Боровская модель атома

Бо́ровская моде́ль а́тома (Моде́ль Бо́ра) — полуклассическая модель атома, предложенная Нильсом Бором в 1913 г. За основу он взял планетарную модель атома, выдвинутую Резерфордом. Однако, с точки зрения классической электродинамики, электрон в модели Резерфорда, двигаясь вокруг ядра, должен был бы излучать энергию непрерывно и очень быстро и, потеряв её, упасть на ядро. Чтобы преодолеть эту проблему, Бор ввёл допущение, суть которого заключается в том, что электроны в атоме могут двигаться только по определённым (стационарным) орбитам, находясь на которых они не излучают энергию, а излучение или поглощение происходит только в момент перехода с одной орбиты на другую. Причём, стационарными являются лишь те орбиты, при движении по которым момент количества движения электрона равен целому числу постоянных Планка: <math>m_evr = n\hbar \ </math>.

Используя это допущение и законы классической механики, а именно равенство силы притяжения электрона со стороны ядра и центробежной силы, действующей на вращающийся электрон, он получил следующие значения для радиуса стационарной орбиты <math>R_n</math> и энергии <math>E_n</math> находящегося на этой орбите электрона:

<math>R_n = 4\pi \frac{\varepsilon_0}{Ze^2} \frac{n^2\hbar^2} {m_e}; \quad E_n = - \frac{1}{8\pi} \frac{Ze^2}{\varepsilon_0}\frac{1}{R_n}; </math>

Здесь <math>m_e</math> — масса электрона, <math>Z</math> — количество протонов в ядре, <math>\varepsilon_0</math> — электрическая постоянная, <math>e</math> — заряд электрона.

Именно такое выражение для энергии можно получить, применяя уравнение Шрёдингера в задаче о движении электрона в центральном кулоновском поле.

Радиус первой орбиты в атоме водорода R₀=5,2917720859(36)·10⁻¹¹ м, ныне называется боровским радиусом, либо атомной единицей длины и широко используется в современной физике. Энергия первой орбиты <math>E_0=-13.6</math> эВ представляет собой энергию ионизации атома водорода.

Полуклассическая теория Бора

Основана на двух постулатах Бора:

• Атом может находиться только в особенных стационарных или квантовых состояниях, каждому из которых отвечает определённая энергия. В стационарном состоянии атом не излучает электромагнитных волн.
• Излучение и поглощение энергии атомом происходит при скачкообразном переходе из одного стационарного состояния в другое, при этом имеют место два соотношения:
  1. <math>\varepsilon=E_{n2}-E_{n1},</math> где <math>\ \varepsilon</math> — излучённая (поглощённая) энергия, <math>\ n_1,n_2</math> — номера квантовых состояний. В спектроскопии <math>\ E_{n1}</math> и <math>\ E_{n2}</math> называются термами.
  2. Правило квантования момента импульса: <math>\ m\upsilon r=n\hbar,</math> <math>\ n=1,2,3...</math>

Далее исходя из соображений классической физики о круговом движении электрона вокруг неподвижного ядра по стационарной орбите под действием кулоновской силы притяжения, Бором были получены выражения для радиусов стационарных орбит и энергии электрона на этих орбитах:

<math>\ r_n=an^2,</math> <math>a=\frac{\hbar^2}{kme^2}=5.3\cdot10^{-11}</math> м — боровский радиус.

<math>\ E_n=-R_y\frac{1}{n^2},</math> <math>R_y=\frac{mk^2e^4}{2\hbar^2}</math> — энергетическая постоянная Ридберга (численно равна 13,6 эВ).

