подпоры и с сыном, которого любишь до обожания. Всему научишься, – продолжала она с некоторою гордостью. – Процесс мой меня научил. Ежели мне нужно видеть кого нибудь из этих тузов, я пишу записку: «princesse une telle [княгиня такая то] желает видеть такого то» и еду сама на извозчике хоть два, хоть три раза, хоть четыре, до тех пор, пока не добьюсь того, что мне надо. Мне всё равно, что бы обо мне ни думали.
– Ну, как же, кого ты просила о Бореньке? – спросила графиня. – Ведь вот твой уже офицер гвардии, а Николушка идет юнкером. Некому похлопотать. Ты кого просила?
– Князя Василия. Он был очень мил. Сейчас на всё согласился, доложил государю, – говорила княгиня Анна Михайловна с восторгом, совершенно забыв всё унижение, через которое она прошла для достижения своей цели.