Метод обратного преобразования

Ме́тод обра́тного преобразова́ния (Преобразование Н. В. Смирнова) — способ генерации случайных величин с заданной функцией распределения, путём модификации работы генератора равномерно распределённых чисел.

Описание алгоритма

Пусть <math>F(x)</math> является функцией произвольного распределения. Покажем как, имея генератор выборки из стандартного непрерывного равномерного распределения, получить выборку из распределения, задаваемого функцией распределения <math>F(x)</math>.

Строго возрастающая функция распределения

Если функция <math>F:\mathbb{R}\to [0,1]</math> строго возрастает на всей области определения, то она биективна, а следовательно имеет обратную функцию <math>F^{-1}:[0,1]\to \mathbb{R}</math>.

• Пусть <math>U_1,\ldots ,U_n \sim U[0,1]</math> — выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения.
• Тогда <math>X_1,\ldots, X_n</math>, где <math>X_i = F^{-1}(U_i),\; i=1,\ldots, n</math>, — выборка из интересующего нас распределения.

Пример

Пусть требуется сгенерировать выборку из экспоненциального распределения с параметром <math>\lambda > 0</math>. Функция этого распределения <math>F(x) = 1 - e^{-\lambda x}</math> строго возрастает, и её обратная функция имеет вид <math>F^{-1}(x) = -\frac{1}{\lambda} \,\ln ( 1 - x )</math>. Таким образом, если <math>U_1,\ldots, U_n</math> — выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения, то <math>X_1, \ldots, X_n</math>, где

<math>X_i = -\frac{1}{\lambda}\ln (1-U_i),\; i=1,\ldots,n</math>

— искомая выборка из экспоненциального распределения.

Неубывающая функция распределения

Если функция <math>F:\mathbb{R} \to [0,1]</math> лишь не убывает, то её обратная функция может не существовать. В таком случае необходимо модифицировать приведённый выше алгоритм.

• Пусть <math>U_1,\ldots ,U_n \sim U[0,1]</math> — выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения.
• Тогда <math>X_1,\ldots, X_n</math>, где <math>X_i = \inf\{x \mid F(x) = U_i\},\; i=1,\ldots, n</math>, — выборка из интересующего нас распределения.

Замечания

• Если <math>F(x)</math> строго возрастает, то <math>F^{-1}(u) = \inf\{x \mid F(x) = u\}</math>. Таким образом, модифицированный алгоритм для произвольной функции распределения включает в себя отдельно разобранный случай строго возрастающей функции распределения.
• Несмотря на кажущуюся универсальность, данный алгоритм имеет серьёзные практические ограничения. Даже если функция распределения строго возрастает, вычислить её обратную не всегда просто, особенно если она не задана в виде элементарной функции, как, например, в случае нормального распределения. В случае функции распределения общего вида чаще всего необходимо численно находить точную нижнюю грань, что может быть очень трудоёмко.

Математическое обоснование

Пусть <math>U\sim U[0,1]</math>, то есть <math>F_U(u) = u,\; u\in [0,1]</math>. Рассмотрим функцию распределения случайной величины <math>X = \inf\{x \mid F(x) = U\}</math>.

<math>\mathbb{P}(X\leq x) = \mathbb{P}(\inf\{x' \mid F(x') = U\} \leq x) = \mathbb{P}(U \leq F(x)) = F_U(F(x)) = F(x)</math>.

То есть <math>X</math> имеет функцию распределения <math>F(x)</math>.

Литература

Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. - СПб.: Наука, 2001, 295 с.

Отрывок, характеризующий Метод обратного преобразования

Наташа, легко и даже весело переносившая первое время разлуки с своим женихом, теперь с каждым днем становилась взволнованнее и нетерпеливее. Мысль о том, что так, даром, ни для кого пропадает ее лучшее время, которое бы она употребила на любовь к нему, неотступно мучила ее. Письма его большей частью сердили ее. Ей оскорбительно было думать, что тогда как она живет только мыслью о нем, он живет настоящею жизнью, видит новые места, новых людей, которые для него интересны. Чем занимательнее были его письма, тем ей было досаднее. Ее же письма к нему не только не доставляли ей утешения, но представлялись скучной и фальшивой обязанностью. Она не умела писать, потому что не могла постигнуть возможности выразить в письме правдиво хоть одну тысячную долю того, что она привыкла выражать голосом, улыбкой и взглядом. Она писала ему классически однообразные, сухие письма, которым сама не приписывала никакого значения и в которых, по брульонам, графиня поправляла ей орфографические ошибки.
Здоровье графини все не поправлялось; но откладывать поездку в Москву уже не было возможности. Нужно было делать приданое, нужно было продать дом, и притом князя Андрея ждали сперва в Москву, где в эту зиму жил князь Николай Андреич, и Наташа была уверена, что он уже приехал.
Графиня осталась в деревне, а граф, взяв с собой Соню и Наташу, в конце января поехал в Москву.



Пьер после сватовства князя Андрея и Наташи, без всякой очевидной причины, вдруг почувствовал невозможность продолжать прежнюю жизнь. Как ни твердо он был убежден в истинах, открытых ему его благодетелем, как ни радостно ему было то первое время увлечения внутренней работой самосовершенствования, которой он предался с таким жаром, после помолвки князя Андрея с Наташей и после смерти Иосифа Алексеевича, о которой он получил известие почти в то же время, – вся прелесть этой прежней жизни вдруг пропала для него. Остался один остов жизни: его дом с блестящею женой, пользовавшеюся теперь милостями одного важного лица, знакомство со всем Петербургом и служба с скучными формальностями. И эта прежняя жизнь вдруг с неожиданной мерзостью представилась Пьеру. Он перестал писать свой дневник, избегал общества братьев, стал опять ездить в клуб, стал опять много пить, опять сблизился с холостыми компаниями и начал вести такую жизнь, что графиня Елена Васильевна сочла нужным сделать ему строгое замечание. Пьер почувствовав, что она была права, и чтобы не компрометировать свою жену, уехал в Москву.
В Москве, как только он въехал в свой огромный дом с засохшими и засыхающими княжнами, с громадной дворней, как только он увидал – проехав по городу – эту Иверскую часовню с бесчисленными огнями свеч перед золотыми ризами, эту Кремлевскую площадь с незаезженным снегом, этих извозчиков и лачужки Сивцева Вражка, увидал стариков московских, ничего не желающих и никуда не спеша доживающих свой век, увидал старушек, московских барынь, московские балы и Московский Английский клуб, – он почувствовал себя дома, в тихом пристанище. Ему стало в Москве покойно, тепло, привычно и грязно, как в старом халате.