Формула Зоммерфельда — Дирака

Движение электрона вокруг атомного ядра в рамках классической механики можно рассматривать как «линейный осциллятор», который характеризуется «адиабатичным инвариантом», представляющим собой площадь эллипса (в обобщённых координатах):

<math>\oint\mathbf{p} \cdot\,\mathbf{dq} = \frac {W}{\nu} = J</math>

где — <math>\mathbf{p},\mathbf{q}</math> — обобщённый импульс и координаты электрона, <math> W </math> — энергия, <math>\nu</math> — частота. А квантовый постулат утверждает, что площадь замкнутой кривой в фазовой <math> pq </math> — плоскости за один период движения, равна целому числу умноженному на постоянную Планка <math>h</math> (Дебай, 1913 г.). С точки зрения рассмотрения постоянной тонкой структуры наиболее интересным является движение релятивистского электрона в поле ядра атома, когда его масса зависит от скорости движения. В этом случае мы имеем два квантовых условия:

<math>J_1 = nh \ </math>, <math>J_2 = kh \ </math>,

где <math>n</math> определяет главную полуось эллиптической орбиты электрона (<math>a</math>), а <math>k</math> — его фокальный параметр <math>q</math>:

<math>a = a_0n^2 \ </math>, <math>q = a_0k^2 \ </math>.

В этом случае Зоммерфельд получил выражение для энергии в виде

<math>E = -\frac {RyZ^2}{n^2} + \epsilon(n,k) </math>.

где <math>Ry</math> — постоянная Ридберга, а <math>Z</math> — порядковый номер атома (для водорода <math>Z = 1</math>).

Дополнительный член <math> \epsilon(n, k) </math> отражает более тонкие детали расщепления спектральных термов водородоподобных атомов, а их число определяется квантовым числом <math> k </math>. Таким образом сами спектральные линии представляют собой системы более тонких линий, которые соответствуют переходам между уровнями высшего состояния (<math>n=n_1, k=1,2 ,..., n_1 </math>) и низшего состояния (<math> n = n_2, k = 1,2 ,..., n_2 </math>). Это и есть т. н. тонкая структура спектральных линий. Зоммерфельд разработал теорию тонкой структуры для водородоподобных атомов (<math>H</math>, <math>He^{+}</math> , <math> Li^{2+}</math>), а Фаулер с Пашеном на примере спектра однократно ионизированного гелия <math>He^{+}</math> установили полное соответствие теории с экспериментом.

Зоммерфельд (1916 г.) еще задолго до возникновения квантовой механики Шредингера получил феноменологичную формулу для водородных термов в виде:

<math>E + E_0 = E_0 \left( 1 + \frac {\alpha^2Z^2}{\left( n_r + \sqrt{n_\phi^2 - \alpha^2Z^2} \right)^2} \right) ^{-1/2}</math>,

где <math>\alpha</math> — постоянная тонкой структуры, <math>Z</math> — порядковый номер атома, <math>E_0 = mc^2</math> — энергия покоя, <math>n_r</math> — радиальное квантовое число, а <math>n_\phi</math> — азимутальное квантовое число. Позднее эту формулу получил Дирак, используя релятивистское уравнения Шрёдингера. Поэтому сейчас эта формула и носит имя Зоммерфельда — Дирака.

Появление тонкой структуры термов связана с прецессией электронов вокруг ядра атома. Поэтому появление тонкой структуры можно обнаружить по резонансному эффекту в области ультракоротких электромагнитных волн. В случае <math> Z = 1 </math> (атом водорода) величина расщепления близка к

<math>E/h \approx R\alpha^2/n^2</math>

Поскольку длина электромагнитной волны равна

<math>\lambda = c/\nu = ch/E = cn^2/R\alpha^2 \approx 0,17cm</math>

Поэтому для <math> n = 2 </math> это будет почти 1 см.

Достоинства теории Бора

• Объяснила дискретность энергетических состояний водородоподобных атомов.
• Теория Бора подошла к объяснению внутриатомных процессов с принципиально новых позиций, стала первой полуквантовой теорией атома.
• Эвристическое значение теории Бора состоит в смелом предположении о существовании стационарных состояний и скачкообразных переходов между ними. Эти положения позднее были распространены и на другие микросистемы.
• Объясняет границу таблицы Менделеева. Последний атом, способный существовать физически, имеет порядковый номер 137, так как, начиная со 138-го элемента 1s-электрон должен двигаться со сверхсветовой скоростью, что противоречит специальной теории относительности.

