Пи-теорема

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Пи-теорема (<math>\Pi</math>-теорема, <math>\pi</math>-теорема) — основополагающая теорема анализа размерностей. Теорема утверждает, что если имеется зависимость между <math>n</math> физическими величинами, не меняющая своего вида при изменении масштабов единиц в некотором классе систем единиц, то она эквивалентна зависимости между, вообще говоря, меньшим числом <math>p=n-k</math> безразмерных величин, где <math>k</math> — наибольшее число величин с независимыми размерностями среди исходных <math>n</math> величин. Пи-теорема позволяет установить общую структуру зависимости, вытекающую только лишь из требования инвариантности физической зависимости при изменении масштабов единиц, даже если конкретный вид зависимости между исходными величинами неизвестен.





Варианты названия

В русскоязычной литературе по теории размерностей и моделированию обычно используется название пи-теорема (<math>\Pi</math>-теорема, <math>\pi</math>-теорема)[1][2][3][4], происходящее от традиционного обозначения безразмерных комбинаций с помощью (прописной или строчной) греческой буквы «пи». В англоязычной литературе теорему обычно связывают с именем Бакингема, а во франкоязычной — с именем Ваши́.

Историческая справка

По-видимому, впервые пи-теорема была доказана Ж.Бертраном[5] в 1878 г. Бертран рассматривает частные примеры задач из электродинамики и теории теплопроводности, однако его изложение содержит в отчетливом виде все основные идеи современного доказательства пи-теоремы, а также ясное указание на применение пи-теоремы для моделирования физических явлений. Широкую известность методика применения пи-теоремы («the method of dimensions») получила благодаря работам Рэлея (первое применение пи-теоремы в общем виде[6] к зависимости падения давления в трубопроводе от определяющих параметров относится, вероятно, к 1892 г.[7], эвристическое доказательство с использованием разложения в степенной ряд — к 1894 г.[8]).

Формальное обобщение пи-теоремы на случай произвольного числа величин было впервые сформулировано Ваши́ в 1892 г.[9], а позже и, по-видимому, независимо — А. Федерманом[10], Д.Рябушинским[11] в 1911 г. и Бакингемом[12] в 1914 г. Впоследствии пи-теорема обобщенаК:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)[источник не указан 4226 дней] Германом Вейлем в 1926 г.

Формулировка теоремы

Для простоты ниже приводится формулировка для положительных величин <math>q_i</math>.

Предположим, что имеется зависимость между <math>n</math> физическими величинами <math>q_1</math>, <math>q_2</math>, <math>\ldots</math>, <math>q_n</math>:

<math>f(q_1,q_2,\ldots,q_n)=0,</math>

вид которой не меняется при изменении масштабов единиц в выбранном классе систем единиц (например, если используется класс систем единиц LMT, то вид функции <math>f</math> не меняется при любых изменениях эталонов длины, времени и массы, скажем при переходе от измерений в килограммах, метрах и секундах к измерениям в фунтах, дюймах и часах).

Выберем среди аргументов функции наибольшую совокупность величин с независимыми размерностями (такой выбор можно, вообще говоря, производить различными способами). Тогда если число величин с независимыми размерностями обозначено <math>k</math> и они занумерованы индексами <math>1</math>, <math>2</math>, <math>\ldots</math>, <math>k</math> (в противном случае их можно перенумеровать), то исходная зависимость <math>f</math> эквивалентна зависимости между <math>p=n-k</math> безразмерными величинами <math>\pi_1</math>, <math>\pi_2</math>, <math>\ldots</math>, <math>\pi_p</math>:

<math>F(\pi_1,\pi_2,\ldots,\pi_p)=0,</math>

где <math>\pi_i</math> — безразмерные комбинации, полученные из оставшихся исходных величин <math>q_{k+1}</math>, <math>q_{k+2}</math>, <math>\ldots</math>, <math>q_n</math> делением на выбранные величины в соответствующих степенях:

<math>\pi_1=\frac{q_{k+1}}{q_1^a\cdot q_2^b\times \ldots\times q_k^z},</math>

<math>\ldots,</math>

<math>\pi_p=\frac{q_n}{q_1^A\cdot q_2^B\times \ldots\times q_k^Z}</math>

(безразмерные комбинации всегда существуют потому, что <math>q_1</math>, <math>q_2</math>, <math>\ldots</math>, <math>q_k</math> — совокупность размерно-независимых величин наибольшего размера, и при добавлении к ним ещё одной величины получается совокупность с зависимыми размерностями).

