Уравнение эйконала

Уравнение эйконала (от др.-греч. εἰκών — изображение) — нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных, встречающееся в задачах распространения волн, когда волновое уравнение аппроксимируется с помощью квазиклассического приближения. Это уравнение выводится из уравнений Максвелла, и связывает волновую оптику с геометрической оптикой.

Формулировка

Уравнение эйконала может быть представлено в форме:

<math> | \nabla u(x)|=F(x), \ x\in \Omega</math>

<math>u|_{\partial \Omega}=0</math>, где

<math>\Omega</math> есть подмножество в <math>\mathbb{R}^n</math>. Здесь

• <math>F(x)</math> — функция с положительными значениями связанная со скоростью распространения волн в среде.
• <math>\nabla</math> — обозначает градиент,
• <math>|\dots|</math> — Евклидова норма.

Примеры

• Если <math>F\equiv 1</math>, дистанционная функция до <math>\partial \Omega</math> удовлетворяет уравнению эйконала.

Ссылки

• [de.ifmo.ru/bk_netra/page.php?dir=1&tutindex=201&index=20&layer=2 Приближение коротких длин волн. Уравнение эйконала]

Литература

• Борн М., Вольф Эйконал, Основы оптики, пер. с англ., М., 1973

Отрывок, характеризующий Уравнение эйконала

Налево внизу, в тумане, слышалась перестрелка между невидными войсками. Там, казалось князю Андрею, сосредоточится сражение, там встретится препятствие, и «туда то я буду послан, – думал он, – с бригадой или дивизией, и там то с знаменем в руке я пойду вперед и сломлю всё, что будет предо мной».
Князь Андрей не мог равнодушно смотреть на знамена проходивших батальонов. Глядя на знамя, ему всё думалось: может быть, это то самое знамя, с которым мне придется итти впереди войск.
Ночной туман к утру оставил на высотах только иней, переходивший в росу, в лощинах же туман расстилался еще молочно белым морем. Ничего не было видно в той лощине налево, куда спустились наши войска и откуда долетали звуки стрельбы. Над высотами было темное, ясное небо, и направо огромный шар солнца. Впереди, далеко, на том берегу туманного моря, виднелись выступающие лесистые холмы, на которых должна была быть неприятельская армия, и виднелось что то. Вправо вступала в область тумана гвардия, звучавшая топотом и колесами и изредка блестевшая штыками; налево, за деревней, такие же массы кавалерии подходили и скрывались в море тумана. Спереди и сзади двигалась пехота. Главнокомандующий стоял на выезде деревни, пропуская мимо себя войска. Кутузов в это утро казался изнуренным и раздражительным. Шедшая мимо его пехота остановилась без приказания, очевидно, потому, что впереди что нибудь задержало ее.