Многогранник Часара

многогранник Часара
Анимация вращения многогранника, в конце он разворачивается
Тип	тороидальный многогранник
Эйлерова характеристика	0 (род 1)
Грани	14 треугольников
Рёбра	21
Вершины	7
Вид симметрии	C1, [ ]+, (11)
Двойственный многогранник	Многогранник Силаши
Свойства	невыпуклый Конф.вершины= 3.3.3.3.3.3

В геометрии многогранник Часара — это невыпуклый многогранник, топологически эквивалентный тору, с 14 треугольными гранями.

Этот многогранник не имеет диагоналей — любая пара вершин связана ребром. Семь вершин и 21 ребро многогранника Часара образуют вложение полного графа <math>K_7</math> в топологический тор. Из 35 возможных треугольников, образованных вершинами многогранника, только 14 являются гранями. Если семь вершин пронумеровать числами от 1 до 7, тор можно разрезать на лист, топологически эквивалентный следующему:

    5———4———7———2
   / \ / \ / \ / \
  6———1———3———5———4
 / \ / \ / \ /
4———7———2———6
         \ /
          4

Этот шаблон можно использовать для замощения плоскости. На рисунке сверху грани следующие (вершина 1 наверху фигуры):

• Голубые:

(1, 2, 3) (1, 3, 4) (1, 4, 5) (1, 5, 6) (1, 6, 7) (1, 7, 2)

• Красные

(2, 3, 6) (6, 3, 5)

• Жёлтые

(3, 5, 7) (7, 5, 2)

• Зелёные

(6, 2, 4) (4, 2, 5)

• Синие

(4, 6, 7) (4, 7, 3)

При такой нумерации расположение вершин в конце видеоклипа (по часовой стрелке, начиная с 1) следующее: 1, 2, 5, 4, 3, 7, 6, 5, 2, 7, 3, 4, 5, 6, 7.

Есть некоторая свобода в расстановке вершин, но некоторые расстановки ведут к пересечению граней и отверстие не образуется.

Все вершины топологически эквивалентны, как можно видеть из замощения плоскости на иллюстрации выше.

Тетраэдр и многогранник Часара являются двумя единственными многогранниками (имеющие границей многообразие) без диагоналей, хотя имеются другие многогранники, такие как многогранник Шёнхардта, которые не имеют внутренних диагоналей (то есть все диагонали многогранника находятся вне многогранника), а также поверхности без диагоналей, не являющиеся многообразиями. Если многогранник с v вершинами вложен в поверхность с h дырами таким образом, что любая пара вершин соединена ребром, из эйлеровой характеристики следует, что

<math>h = \frac{(v-3)(v-4)}{12}.</math>

Это равенство выполняется для тетраэдра с h = 0 и v = 4 и для многогранника Часара с h = 1 и v = 7. Следующее возможное решение — h = 6 и v = 12 — могло бы соответствовать многограннику с 44 гранями и 66 рёбрами, но его нельзя реализовать. Неизвестно, существуют ли многогранники с бо́льшим родом. В общем случае это равенство может быть удовлетворено только при v, равном 0, 3, 4 или 7 по модулю 12.

Многогранник Часара назван именем венгерского тополога Акоша Часара, обнаружившего многогранник в 1949 году. Двойственным многограннику Часара многогранник Силаши был найден в 1977 Лайошем Силаши (Lajos Szilassi). У него 14 вершин, 21 ребро и семь шестиугольных граней, при этом каждые две грани имеют общее ребро. Подобно многограннику Часара, многогранник Силаши имеет топологию тора.

Литература

• A. Császár A polyhedron without diagonals // Acta Sci. Math. Szeged. — 1949. — Т. 13. — P. 140–142.
• Martin Gardner. Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. — W. H. Freeman and Company, 1988. — С. 139–152. — ISBN 0-7167-1924-X.
  • Мартин Гарднер. Глава 11 «Полиэдр Часара» // Путешествие во времени. — Москва: «Мир», 1990. — С. 165—178. — ISBN 5-03-001166-8.
• Martin Gardner. Fractal Music, Hypercards and More: Mathematical Recreations from Scientific American. — W. H. Freeman and Company, 1992. — С. 118–120. — ISBN 0-7167-2188-0.
• Frank H. Lutz [www.eg-models.de/models/Classical_Models/2001.02.069/ Császár's Torus] // Electronic Geometry Models. — 2001.
• Sándor Szabó Polyhedra without diagonals // Periodica Mathematica Hungarica. — 1984. — Т. 15, вып. 1. — С. 41—49. — DOI:10.1007/BF02109370.
• Sándor Szabó Polyhedra without diagonals II // Periodica Mathematica Hungarica. — 2009. — Т. 58, вып. 2. — С. 181—187. — DOI:10.1007/s10998-009-10181-x.
• Günter M. Ziegler. Discrete Differential Geometry / A. I. Bobenko, P. Schröder, J. M. Sullivan, G. M. Ziegler. — Springer-Verlag, 2008. — Т. 38. — С. 191—213. — (Oberwolfach Seminars). — ISBN 978-3-7643-8620-7. — DOI:10.1007/978-3-7643-8621-4_10