Доказательство

Доказательство пи-теоремы очень простое. Исходную зависимость <math>f</math> между <math>q_1</math>, <math>q_2</math>, <math>\ldots</math>, <math>q_n</math> можно рассматривать как некоторую зависимость между <math>q_1</math>, <math>q_2</math>, <math>\ldots</math>, <math>q_k</math> и <math>\pi_1</math>, <math>\pi_2</math>, <math>\ldots</math>, <math>\pi_p</math>:

<math>\Phi(q_1, q_2, \ldots, q_k, \pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_p)=0,</math>

причем вид функции <math>\Phi</math> также не меняется при изменении масштабов единиц. Остается заметить, что в силу размерной независимости величин <math>q_1</math>, <math>q_2</math>, <math>\ldots</math>, <math>q_k</math> всегда можно выбрать такой масштаб единиц, что эти величины станут равными единице, в то время как <math>\pi_1</math>, <math>\pi_2</math>, <math>\ldots</math>, <math>\pi_p</math>, будучи безразмерными комбинациями, своих значений не изменят, поэтому при так выбранном масштабе единиц, а значит, в силу инвариантности, и в любой системе единиц, функция <math>\Phi</math> фактически зависит только от <math>\pi_i</math>:

<math>\Phi(1, 1, \ldots, 1, \pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_p)\equiv H(\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_p)=0.</math>


Частные случаи

Применение к уравнению, разрешенному относительно одной величины

Часто используется вариант пи-теоремы для функциональной зависимости одной физической величины <math>q</math> от нескольких других <math>q_1</math>, <math>q_2</math>, <math>\ldots</math>, <math>q_n</math>:

<math>q=f(q_1,q_2,\ldots,q_n).</math>

В этом случае пи-теорема утверждает, что зависимость эквивалентна связи

<math>\pi=F(\pi_1,\pi_2,\ldots,\pi_p),</math>

где

<math>\pi=\frac{q}{q_1^\alpha\cdot q_2^\beta\times \ldots\times q_k^\omega},</math>

а <math>\pi_i</math> определяются так же, как и выше.

Случай, когда пи-теорема дает вид зависимости с точностью до множителя

В одном важном частном случае, когда в зависимости

<math>q=f(q_1,q_2,\ldots,q_n)</math>

все аргументы имеют независимые размерности, применение пи-теоремы дает

<math>\pi=\frac{q}{q_1^\alpha\cdot q_2^\beta\times \ldots\times q_k^\omega}=\text{const},</math>

то есть вид функциональной зависимости определяется с точностью до константы. Значение константы методами теории размерностей не определяется, и для её нахождения нужно использовать экспериментальные или другие теоретические методы.

Замечания о применении пи-теоремы

  • Выбор аргументов с независимыми размерностями, вообще говоря, можно делать различными способами, в результате чего при применении пи-теоремы формально могут получаться разные выражения. Однако на самом деле получающиеся результаты эквивалентны, и из одной формы записи можно получить другую путём перехода к комбинациям безразмерных параметров.
  • В формулировке пи-теоремы требование инвариантности зависимости является важным. Если, например, при работе в Международной системе единиц (СИ) в эксперименте была получена зависимость пути <math>s</math>, пройденного падающим телом, от времени <math>t</math>
<math>s=\frac{9{,}81\cdot t^2}{2},</math>
то в таком виде она не удовлетворяет условиям пи-теоремы.

Применение пи-теоремы для физического моделирования

Пи-теорема применяется для физического моделирования различных явлений в аэродинамике, гидродинамике, теории упругости, теории колебаний. Моделирование основано на том, что если для двух природных процессов («модельного» и «натурного», например для потока воздуха вокруг модели самолета в аэродинамической трубе и потока воздуха вокруг реального самолета) безразмерные аргументы (их называют критерии подобия) в зависимости

<math>\pi=F(\pi_1,\pi_2,\ldots,\pi_p)</math>

совпадают, что может быть осуществлено за счет специального выбора параметров «модельного» объекта, то и безразмерные значения функции <math>\pi</math> также совпадают. Это позволяет «пересчитывать» размерные экспериментальные значения параметров от «модельного» объекта к «натурному», даже если вид функции <math>F</math> неизвестен. Если совпадения всех критериев подобия для «модельного» и «натурного» объектов достичь невозможно, то часто прибегают к приближенному моделированию, когда достигается подобие только по критериям, отражающим влияние наиболее существенных факторов, тогда как влияние второстепенных факторов учитывается приближенно на основе дополнительных соображений (не следующих из теории размерностей).

