Основное кинетическое уравнение
Основное кинетическое уравнение — феноменологическое уравнение, описывающее эволюцию системы во времени. Установлено В. Паули в 1928 году. Название «основное уравнение» — перевод термина англ. Master equation. Называется также производящее или управляющее уравнение. Иногда также называют уравнением Паули (не путать с уравнением Паули, являющимся обобщением уравнения Шрёдингера!).
Для процесса, не зависящего от прошлого системы, (марковский процесс) основное кинетическое уравнение имеет вид:
- <math>\frac{dP_n}{dt}=\sum_{m\neq n} \left(w_{nm}\cdot P_m-w_{mn}\cdot P_n\right)</math>.
где
- <math>P_m=\rho_{mm}</math> и <math>P_n=\rho_{nn}</math> — вероятности того, что система находится в состояниях <math>m</math> и <math>n</math>, соответствующие диагональным элементам матрицы плотности <math>\rho</math>;
- <math>w_{mn}=\mathrm{prob}(n\rarr m)</math> — вероятность перехода системы из состояния <math>n</math> в состояние <math>m</math> в единицу времени (скорость изменения вероятности);
- <math>w_{nm}=\mathrm{prob}(m\rarr n)</math> — вероятность обратного перехода системы из состояния <math>m</math> в состояние <math>n</math> в единицу времени (скорость изменения вероятности).
В общем случае, при наличии в системе эффекта памяти, её прошлое состояние оказывает влияние на будущее (немарковский процесс). В этом случае основное кинетическое уравнение имеет вид:
- <math>\frac{dP_n(t)}{dt}=\int\limits_{-\infty}^t\sum_m \left(w_{nm}(t-\tau)\cdot P_m(\tau)-w_{mn}(t-\tau)\cdot P_n(\tau)\right)\,d\tau</math>,
где
- <math>w_{mn}(t-\tau)</math> — функция памяти системы.
Для системы с непрерывно распределённой случайной переменной <math>x</math>, основное кинетическое уравнение определяет плотность вероятности <math>W(x,t)</math>:
- <math>\frac{\partial W(x,t)}{\partial t}=\int \left(w(x,x^\prime)\cdot W(x^\prime,t)-w(x^\prime,x)\cdot W(x,t)\right)\,dx^\prime</math>
где
- <math>w(x,x^\prime)</math> — плотность вероятности перехода <math>x^\prime\rarr x</math> в единицу времени.
Примеры основных уравнений:
Литература
- [femto.com.ua/articles/part_1/1620.html Кинетическое уравнение основное] — статья из Физической энциклопедии