Недостатки теории Бора

• Не смогла объяснить интенсивность спектральных линий.
• Справедлива только для водородоподобных атомов и не работает для атомов, следующих за ним в таблице Менделеева без экспериментальных данных (энергии ионизации или других).
• Теория Бора логически противоречива: не является ни классической, ни квантовой. В системе двух уравнений, лежащих в её основе, одно — уравнение движения электрона — классическое, другое — уравнение квантования орбит — квантовое.

Теория Бора являлась недостаточно последовательной и общей. Поэтому она в дальнейшем была заменена современной квантовой механикой, основанной на более общих и непротиворечивых исходных положениях. Сейчас известно, что постулаты Бора являются следствиями более общих квантовых законов. Но правила квантования широко используются и в наши дни как приближённые соотношения: их точность часто бывает очень высокой.

Литература

• Борн М. Атомная физика, 2-е изд., М.:Мир,1967.- 493с.

Отрывок, характеризующий Боровская модель атома

– Ну что? – спросил князь Андрей.
– Всё то же, подожди ради Бога. Карл Иваныч всегда говорит, что сон всего дороже, – прошептала со вздохом княжна Марья. – Князь Андрей подошел к ребенку и пощупал его. Он горел.
– Убирайтесь вы с вашим Карлом Иванычем! – Он взял рюмку с накапанными в нее каплями и опять подошел.
– Andre, не надо! – сказала княжна Марья.
Но он злобно и вместе страдальчески нахмурился на нее и с рюмкой нагнулся к ребенку. – Ну, я хочу этого, сказал он. – Ну я прошу тебя, дай ему.
Княжна Марья пожала плечами, но покорно взяла рюмку и подозвав няньку, стала давать лекарство. Ребенок закричал и захрипел. Князь Андрей, сморщившись, взяв себя за голову, вышел из комнаты и сел в соседней, на диване.
Письма всё были в его руке. Он машинально открыл их и стал читать. Старый князь, на синей бумаге, своим крупным, продолговатым почерком, употребляя кое где титлы, писал следующее:
«Весьма радостное в сей момент известие получил через курьера, если не вранье. Бенигсен под Эйлау над Буонапартием якобы полную викторию одержал. В Петербурге все ликуют, e наград послано в армию несть конца. Хотя немец, – поздравляю. Корчевский начальник, некий Хандриков, не постигну, что делает: до сих пор не доставлены добавочные люди и провиант. Сейчас скачи туда и скажи, что я с него голову сниму, чтобы через неделю всё было. О Прейсиш Эйлауском сражении получил еще письмо от Петиньки, он участвовал, – всё правда. Когда не мешают кому мешаться не следует, то и немец побил Буонапартия. Сказывают, бежит весьма расстроен. Смотри ж немедля скачи в Корчеву и исполни!»
Князь Андрей вздохнул и распечатал другой конверт. Это было на двух листочках мелко исписанное письмо от Билибина. Он сложил его не читая и опять прочел письмо отца, кончавшееся словами: «скачи в Корчеву и исполни!» «Нет, уж извините, теперь не поеду, пока ребенок не оправится», подумал он и, подошедши к двери, заглянул в детскую. Княжна Марья всё стояла у кроватки и тихо качала ребенка.
«Да, что бишь еще неприятное он пишет? вспоминал князь Андрей содержание отцовского письма. Да. Победу одержали наши над Бонапартом именно тогда, когда я не служу… Да, да, всё подшучивает надо мной… ну, да на здоровье…» и он стал читать французское письмо Билибина. Он читал не понимая половины, читал только для того, чтобы хоть на минуту перестать думать о том, о чем он слишком долго исключительно и мучительно думал.