Примеры применения пи-теоремы

  • Частота колебаний колокола
Излучение звука колоколом происходит в результате его собственных колебаний, которые могут описываться в рамках линейной теории упругости. Частота <math>f</math> издаваемого звука зависит от плотности <math>\rho</math>, модуля Юнга <math>E</math> и коэффициента Пуассона <math>\nu</math> металла, из которого сделан колокол, и от конечного числа геометрических размеров <math>l_1</math>, <math>l_2</math>, <math>\ldots</math>, <math>l_N</math> колокола:
<math>f=F(\rho,E,\nu,l_1,l_2,\ldots,l_N).</math>
Если используется класс систем единиц LMT, то в качестве величин с независимыми размерностями можно, например, выбрать <math>\rho</math>, <math>E</math> и <math>l_1</math> (выбранные величины, входящие в максимальную размерно-независимую подсистему, подчеркнуты):
<math>f=F(\underline{\rho},\underline{E_\text{ }},\nu,\underline{l_1},l_2,\ldots,l_N),</math>
и применение пи-теоремы даёт
<math>\frac{f l_1}{\sqrt{E/\rho}}=G\left(\nu,\frac{l_2}{l_1},\frac{l_3}{l_1},\ldots,\frac{l_N}{l_1}\right).</math>
Если имеются два геометрически подобных колокола из одного и того же материала, то для них аргументы функции <math>G</math> совпадают, поэтому отношение их частот обратно пропорционально отношению их размеров (или обратно пропорционально кубическому корню из отношения их масс). Эта закономерность подтверждается экспериментально[13].
Отметим, что если бы в качестве величин с независимыми размерностями были выбраны другие величины, например <math>\rho</math>, <math>E</math> и <math>l_2</math>, то применение пи-теоремы дало бы формально другой результат
<math>\frac{f l_2}{\sqrt{E/\rho}}=H\left(\nu,\frac{l_1}{l_2},\frac{l_3}{l_2},\ldots,\frac{l_N}{l_2}\right),</math>
но получаемые выводы остались бы, естественно, теми же.
  • Сопротивление при медленном движении шара в вязкой жидкости
При медленном (при малых числах Рейнольдса) стационарном движении сферы в вязкой жидкости величина силы сопротивления <math>F</math> зависит от вязкости жидкости <math>\mu</math>, а также от скорости <math>V</math> и радиуса <math>R</math> сферы (плотность жидкости не входит в число определяющих параметров, так как при малых скоростях влияние инерции жидкости пренебрежимо мало). Применяя к зависимости
<math>F=f(\mu,V,R)</math>
пи-теорему, получаем
<math>\frac{F}{\mu V R}=\text{const},</math>
т.е. в этой задаче сила сопротивления находится с точностью до константы. Значение константы из соображений размерности не находится (решение соответствующей гидродинамической задачи даёт для константы значение <math>6\pi</math>, которое подтверждается экспериментально).

См. также

Напишите отзыв о статье "Пи-теорема"

Ссылки

  • [www.gidropraktikum.narod.ru/pi-theorem-history.htm Некоторые обзорные работы и первоисточники по истории пи-теоремы и теории подобия]

