Гладкое многообразие

Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.

Определение

Пусть X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки <math>x \in X</math> найдется её окрестность U, гомеоморфная открытому множеству пространства <math>\R^n</math>, то X называется локальным евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности n. Пара <math>(U, \phi)</math>, где <math>\phi</math> — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой X в точке х. Таким образом, каждой точке соответствует набор n действительных чисел <math>(x^1, \ldots, x^n)</math>, которые называются координатами в карте <math>(U, \phi)</math>. Множество карт <math>\{(U_\alpha, \phi_\alpha)\}, \alpha \in A,</math> называется n-мерным <math>C^k</math> — атласом <math>(0 \leqslant k \leqslant \infty, a)</math> многообразия X, если:

• совокупность всех <math>U_\alpha</math> покрывает X, <math>X = \cup_{\alpha \in A} U_\alpha</math>
• для любых <math>\alpha, \beta \in A</math> таких, что <math>U_\alpha \cap U_\beta \neq \varnothing</math>, отображение:

<math>\phi_{\alpha}^{\beta} = \phi_\beta \circ \phi^{-1}_\alpha : \phi_\alpha (U_\alpha \cap U_\beta) \to \phi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta) </math>

является гладким отображением класса <math>C^k</math>; <math>\phi_{\alpha}^{\beta},</math> является отображением, с отличным от нуля якобианом и называется преобразованием координат точки х с карты <math>(U_\alpha, \phi_\alpha)</math> в карту <math>(U_\beta, \phi_\beta)\,.</math>

Два <math>C^k</math>-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует <math>C^k</math>-атлас. Совокупность <math>C^k</math>-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые <math>C^k</math>-структурами, при <math>1 \leqslant k \leqslant \infty</math> — дифференциальными (или гладкими) структурами, при k = a — аналитическими структурами.

Топологическое многообразие X, наделенное <math>C^k</math>-структурой, называется <math>C^k</math>-гладким многообразием.

Комплексные многообразия

Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства <math>\R^n</math> более общих пространств <math>\C^n</math> или даже <math>K^n</math>, где <math>K</math> — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае <math>K = \C</math> рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) <math>C^k</math>-структуры (<math>k \geqslant 1</math>) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.

Совместимые структуры

На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней <math>C^\infty</math>-структура, и на <math>C^\infty</math>-многообразии,<math>0 \leqslant k \leqslant \infty</math>, — <math>C^r</math>-структура, если <math>0 \leqslant r \leqslant k</math>. Наоборот, любое паракомпактное <math>C^r</math>-многообразие, <math>r \geqslant 1</math>, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что <math>C^0</math>-многообразие нельзя наделить <math>C^1</math>-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например число θ(n) <math>C^1</math>-неизоморфных <math>C^\infty</math>-структур на n-мерной сфере равно:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
θ(n)	1	1	1		1	1	28	2	8	6	992	1

Отображение

Пусть <math>f : X \to Y</math> — непрерывное отображение <math>C^r</math>-многообразий X, Y; оно называется <math>C^k</math>-морфизмом (или <math>C^k</math>-отображением, <math>k \leqslant r</math>, или отображением класса <math>C^k</math>) гладких многообразий, если для любой пары карт <math>(U_\alpha, \phi_\alpha)</math> на X и <math>(V_\beta, \psi_\beta)</math> на Y такой, что <math>f(U_\alpha) \subset V_\beta</math> и отображение:

<math>\psi_\beta \circ f \circ\phi^{-1}_\alpha : \phi_\alpha (U_\alpha) \to \psi_\beta (V_\beta)</math>

принадлежит классу <math>C^k</math>. Биективное отображение f, если оно и f⁻¹ является <math>C^k</math>-отображениями, называется <math>C^k</math>-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае X и Y и их <math>C^r</math>-структуры называются <math>C^k</math>-изоморфными.

Подмножества и вложения

Подмножество Y n-мерного <math>C^k</math>-многообразия X называется <math>C^k</math>-подмногообразием размерности m в X, если для произвольной точки <math>y \in Y</math> существуют её окрестность <math>V \subset Y</math> и карта <math>(U, \phi)</math> <math>C^k</math>-структуры X, такие, что <math>V \subset Y</math> и <math>\phi</math> индуцирует гомеоморфизм V на пересечении <math>\phi (U \cap Y)</math> с (замкнутым) подпространством <math>\R^m \subset \R^n</math>; иными словами, существует карта с координатами <math>(x^1, \ldots, x^n)</math>, такая, что <math>(U \cap Y)</math> определяется соотношениями <math>x^{m+1}=, \ldots,= x^n = 0</math>.

Отображение <math>f : X \to Y</math> называется <math>C^k</math>-вложением, если f(X) является <math>C^k</math>-подмногообразием в Y, а <math>X \to f(X)</math> — <math>C^k</math>-диффеоморфизм. Любое n-мерное <math>C^k</math>-многообразие допускает вложение в <math>\R^{2n + 1}</math>, а также в <math>\R^{2n}.</math> Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений <math>C^k(X,\R^{2n+1})</math> относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.

