Алгебра Клиффорда
Поделись знанием:
Пригреваемый весенним солнцем, он сидел в коляске, поглядывая на первую траву, первые листья березы и первые клубы белых весенних облаков, разбегавшихся по яркой синеве неба. Он ни о чем не думал, а весело и бессмысленно смотрел по сторонам.
Проехали перевоз, на котором он год тому назад говорил с Пьером. Проехали грязную деревню, гумны, зеленя, спуск, с оставшимся снегом у моста, подъём по размытой глине, полосы жнивья и зеленеющего кое где кустарника и въехали в березовый лес по обеим сторонам дороги. В лесу было почти жарко, ветру не слышно было. Береза вся обсеянная зелеными клейкими листьями, не шевелилась и из под прошлогодних листьев, поднимая их, вылезала зеленея первая трава и лиловые цветы. Рассыпанные кое где по березнику мелкие ели своей грубой вечной зеленью неприятно напоминали о зиме. Лошади зафыркали, въехав в лес и виднее запотели.
Лакей Петр что то сказал кучеру, кучер утвердительно ответил. Но видно Петру мало было сочувствования кучера: он повернулся на козлах к барину.
– Ваше сиятельство, лёгко как! – сказал он, почтительно улыбаясь.
– Что!
– Лёгко, ваше сиятельство.
«Что он говорит?» подумал князь Андрей. «Да, об весне верно, подумал он, оглядываясь по сторонам. И то зелено всё уже… как скоро! И береза, и черемуха, и ольха уж начинает… А дуб и не заметно. Да, вот он, дуб».
На краю дороги стоял дуб. Вероятно в десять раз старше берез, составлявших лес, он был в десять раз толще и в два раза выше каждой березы. Это был огромный в два обхвата дуб с обломанными, давно видно, суками и с обломанной корой, заросшей старыми болячками. С огромными своими неуклюжими, несимметрично растопыренными, корявыми руками и пальцами, он старым, сердитым и презрительным уродом стоял между улыбающимися березами. Только он один не хотел подчиняться обаянию весны и не хотел видеть ни весны, ни солнца.
«Весна, и любовь, и счастие!» – как будто говорил этот дуб, – «и как не надоест вам всё один и тот же глупый и бессмысленный обман. Всё одно и то же, и всё обман! Нет ни весны, ни солнца, ни счастия. Вон смотрите, сидят задавленные мертвые ели, всегда одинакие, и вон и я растопырил свои обломанные, ободранные пальцы, где ни выросли они – из спины, из боков; как выросли – так и стою, и не верю вашим надеждам и обманам».
Князь Андрей несколько раз оглянулся на этот дуб, проезжая по лесу, как будто он чего то ждал от него. Цветы и трава были и под дубом, но он всё так же, хмурясь, неподвижно, уродливо и упорно, стоял посреди их.
«Да, он прав, тысячу раз прав этот дуб, думал князь Андрей, пускай другие, молодые, вновь поддаются на этот обман, а мы знаем жизнь, – наша жизнь кончена!» Целый новый ряд мыслей безнадежных, но грустно приятных в связи с этим дубом, возник в душе князя Андрея. Во время этого путешествия он как будто вновь обдумал всю свою жизнь, и пришел к тому же прежнему успокоительному и безнадежному заключению, что ему начинать ничего было не надо, что он должен доживать свою жизнь, не делая зла, не тревожась и ничего не желая.
По опекунским делам рязанского именья, князю Андрею надо было видеться с уездным предводителем. Предводителем был граф Илья Андреич Ростов, и князь Андрей в середине мая поехал к нему.
Был уже жаркий период весны. Лес уже весь оделся, была пыль и было так жарко, что проезжая мимо воды, хотелось купаться.
Князь Андрей, невеселый и озабоченный соображениями о том, что и что ему нужно о делах спросить у предводителя, подъезжал по аллее сада к отрадненскому дому Ростовых. Вправо из за деревьев он услыхал женский, веселый крик, и увидал бегущую на перерез его коляски толпу девушек. Впереди других ближе, подбегала к коляске черноволосая, очень тоненькая, странно тоненькая, черноглазая девушка в желтом ситцевом платье, повязанная белым носовым платком, из под которого выбивались пряди расчесавшихся волос. Девушка что то кричала, но узнав чужого, не взглянув на него, со смехом побежала назад.
Алгебра Клиффорда — специального вида ассоциативная алгебра с единицей <math>Cl(E, Q(,))</math> над некоторым коммутативным кольцом <math>K</math> (Е — векторное пространство, в дальнейшем обобщении — свободный K-модуль) с некоторой операцией [«умножения»], совпадающей с заданной на E билинейной формой <math>Q</math>.