Примечания

  1. Баренблатт Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Теория и приложения к геофизической гидродинамике. — Л.: Гидрометеоиздат, 1978. — С. 25. — 208 с.
  2. Седов Л. И. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Sedov1977ru.djvu Методы подобия и размерности в механике]. — М.: Наука, 1981. — С. 31. — 448 с.
  3. Бриджмен П. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/bridzhmen.djvu Анализ размерностей]. — Ижевск: РХД, 2001. — С. 45. — 148 с.
  4. Хантли Г. [gidropraktikum.narod.ru/Huntley.djvu Анализ размерностей]. — М.: Мир, 1970. — С. 6. — 176 с. (предисловие к русскому изданию)
  5. Bertrand J. [gidropraktikum.narod.ru/Bertrand-1878.djvu Sur l'homogénété dans les formules de physique] // Comptes rendus. — 1878. — Т. 86, № 15. — С. 916-920.
  6. Когда после применения пи-теоремы возникает произвольная функция от безразмерных комбинаций.
  7. Rayleigh [gidropraktikum.narod.ru/Rayleigh-1892.djvu On the question of the stability of the flow of liquids] // Philosophical magazine. — 1892. — Т. 34. — С. 59-70.
  8. Стретт Дж. В. (лорд Рэлей). [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Relej_t2_1955ru.djvu Теория звука]. — М.: ГИТТЛ, 1955. — Т. 2. — С. 348. — 476 с.
  9. Vaschy A. Sur les lois de similitude en physique // Annales Télégraphiques. — 1892. — Т. 19. — С. 25–28. Цитаты из статьи Ваши с формулировкой пи-теоремы приводятся в статье: Macagno E. O. [gidropraktikum.narod.ru/Macagno-1971.djvu Historico-critical review of dimensional analysis] // Journal of the Franklin Institute. — 1971. — Т. 292, вып. 6. — С. 391-402.
  10. Федерман А. [gidropraktikum.narod.ru/Federman.djvu О некоторых общих методах интегрирования уравнений с частными производными первого порядка] // Известия Санкт-Петербургского политехнического института императора Петра Великого. Отдел техники, естествознания и математики. — 1911. — Т. 16, вып. 1. — С. 97-155.
  11. Riabouchinsky D. [gidropraktikum.narod.ru/Riabouchinsky-Aerophile-1911.djvu Мéthode des variables de dimension zéro et son application en aérodynamique] // L’Aérophile. — 1911. — С. 407–408.
  12. Buckingham E. [gidropraktikum.narod.ru/Buckingham.djvu On physically similar systems: illustrations of the use of dimensional equations] // Physical Review. — 1914. — Т. 4, № 4. — С. 345-376.
  13. Пухначёв Ю. Рассеяние, затухание, рефракция — три ключа к разгадке парадокса // Наука и жизнь. — 1983. — № 2. — С. 117–118.

Отрывок, характеризующий Пи-теорема

– Поручик, граф Ростов.
– Какая смелость! По команде подайте. А сами идите, идите… – И он стал надевать подаваемый камердинером мундир.
Ростов вышел опять в сени и заметил, что на крыльце было уже много офицеров и генералов в полной парадной форме, мимо которых ему надо было пройти.
Проклиная свою смелость, замирая от мысли, что всякую минуту он может встретить государя и при нем быть осрамлен и выслан под арест, понимая вполне всю неприличность своего поступка и раскаиваясь в нем, Ростов, опустив глаза, пробирался вон из дома, окруженного толпой блестящей свиты, когда чей то знакомый голос окликнул его и чья то рука остановила его.
– Вы, батюшка, что тут делаете во фраке? – спросил его басистый голос.
Это был кавалерийский генерал, в эту кампанию заслуживший особенную милость государя, бывший начальник дивизии, в которой служил Ростов.
Ростов испуганно начал оправдываться, но увидав добродушно шутливое лицо генерала, отойдя к стороне, взволнованным голосом передал ему всё дело, прося заступиться за известного генералу Денисова. Генерал выслушав Ростова серьезно покачал головой.
– Жалко, жалко молодца; давай письмо.
Едва Ростов успел передать письмо и рассказать всё дело Денисова, как с лестницы застучали быстрые шаги со шпорами и генерал, отойдя от него, подвинулся к крыльцу. Господа свиты государя сбежали с лестницы и пошли к лошадям. Берейтор Эне, тот самый, который был в Аустерлице, подвел лошадь государя, и на лестнице послышался легкий скрип шагов, которые сейчас узнал Ростов. Забыв опасность быть узнанным, Ростов подвинулся с несколькими любопытными из жителей к самому крыльцу и опять, после двух лет, он увидал те же обожаемые им черты, то же лицо, тот же взгляд, ту же походку, то же соединение величия и кротости… И чувство восторга и любви к государю с прежнею силою воскресло в душе Ростова. Государь в Преображенском мундире, в белых лосинах и высоких ботфортах, с звездой, которую не знал Ростов (это была legion d'honneur) [звезда почетного легиона] вышел на крыльцо, держа шляпу под рукой и надевая перчатку. Он остановился, оглядываясь и всё освещая вокруг себя своим взглядом. Кое кому из генералов он сказал несколько слов. Он узнал тоже бывшего начальника дивизии Ростова, улыбнулся ему и подозвал его к себе.
Вся свита отступила, и Ростов видел, как генерал этот что то довольно долго говорил государю.
Государь сказал ему несколько слов и сделал шаг, чтобы подойти к лошади. Опять толпа свиты и толпа улицы, в которой был Ростов, придвинулись к государю. Остановившись у лошади и взявшись рукою за седло, государь обратился к кавалерийскому генералу и сказал громко, очевидно с желанием, чтобы все слышали его.
– Не могу, генерал, и потому не могу, что закон сильнее меня, – сказал государь и занес ногу в стремя. Генерал почтительно наклонил голову, государь сел и поехал галопом по улице. Ростов, не помня себя от восторга, с толпою побежал за ним.