Билибин находился теперь в качестве дипломатического чиновника при главной квартире армии и хоть и на французском языке, с французскими шуточками и оборотами речи, но с исключительно русским бесстрашием перед самоосуждением и самоосмеянием описывал всю кампанию. Билибин писал, что его дипломатическая discretion [скромность] мучила его, и что он был счастлив, имея в князе Андрее верного корреспондента, которому он мог изливать всю желчь, накопившуюся в нем при виде того, что творится в армии. Письмо это было старое, еще до Прейсиш Эйлауского сражения.
«Depuis nos grands succes d'Austerlitz vous savez, mon cher Prince, писал Билибин, que je ne quitte plus les quartiers generaux. Decidement j'ai pris le gout de la guerre, et bien m'en a pris. Ce que j'ai vu ces trois mois, est incroyable.
«Je commence ab ovo. L'ennemi du genre humain , comme vous savez, s'attaque aux Prussiens. Les Prussiens sont nos fideles allies, qui ne nous ont trompes que trois fois depuis trois ans. Nous prenons fait et cause pour eux. Mais il se trouve que l'ennemi du genre humain ne fait nulle attention a nos beaux discours, et avec sa maniere impolie et sauvage se jette sur les Prussiens sans leur donner le temps de finir la parade commencee, en deux tours de main les rosse a plate couture et va s'installer au palais de Potsdam.
«J'ai le plus vif desir, ecrit le Roi de Prusse a Bonaparte, que V. M. soit accueillie еt traitee dans mon palais d'une maniere, qui lui soit agreable et c'est avec еmpres sement, que j'ai pris a cet effet toutes les mesures que les circonstances me permettaient. Puisse je avoir reussi! Les generaux Prussiens se piquent de politesse envers les Francais et mettent bas les armes aux premieres sommations.
«Le chef de la garienison de Glogau avec dix mille hommes, demande au Roi de Prusse, ce qu'il doit faire s'il est somme de se rendre?… Tout cela est positif.
«Bref, esperant en imposer seulement par notre attitude militaire, il se trouve que nous voila en guerre pour tout de bon, et ce qui plus est, en guerre sur nos frontieres avec et pour le Roi de Prusse . Tout est au grand complet, il ne nous manque qu'une petite chose, c'est le general en chef. Comme il s'est trouve que les succes d'Austerlitz aurant pu etre plus decisifs si le general en chef eut ete moins jeune, on fait la revue des octogenaires et entre Prosorofsky et Kamensky, on donne la preference au derienier. Le general nous arrive en kibik a la maniere Souvoroff, et est accueilli avec des acclamations de joie et de triomphe.
«Le 4 arrive le premier courrier de Petersbourg. On apporte les malles dans le cabinet du Marieechal, qui aime a faire tout par lui meme. On m'appelle pour aider a faire le triage des lettres et prendre celles qui nous sont destinees. Le Marieechal nous regarde faire et attend les paquets qui lui sont adresses. Nous cherchons – il n'y en a point. Le Marieechal devient impatient, se met lui meme a la besogne et trouve des lettres de l'Empereur pour le comte T., pour le prince V. et autres. Alors le voila qui se met dans une de ses coleres bleues. Il jette feu et flamme contre tout le monde, s'empare des lettres, les decachete et lit celles de l'Empereur adressees a d'autres. А, так со мною поступают! Мне доверия нет! А, за мной следить велено, хорошо же; подите вон! Et il ecrit le fameux ordre du jour au general Benigsen
«Я ранен, верхом ездить не могу, следственно и командовать армией. Вы кор д'арме ваш привели разбитый в Пултуск: тут оно открыто, и без дров, и без фуража, потому пособить надо, и я так как вчера сами отнеслись к графу Буксгевдену, думать должно о ретираде к нашей границе, что и выполнить сегодня.
«От всех моих поездок, ecrit il a l'Empereur, получил ссадину от седла, которая сверх прежних перевозок моих совсем мне мешает ездить верхом и командовать такой обширной армией, а потому я командованье оной сложил на старшего по мне генерала, графа Буксгевдена, отослав к нему всё дежурство и всё принадлежащее к оному, советовав им, если хлеба не будет, ретироваться ближе во внутренность Пруссии, потому что оставалось хлеба только на один день, а у иных полков ничего, как о том дивизионные командиры Остерман и Седморецкий объявили, а у мужиков всё съедено; я и сам, пока вылечусь, остаюсь в гошпитале в Остроленке. О числе которого ведомость всеподданнейше подношу, донеся, что если армия простоит в нынешнем биваке еще пятнадцать дней, то весной ни одного здорового не останется.