Литература

• Понтрягин Л. С, Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976;
• Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М., 1975;
• де Рам Ж., Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956;
• Ленг С, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967;
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б.. Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977;
• Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960;
• Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971;
• Нарасимхан Р., Анализ на действительных и комплексных многообразиях, пер. с англ.. М., 1971;
• Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976;

Отрывок, характеризующий Гладкое многообразие

– Хорошо, – сказал Смольянинов, и тотчас же продолжал: – Имеете ли вы понятие о средствах, которыми наш святой орден поможет вам в достижении вашей цели?… – сказал ритор спокойно и быстро.
– Я… надеюсь… руководства… помощи… в обновлении, – сказал Пьер с дрожанием голоса и с затруднением в речи, происходящим и от волнения, и от непривычки говорить по русски об отвлеченных предметах.
– Какое понятие вы имеете о франк масонстве?
– Я подразумеваю, что франк масонство есть fraterienité [братство]; и равенство людей с добродетельными целями, – сказал Пьер, стыдясь по мере того, как он говорил, несоответственности своих слов с торжественностью минуты. Я подразумеваю…
– Хорошо, – сказал ритор поспешно, видимо вполне удовлетворенный этим ответом. – Искали ли вы средств к достижению своей цели в религии?
– Нет, я считал ее несправедливою, и не следовал ей, – сказал Пьер так тихо, что ритор не расслышал его и спросил, что он говорит. – Я был атеистом, – отвечал Пьер.
– Вы ищете истины для того, чтобы следовать в жизни ее законам; следовательно, вы ищете премудрости и добродетели, не так ли? – сказал ритор после минутного молчания.
– Да, да, – подтвердил Пьер.
Ритор прокашлялся, сложил на груди руки в перчатках и начал говорить:
– Теперь я должен открыть вам главную цель нашего ордена, – сказал он, – и ежели цель эта совпадает с вашею, то вы с пользою вступите в наше братство. Первая главнейшая цель и купно основание нашего ордена, на котором он утвержден, и которого никакая сила человеческая не может низвергнуть, есть сохранение и предание потомству некоего важного таинства… от самых древнейших веков и даже от первого человека до нас дошедшего, от которого таинства, может быть, зависит судьба рода человеческого. Но так как сие таинство такого свойства, что никто не может его знать и им пользоваться, если долговременным и прилежным очищением самого себя не приуготовлен, то не всяк может надеяться скоро обрести его. Поэтому мы имеем вторую цель, которая состоит в том, чтобы приуготовлять наших членов, сколько возможно, исправлять их сердце, очищать и просвещать их разум теми средствами, которые нам преданием открыты от мужей, потрудившихся в искании сего таинства, и тем учинять их способными к восприятию оного. Очищая и исправляя наших членов, мы стараемся в третьих исправлять и весь человеческий род, предлагая ему в членах наших пример благочестия и добродетели, и тем стараемся всеми силами противоборствовать злу, царствующему в мире. Подумайте об этом, и я опять приду к вам, – сказал он и вышел из комнаты.
– Противоборствовать злу, царствующему в мире… – повторил Пьер, и ему представилась его будущая деятельность на этом поприще. Ему представлялись такие же люди, каким он был сам две недели тому назад, и он мысленно обращал к ним поучительно наставническую речь. Он представлял себе порочных и несчастных людей, которым он помогал словом и делом; представлял себе угнетателей, от которых он спасал их жертвы. Из трех поименованных ритором целей, эта последняя – исправление рода человеческого, особенно близка была Пьеру. Некое важное таинство, о котором упомянул ритор, хотя и подстрекало его любопытство, не представлялось ему существенным; а вторая цель, очищение и исправление себя, мало занимала его, потому что он в эту минуту с наслаждением чувствовал себя уже вполне исправленным от прежних пороков и готовым только на одно доброе.
Через полчаса вернулся ритор передать ищущему те семь добродетелей, соответствующие семи ступеням храма Соломона, которые должен был воспитывать в себе каждый масон. Добродетели эти были: 1) скромность , соблюдение тайны ордена, 2) повиновение высшим чинам ордена, 3) добронравие, 4) любовь к человечеству, 5) мужество, 6) щедрость и 7) любовь к смерти.
– В седьмых старайтесь, – сказал ритор, – частым помышлением о смерти довести себя до того, чтобы она не казалась вам более страшным врагом, но другом… который освобождает от бедственной сей жизни в трудах добродетели томившуюся душу, для введения ее в место награды и успокоения.
«Да, это должно быть так», – думал Пьер, когда после этих слов ритор снова ушел от него, оставляя его уединенному размышлению. «Это должно быть так, но я еще так слаб, что люблю свою жизнь, которой смысл только теперь по немногу открывается мне». Но остальные пять добродетелей, которые перебирая по пальцам вспомнил Пьер, он чувствовал в душе своей: и мужество , и щедрость , и добронравие , и любовь к человечеству , и в особенности повиновение , которое даже не представлялось ему добродетелью, а счастьем. (Ему так радостно было теперь избавиться от своего произвола и подчинить свою волю тому и тем, которые знали несомненную истину.) Седьмую добродетель Пьер забыл и никак не мог вспомнить ее.
В третий раз ритор вернулся скорее и спросил Пьера, всё ли он тверд в своем намерении, и решается ли подвергнуть себя всему, что от него потребуется.
– Я готов на всё, – сказал Пьер.
– Еще должен вам сообщить, – сказал ритор, – что орден наш учение свое преподает не словами токмо, но иными средствами, которые на истинного искателя мудрости и добродетели действуют, может быть, сильнее, нежели словесные токмо объяснения. Сия храмина убранством своим, которое вы видите, уже должна была изъяснить вашему сердцу, ежели оно искренно, более нежели слова; вы увидите, может быть, и при дальнейшем вашем принятии подобный образ изъяснения. Орден наш подражает древним обществам, которые открывали свое учение иероглифами. Иероглиф, – сказал ритор, – есть наименование какой нибудь неподверженной чувствам вещи, которая содержит в себе качества, подобные изобразуемой.
Пьер знал очень хорошо, что такое иероглиф, но не смел говорить. Он молча слушал ритора, по всему чувствуя, что тотчас начнутся испытанья.
– Ежели вы тверды, то я должен приступить к введению вас, – говорил ритор, ближе подходя к Пьеру. – В знак щедрости прошу вас отдать мне все драгоценные вещи.