Ссылки

• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/CsaszarPolyhedron.html Csaszar Polyhedron] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Отрывок, характеризующий Многогранник Часара

Солдаты французской армии шли убивать русских солдат в Бородинском сражении не вследствие приказания Наполеона, но по собственному желанию. Вся армия: французы, итальянцы, немцы, поляки – голодные, оборванные и измученные походом, – в виду армии, загораживавшей от них Москву, чувствовали, что le vin est tire et qu'il faut le boire. [вино откупорено и надо выпить его.] Ежели бы Наполеон запретил им теперь драться с русскими, они бы его убили и пошли бы драться с русскими, потому что это было им необходимо.
Когда они слушали приказ Наполеона, представлявшего им за их увечья и смерть в утешение слова потомства о том, что и они были в битве под Москвою, они кричали «Vive l'Empereur!» точно так же, как они кричали «Vive l'Empereur!» при виде изображения мальчика, протыкающего земной шар палочкой от бильбоке; точно так же, как бы они кричали «Vive l'Empereur!» при всякой бессмыслице, которую бы им сказали. Им ничего больше не оставалось делать, как кричать «Vive l'Empereur!» и идти драться, чтобы найти пищу и отдых победителей в Москве. Стало быть, не вследствие приказания Наполеона они убивали себе подобных.
И не Наполеон распоряжался ходом сраженья, потому что из диспозиции его ничего не было исполнено и во время сражения он не знал про то, что происходило впереди его. Стало быть, и то, каким образом эти люди убивали друг друга, происходило не по воле Наполеона, а шло независимо от него, по воле сотен тысяч людей, участвовавших в общем деле. Наполеону казалось только, что все дело происходило по воле его. И потому вопрос о том, был ли или не был у Наполеона насморк, не имеет для истории большего интереса, чем вопрос о насморке последнего фурштатского солдата.
Тем более 26 го августа насморк Наполеона не имел значения, что показания писателей о том, будто вследствие насморка Наполеона его диспозиция и распоряжения во время сражения были не так хороши, как прежние, – совершенно несправедливы.
Выписанная здесь диспозиция нисколько не была хуже, а даже лучше всех прежних диспозиций, по которым выигрывались сражения. Мнимые распоряжения во время сражения были тоже не хуже прежних, а точно такие же, как и всегда. Но диспозиция и распоряжения эти кажутся только хуже прежних потому, что Бородинское сражение было первое, которого не выиграл Наполеон. Все самые прекрасные и глубокомысленные диспозиции и распоряжения кажутся очень дурными, и каждый ученый военный с значительным видом критикует их, когда сражение по ним не выиграно, и самью плохие диспозиции и распоряжения кажутся очень хорошими, и серьезные люди в целых томах доказывают достоинства плохих распоряжений, когда по ним выиграно сражение.
Диспозиция, составленная Вейротером в Аустерлицком сражении, была образец совершенства в сочинениях этого рода, но ее все таки осудили, осудили за ее совершенство, за слишком большую подробность.
Наполеон в Бородинском сражении исполнял свое дело представителя власти так же хорошо, и еще лучше, чем в других сражениях. Он не сделал ничего вредного для хода сражения; он склонялся на мнения более благоразумные; он не путал, не противоречил сам себе, не испугался и не убежал с поля сражения, а с своим большим тактом и опытом войны спокойно и достойно исполнял свою роль кажущегося начальствованья.


Вернувшись после второй озабоченной поездки по линии, Наполеон сказал:
– Шахматы поставлены, игра начнется завтра.
Велев подать себе пуншу и призвав Боссе, он начал с ним разговор о Париже, о некоторых изменениях, которые он намерен был сделать в maison de l'imperatrice [в придворном штате императрицы], удивляя префекта своею памятливостью ко всем мелким подробностям придворных отношений.
Он интересовался пустяками, шутил о любви к путешествиям Боссе и небрежно болтал так, как это делает знаменитый, уверенный и знающий свое дело оператор, в то время как он засучивает рукава и надевает фартук, а больного привязывают к койке: «Дело все в моих руках и в голове, ясно и определенно. Когда надо будет приступить к делу, я сделаю его, как никто другой, а теперь могу шутить, и чем больше я шучу и спокоен, тем больше вы должны быть уверены, спокойны и удивлены моему гению».
Окончив свой второй стакан пунша, Наполеон пошел отдохнуть пред серьезным делом, которое, как ему казалось, предстояло ему назавтра.
Он так интересовался этим предстоящим ему делом, что не мог спать и, несмотря на усилившийся от вечерней сырости насморк, в три часа ночи, громко сморкаясь, вышел в большое отделение палатки. Он спросил о том, не ушли ли русские? Ему отвечали, что неприятельские огни всё на тех же местах. Он одобрительно кивнул головой.