На площади куда поехал государь, стояли лицом к лицу справа батальон преображенцев, слева батальон французской гвардии в медвежьих шапках.
В то время как государь подъезжал к одному флангу баталионов, сделавших на караул, к противоположному флангу подскакивала другая толпа всадников и впереди их Ростов узнал Наполеона. Это не мог быть никто другой. Он ехал галопом в маленькой шляпе, с Андреевской лентой через плечо, в раскрытом над белым камзолом синем мундире, на необыкновенно породистой арабской серой лошади, на малиновом, золотом шитом, чепраке. Подъехав к Александру, он приподнял шляпу и при этом движении кавалерийский глаз Ростова не мог не заметить, что Наполеон дурно и не твердо сидел на лошади. Батальоны закричали: Ура и Vive l'Empereur! [Да здравствует Император!] Наполеон что то сказал Александру. Оба императора слезли с лошадей и взяли друг друга за руки. На лице Наполеона была неприятно притворная улыбка. Александр с ласковым выражением что то говорил ему.
Ростов не спуская глаз, несмотря на топтание лошадьми французских жандармов, осаживавших толпу, следил за каждым движением императора Александра и Бонапарте. Его, как неожиданность, поразило то, что Александр держал себя как равный с Бонапарте, и что Бонапарте совершенно свободно, как будто эта близость с государем естественна и привычна ему, как равный, обращался с русским царем.
Александр и Наполеон с длинным хвостом свиты подошли к правому флангу Преображенского батальона, прямо на толпу, которая стояла тут. Толпа очутилась неожиданно так близко к императорам, что Ростову, стоявшему в передних рядах ее, стало страшно, как бы его не узнали.
– Sire, je vous demande la permission de donner la legion d'honneur au plus brave de vos soldats, [Государь, я прошу у вас позволенья дать орден Почетного легиона храбрейшему из ваших солдат,] – сказал резкий, точный голос, договаривающий каждую букву. Это говорил малый ростом Бонапарте, снизу прямо глядя в глаза Александру. Александр внимательно слушал то, что ему говорили, и наклонив голову, приятно улыбнулся.
– A celui qui s'est le plus vaillament conduit dans cette derieniere guerre, [Тому, кто храбрее всех показал себя во время войны,] – прибавил Наполеон, отчеканивая каждый слог, с возмутительным для Ростова спокойствием и уверенностью оглядывая ряды русских, вытянувшихся перед ним солдат, всё держащих на караул и неподвижно глядящих в лицо своего императора.
– Votre majeste me permettra t elle de demander l'avis du colonel? [Ваше Величество позволит ли мне спросить мнение полковника?] – сказал Александр и сделал несколько поспешных шагов к князю Козловскому, командиру батальона. Бонапарте стал между тем снимать перчатку с белой, маленькой руки и разорвав ее, бросил. Адъютант, сзади торопливо бросившись вперед, поднял ее.
– Кому дать? – не громко, по русски спросил император Александр у Козловского.
– Кому прикажете, ваше величество? – Государь недовольно поморщился и, оглянувшись, сказал:
– Да ведь надобно же отвечать ему.
Козловский с решительным видом оглянулся на ряды и в этом взгляде захватил и Ростова.
«Уж не меня ли?» подумал Ростов.
– Лазарев! – нахмурившись прокомандовал полковник; и первый по ранжиру солдат, Лазарев, бойко вышел вперед.
– Куда же ты? Тут стой! – зашептали голоса на Лазарева, не знавшего куда ему итти. Лазарев остановился, испуганно покосившись на полковника, и лицо его дрогнуло, как это бывает с солдатами, вызываемыми перед фронт.
Наполеон чуть поворотил голову назад и отвел назад свою маленькую пухлую ручку, как будто желая взять что то. Лица его свиты, догадавшись в ту же секунду в чем дело, засуетились, зашептались, передавая что то один другому, и паж, тот самый, которого вчера видел Ростов у Бориса, выбежал вперед и почтительно наклонившись над протянутой рукой и не заставив ее дожидаться ни одной секунды, вложил в нее орден на красной ленте. Наполеон, не глядя, сжал два пальца. Орден очутился между ними. Наполеон подошел к Лазареву, который, выкатывая глаза, упорно продолжал смотреть только на своего государя, и оглянулся на императора Александра, показывая этим, что то, что он делал теперь, он делал для своего союзника. Маленькая белая рука с орденом дотронулась до пуговицы солдата Лазарева. Как будто Наполеон знал, что для того, чтобы навсегда этот солдат был счастлив, награжден и отличен от всех в мире, нужно было только, чтобы его, Наполеонова рука, удостоила дотронуться до груди солдата. Наполеон только прило жил крест к груди Лазарева и, пустив руку, обратился к Александру, как будто он знал, что крест должен прилипнуть к груди Лазарева. Крест действительно прилип.