Смысл конструкции состоит в ассоциативном расширении пространства E⊕K и операции умножения на нём так, чтобы квадрат последней совпал с заданной квадратичной формой Q. Впервые рассмотрена Клиффордом. Алгебры Клиффорда обобщают комплексные числа, паракомплексные числа и дуальные числа, также бикомплексные числа, кватернионы и т.п.: их семейство исчерпывающе охватывает все ассоциативные гиперкомплексные числа.
Содержание
Формальное определение
Пусть <math>K</math> — коммутативное кольцо с единицей, <math>E</math> — свободный K-модуль, <math>Q</math> — квадратичная форма на <math>E</math>. Алгеброй Клиффорда квадратичной формы <math>Q</math> (или пары <math>(E, Q)</math>) называется факторалгебра <math>Cl(E, Q)</math> тензорной алгебры <math>T(E)</math>, <math>K</math>-модуля <math>E</math> по двустороннему идеалу, порождённому элементами вида
- <math>x \otimes x - Q(x,x)1,~~x\in E</math>
Элементы (векторы) из <math>E</math>, являясь тензорами ранга 1, рассматриваются также и как элементы <math>Cl(Q)</math>, причём соответственное отображение является мономорфизмом (вложением) модулей:
- <math>E \hookrightarrow Cl(Q)</math>.
Комментарий
Если <math>K</math> есть поля вещественных либо комплексных чисел, тогда <math>E</math> — линейное пространство, а в качестве <math>Q(,)</math> используется присущее такому пространству скалярное произведение.
Примеры вещественных и комплексных алгебр
 |
Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел.
Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. |
Свойства
- Основное тождество алгебр Клиффорда: если характеристика кольца K не равна двум, то для любых <math>x, y \in E</math>:
- антикоммутатор <math> [x, y]_+ \ ( := x*y + y*x) = 2 \left\langle x,y\right\rangle</math>
- где <math>\left\langle ,\right\rangle</math> — симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной форме Q:
- <math>\left\langle x,y\right\rangle := \frac{1}{2}\left( Q(x+y)-Q(x)-Q(y) \right)</math>
- где <math>\left\langle ,\right\rangle</math> — симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной форме Q:
- Для нулевой квадратичной формы <math>Q</math> алгебра <math>Cl(E,Q)</math> совпадает со внешней алгеброй <math>\Lambda(E)</math> <math>K</math>-модуля <math>E</math>.
- Пусть <math>e_1,e_2,\dots,e_n</math> — некоторый базис <math>K</math>-модуля <math>E</math>, тогда элементы вида
- <math>1, e_{j_1}e_{j_2}\dots e_{j_k}\ (j_1<\dots<j_k,</math> для всех k от 1 по n) или, иначе: <math>e_1^{\sigma_1}e_2^{\sigma_2}\dots e_n^{\sigma_n}</math> где <math>\sigma_j = 0,1</math> образуют базис <math>K</math>-модуля <math>Cl(Q)</math>. В частности, <math>Cl(Q)</math> является свободным <math>K</math>-модулем ранга (размерности) <math>2^n</math>
- Если, кроме того, <math>e_1,e_2,\dots,e_n</math> ортогональны относительно <math>Q</math>, то <math>Cl(Q)</math> можно задать как <math>K</math>-алгебру с образующими <math>1, e_1,e_2,\dots,e_n</math> и определяющими соотношениями <math>e_i e_j + e_j e_i = 0</math>, (<math>i\not=j</math>) и <math>e_i^2= Q(e_i,e_i)</math>.
- Алгебра Клиффорда обладает Z2-градуировкой. В частности, подмодуль в <math>Cl(Q)</math>, порождённый произведениями чётного числа элементов из <math>E</math>, образует подалгебру в <math>Cl(Q)</math>, которая обозначается через <math>Cl^+(Q)</math>.
- Пусть <math>K</math> — поле и квадратичная форма <math>Q(,)</math> невырождена
- тогда при чётном n алгебра <math>Cl(Q)</math> является центральной простой алгеброй над <math>K</math> размерности <math>2^n</math>, подалгебра <math>Cl^+(Q)</math> сепарабельна, а её центр имеет размерность 2 над <math>K</math>.
- Если <math>K</math> алгебраически замкнуто, то
- при чётном n <math>Cl(Q)</math> — матричная алгебра, a <math>Cl^+(Q)</math> — произведение двух матричных алгебр,
- при нечётном n, наоборот, <math>Cl^+(Q)</math> — матричная, а <math>Cl(Q)</math> — произведение двух матричных алгебр.
Матричные представления алгебр Клиффорда
Уравнение Дирака — важный пример применения представлений CL_3,1(ℝ), которые впервые изучены Этторе Майорана.
Напишите отзыв о статье "Алгебра Клиффорда"
Ссылки
- Lounesto, Pertti (2001), Clifford algebras and spinors, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-00551-7 ([www.worldcat.org/title/clifford-algebras-and-spinors/oclc/472320992&referer=brief_results см.])
