Функция Мангольдта

Функция Мангольдта — арифметическая функция <math>\Lambda (n)</math>, равная <math>\ln p</math>, если <math>n=p^m</math> — степень простого числа, в противном случае <math>\Lambda (n)=0</math>. Кратко:

<math>\Lambda(n)=\begin{cases}\ln p,\text{ if } n=p^m\\ 0,\text{ if } n\neq p^m\end{cases}</math>

Функция Мангольдта предложена X. Мангольдтом в 1894-м году. Используется для доказательства закона распределения простых чисел вообще и в арифметических прогрессиях.

Свойства

• Из определения следует, что

<math>\sum\limits_{d\mid n}\Lambda(d)=\ln n</math>

• С помощью формулы обращения Мёбиуса из предыдущей формулы получаем

<math>\Lambda(n)=\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)\ln \frac{n}{d} = -\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)\ln d</math>

Связь с распределением простых чисел

• Связь с дзета-функцией Римана :<math>\ln\zeta(s)=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{\Lambda(n)}{n^s\ln n}, \ \operatorname{Re}s > 1</math>
•  :<math>-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\Lambda(n)}{n^s}, \ \operatorname{Re}s > 1</math>
• Аналогичные соотношения имеют место и для L-функций Дирихле:

<math>\ln L(s,\chi)=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{\chi(n)\Lambda(n)}{n^s\ln n}, \ \operatorname{Re}s > 1</math>

<math>-\frac{L'(s,\chi)}{L(s,\chi)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)\Lambda(n)}{n^s}, \ \operatorname{Re}s > 1</math>

•  :<math>\sum\limits_{n\leqslant x}\frac{\Lambda(n)}{n}\sim\ln x</math>
•  :<math>\sum\limits_{n\leqslant x}\frac{\Lambda(n)}{n\ln n}=\ln\ln x+\gamma+O(e^{-c\sqrt{\ln x}}),</math> где <math>\gamma</math> — постоянная Эйлера
• Пси-функция Чебышёва — сумматорная функция функции Мангольдта

<math>\psi(x)=\sum\limits_{n\leqslant x}\Lambda(n)</math>

• Формула Перрона, примененная к предыдущему соотношению, даёт

<math>\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=-s\int\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\psi(x)}{x^{1+s}}dx, \ \operatorname{Re}s > 1</math>

Литература

• Прахар. Распределение простых чисел. — М.: Мир, 1967

.

Отрывок, характеризующий Функция Мангольдта

– Sire, je vous demande la permission de donner la legion d'honneur au plus brave de vos soldats, [Государь, я прошу у вас позволенья дать орден Почетного легиона храбрейшему из ваших солдат,] – сказал резкий, точный голос, договаривающий каждую букву. Это говорил малый ростом Бонапарте, снизу прямо глядя в глаза Александру. Александр внимательно слушал то, что ему говорили, и наклонив голову, приятно улыбнулся.
– A celui qui s'est le plus vaillament conduit dans cette derieniere guerre, [Тому, кто храбрее всех показал себя во время войны,] – прибавил Наполеон, отчеканивая каждый слог, с возмутительным для Ростова спокойствием и уверенностью оглядывая ряды русских, вытянувшихся перед ним солдат, всё держащих на караул и неподвижно глядящих в лицо своего императора.
– Votre majeste me permettra t elle de demander l'avis du colonel? [Ваше Величество позволит ли мне спросить мнение полковника?] – сказал Александр и сделал несколько поспешных шагов к князю Козловскому, командиру батальона. Бонапарте стал между тем снимать перчатку с белой, маленькой руки и разорвав ее, бросил. Адъютант, сзади торопливо бросившись вперед, поднял ее.
– Кому дать? – не громко, по русски спросил император Александр у Козловского.
– Кому прикажете, ваше величество? – Государь недовольно поморщился и, оглянувшись, сказал:
– Да ведь надобно же отвечать ему.
Козловский с решительным видом оглянулся на ряды и в этом взгляде захватил и Ростова.
«Уж не меня ли?» подумал Ростов.
– Лазарев! – нахмурившись прокомандовал полковник; и первый по ранжиру солдат, Лазарев, бойко вышел вперед.