Феномен Рунге
Феномен (явление) Рунге — в численном анализе эффект нежелательных осцилляций, возникающий при интерполяции полиномами высоких степеней. Был открыт Карлом Рунге при изучении ошибок полиномиальной интерполяции для приближения некоторых функций[1].
Рассмотрим функцию <math>f(x) = \frac{1}{1+x^2}.</math> Если интерполировать её по равноотстоящим узлам <math>x_i</math> между −1 и 1 <math>x_i = -1 + (i-1)\frac{2}{n},\quad i \in \left\{ 1, 2, \dots, n+1 \right\}</math> полиномом <math>P_n(x)</math> со степенью меньше или равной <math>n</math>, то полученный интерполянт будет осциллировать ближе к концам интервала. С возрастанием степени полинома погрешность интерполяции стремится к бесконечности: <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \max_{-1 \leq x \leq 1} | f(x) - P_n(x)| \right) = \infty.</math>
Тем не менее, согласно аппроксимационной теореме Вейерштрасса, для любой непрерывной функции на отрезке можно подобрать последовательность полиномов, равномерно сходящихся к этой функции на отрезке. Пример лишь показывает трудность интерполяции по равноотстоящим узлам полиномом высокой степени.
Погрешность интерполяции функции полиномом степени <math>N</math> ограничена <math>N</math>-ой производной функции: у такого полинома может быть <math>N-1</math> точка экстремума.
Напишите отзыв о статье "Феномен Рунге"
Примечания
- ↑ Рунге, Карл Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten (нем.) // Zeitschrift für Mathematik und Physik. — 1901. — Bd. 46. — S. 224—243.
|
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её. |
Отрывок, характеризующий Феномен Рунге
За несколько дней до Бородинского сражения Николай получил деньги, бумаги и, послав вперед гусар, на почтовых поехал в Воронеж.Только тот, кто испытал это, то есть пробыл несколько месяцев не переставая в атмосфере военной, боевой жизни, может понять то наслаждение, которое испытывал Николай, когда он выбрался из того района, до которого достигали войска своими фуражировками, подвозами провианта, гошпиталями; когда он, без солдат, фур, грязных следов присутствия лагеря, увидал деревни с мужиками и бабами, помещичьи дома, поля с пасущимся скотом, станционные дома с заснувшими смотрителями. Он почувствовал такую радость, как будто в первый раз все это видел. В особенности то, что долго удивляло и радовало его, – это были женщины, молодые, здоровые, за каждой из которых не было десятка ухаживающих офицеров, и женщины, которые рады и польщены были тем, что проезжий офицер шутит с ними.
В самом веселом расположении духа Николай ночью приехал в Воронеж в гостиницу, заказал себе все то, чего он долго лишен был в армии, и на другой день, чисто начисто выбрившись и надев давно не надеванную парадную форму, поехал являться к начальству.
Начальник ополчения был статский генерал, старый человек, который, видимо, забавлялся своим военным званием и чином. Он сердито (думая, что в этом военное свойство) принял Николая и значительно, как бы имея на то право и как бы обсуживая общий ход дела, одобряя и не одобряя, расспрашивал его. Николай был так весел, что ему только забавно было это.
От начальника ополчения он поехал к губернатору. Губернатор был маленький живой человечек, весьма ласковый и простой. Он указал Николаю на те заводы, в которых он мог достать лошадей, рекомендовал ему барышника в городе и помещика за двадцать верст от города, у которых были лучшие лошади, и обещал всякое содействие.