- Ian R. Porteous «Clifford algebras and the classical groups» Cambridge, CUP, 1995. ISBN=978-0-521-55177-9
- R. Jagannathan (2010), «[arxiv.org/abs/1005.4300/ On generalized Clifford algebras and their physical applications]»
Отрывок, характеризующий Алгебра Клиффорда
Весною 1809 года, князь Андрей поехал в рязанские именья своего сына, которого он был опекуном.Пригреваемый весенним солнцем, он сидел в коляске, поглядывая на первую траву, первые листья березы и первые клубы белых весенних облаков, разбегавшихся по яркой синеве неба. Он ни о чем не думал, а весело и бессмысленно смотрел по сторонам.
Проехали перевоз, на котором он год тому назад говорил с Пьером. Проехали грязную деревню, гумны, зеленя, спуск, с оставшимся снегом у моста, подъём по размытой глине, полосы жнивья и зеленеющего кое где кустарника и въехали в березовый лес по обеим сторонам дороги. В лесу было почти жарко, ветру не слышно было. Береза вся обсеянная зелеными клейкими листьями, не шевелилась и из под прошлогодних листьев, поднимая их, вылезала зеленея первая трава и лиловые цветы. Рассыпанные кое где по березнику мелкие ели своей грубой вечной зеленью неприятно напоминали о зиме. Лошади зафыркали, въехав в лес и виднее запотели.
Лакей Петр что то сказал кучеру, кучер утвердительно ответил. Но видно Петру мало было сочувствования кучера: он повернулся на козлах к барину.
– Ваше сиятельство, лёгко как! – сказал он, почтительно улыбаясь.
– Что!
– Лёгко, ваше сиятельство.
«Что он говорит?» подумал князь Андрей. «Да, об весне верно, подумал он, оглядываясь по сторонам. И то зелено всё уже… как скоро! И береза, и черемуха, и ольха уж начинает… А дуб и не заметно. Да, вот он, дуб».
На краю дороги стоял дуб. Вероятно в десять раз старше берез, составлявших лес, он был в десять раз толще и в два раза выше каждой березы. Это был огромный в два обхвата дуб с обломанными, давно видно, суками и с обломанной корой, заросшей старыми болячками. С огромными своими неуклюжими, несимметрично растопыренными, корявыми руками и пальцами, он старым, сердитым и презрительным уродом стоял между улыбающимися березами. Только он один не хотел подчиняться обаянию весны и не хотел видеть ни весны, ни солнца.
«Весна, и любовь, и счастие!» – как будто говорил этот дуб, – «и как не надоест вам всё один и тот же глупый и бессмысленный обман. Всё одно и то же, и всё обман! Нет ни весны, ни солнца, ни счастия. Вон смотрите, сидят задавленные мертвые ели, всегда одинакие, и вон и я растопырил свои обломанные, ободранные пальцы, где ни выросли они – из спины, из боков; как выросли – так и стою, и не верю вашим надеждам и обманам».
Князь Андрей несколько раз оглянулся на этот дуб, проезжая по лесу, как будто он чего то ждал от него. Цветы и трава были и под дубом, но он всё так же, хмурясь, неподвижно, уродливо и упорно, стоял посреди их.
«Да, он прав, тысячу раз прав этот дуб, думал князь Андрей, пускай другие, молодые, вновь поддаются на этот обман, а мы знаем жизнь, – наша жизнь кончена!» Целый новый ряд мыслей безнадежных, но грустно приятных в связи с этим дубом, возник в душе князя Андрея. Во время этого путешествия он как будто вновь обдумал всю свою жизнь, и пришел к тому же прежнему успокоительному и безнадежному заключению, что ему начинать ничего было не надо, что он должен доживать свою жизнь, не делая зла, не тревожась и ничего не желая.
По опекунским делам рязанского именья, князю Андрею надо было видеться с уездным предводителем. Предводителем был граф Илья Андреич Ростов, и князь Андрей в середине мая поехал к нему.
Был уже жаркий период весны. Лес уже весь оделся, была пыль и было так жарко, что проезжая мимо воды, хотелось купаться.
Князь Андрей, невеселый и озабоченный соображениями о том, что и что ему нужно о делах спросить у предводителя, подъезжал по аллее сада к отрадненскому дому Ростовых. Вправо из за деревьев он услыхал женский, веселый крик, и увидал бегущую на перерез его коляски толпу девушек. Впереди других ближе, подбегала к коляске черноволосая, очень тоненькая, странно тоненькая, черноглазая девушка в желтом ситцевом платье, повязанная белым носовым платком, из под которого выбивались пряди расчесавшихся волос. Девушка что то кричала, но узнав чужого, не взглянув на него, со смехом побежала назад.