«Увольте старика в деревню, который и так обесславлен остается, что не смог выполнить великого и славного жребия, к которому был избран. Всемилостивейшего дозволения вашего о том ожидать буду здесь при гошпитале, дабы не играть роль писарскую , а не командирскую при войске. Отлучение меня от армии ни малейшего разглашения не произведет, что ослепший отъехал от армии. Таковых, как я – в России тысячи».
«Le Marieechal se fache contre l'Empereur et nous punit tous; n'est ce pas que с'est logique!
«Voila le premier acte. Aux suivants l'interet et le ridicule montent comme de raison. Apres le depart du Marieechal il se trouve que nous sommes en vue de l'ennemi, et qu'il faut livrer bataille. Boukshevden est general en chef par droit d'anciennete, mais le general Benigsen n'est pas de cet avis; d'autant plus qu'il est lui, avec son corps en vue de l'ennemi, et qu'il veut profiter de l'occasion d'une bataille „aus eigener Hand“ comme disent les Allemands. Il la donne. C'est la bataille de Poultousk qui est sensee etre une grande victoire, mais qui a mon avis ne l'est pas du tout. Nous autres pekins avons, comme vous savez, une tres vilaine habitude de decider du gain ou de la perte d'une bataille. Celui qui s'est retire apres la bataille, l'a perdu, voila ce que nous disons, et a ce titre nous avons perdu la bataille de Poultousk. Bref, nous nous retirons apres la bataille, mais nous envoyons un courrier a Petersbourg, qui porte les nouvelles d'une victoire, et le general ne cede pas le commandement en chef a Boukshevden, esperant recevoir de Petersbourg en reconnaissance de sa victoire le titre de general en chef. Pendant cet interregne, nous commencons un plan de man?uvres excessivement interessant et original. Notre but ne consiste pas, comme il devrait l'etre, a eviter ou a attaquer l'ennemi; mais uniquement a eviter le general Boukshevden, qui par droit d'ancnnete serait notre chef. Nous poursuivons ce but avec tant d'energie, que meme en passant une riviere qui n'est рas gueable, nous brulons les ponts pour nous separer de notre ennemi, qui pour le moment, n'est pas Bonaparte, mais Boukshevden. Le general Boukshevden a manque etre attaque et pris par des forces ennemies superieures a cause d'une de nos belles man?uvres qui nous sauvait de lui. Boukshevden nous poursuit – nous filons. A peine passe t il de notre cote de la riviere, que nous repassons de l'autre. A la fin notre ennemi Boukshevden nous attrappe et s'attaque a nous. Les deux generaux se fachent. Il y a meme une provocation en duel de la part de Boukshevden et une attaque d'epilepsie de la part de Benigsen. Mais au moment critique le courrier, qui porte la nouvelle de notre victoire de Poultousk, nous apporte de Petersbourg notre nomination de general en chef, et le premier ennemi Boukshevden est enfonce: nous pouvons penser au second, a Bonaparte. Mais ne voila t il pas qu'a ce moment se leve devant nous un troisieme ennemi, c'est le православное qui demande a grands cris du pain, de la viande, des souchary, du foin, – que sais je! Les magasins sont vides, les сhemins impraticables. Le православное se met a la Marieaude, et d'une maniere dont la derieniere campagne ne peut vous donner la moindre idee. La moitie des regiments forme des troupes libres, qui parcourent la contree en mettant tout a feu et a sang. Les habitants sont ruines de fond en comble, les hopitaux regorgent de malades, et la disette est partout. Deux fois le quartier general a ete attaque par des troupes de Marieaudeurs et le general en chef a ete oblige lui meme de demander un bataillon pour les chasser. Dans une de ces attaques on m'a еmporte ma malle vide et ma robe de chambre. L'Empereur veut donner le droit a tous les chefs de divisions de fusiller les Marieaudeurs, mais je crains fort que cela n'oblige une moitie de l'armee de fusiller l'autre.