Русские и французские услужливые руки, мгновенно подхватив крест, прицепили его к мундиру. Лазарев мрачно взглянул на маленького человечка, с белыми руками, который что то сделал над ним, и продолжая неподвижно держать на караул, опять прямо стал глядеть в глаза Александру, как будто он спрашивал Александра: всё ли еще ему стоять, или не прикажут ли ему пройтись теперь, или может быть еще что нибудь сделать? Но ему ничего не приказывали, и он довольно долго оставался в этом неподвижном состоянии.
Государи сели верхами и уехали. Преображенцы, расстроивая ряды, перемешались с французскими гвардейцами и сели за столы, приготовленные для них.
Лазарев сидел на почетном месте; его обнимали, поздравляли и жали ему руки русские и французские офицеры. Толпы офицеров и народа подходили, чтобы только посмотреть на Лазарева. Гул говора русского французского и хохота стоял на площади вокруг столов. Два офицера с раскрасневшимися лицами, веселые и счастливые прошли мимо Ростова.
– Каково, брат, угощенье? Всё на серебре, – сказал один. – Лазарева видел?
– Видел.
– Завтра, говорят, преображенцы их угащивать будут.
– Нет, Лазареву то какое счастье! 10 франков пожизненного пенсиона.
– Вот так шапка, ребята! – кричал преображенец, надевая мохнатую шапку француза.
– Чудо как хорошо, прелесть!
– Ты слышал отзыв? – сказал гвардейский офицер другому. Третьего дня было Napoleon, France, bravoure; [Наполеон, Франция, храбрость;] вчера Alexandre, Russie, grandeur; [Александр, Россия, величие;] один день наш государь дает отзыв, а другой день Наполеон. Завтра государь пошлет Георгия самому храброму из французских гвардейцев. Нельзя же! Должен ответить тем же.
Борис с своим товарищем Жилинским тоже пришел посмотреть на банкет преображенцев. Возвращаясь назад, Борис заметил Ростова, который стоял у угла дома.
– Ростов! здравствуй; мы и не видались, – сказал он ему, и не мог удержаться, чтобы не спросить у него, что с ним сделалось: так странно мрачно и расстроено было лицо Ростова.
– Ничего, ничего, – отвечал Ростов.
– Ты зайдешь?
– Да, зайду.
Ростов долго стоял у угла, издалека глядя на пирующих. В уме его происходила мучительная работа, которую он никак не мог довести до конца. В душе поднимались страшные сомнения. То ему вспоминался Денисов с своим изменившимся выражением, с своей покорностью и весь госпиталь с этими оторванными руками и ногами, с этой грязью и болезнями. Ему так живо казалось, что он теперь чувствует этот больничный запах мертвого тела, что он оглядывался, чтобы понять, откуда мог происходить этот запах. То ему вспоминался этот самодовольный Бонапарте с своей белой ручкой, который был теперь император, которого любит и уважает император Александр. Для чего же оторванные руки, ноги, убитые люди? То вспоминался ему награжденный Лазарев и Денисов, наказанный и непрощенный. Он заставал себя на таких странных мыслях, что пугался их.
Запах еды преображенцев и голод вызвали его из этого состояния: надо было поесть что нибудь, прежде чем уехать. Он пошел к гостинице, которую видел утром. В гостинице он застал так много народу, офицеров, так же как и он приехавших в статских платьях, что он насилу добился обеда. Два офицера одной с ним дивизии присоединились к нему. Разговор естественно зашел о мире. Офицеры, товарищи Ростова, как и большая часть армии, были недовольны миром, заключенным после Фридланда. Говорили, что еще бы подержаться, Наполеон бы пропал, что у него в войсках ни сухарей, ни зарядов уж не было. Николай молча ел и преимущественно пил. Он выпил один две бутылки вина. Внутренняя поднявшаяся в нем работа, не разрешаясь, всё также томила его. Он боялся предаваться своим мыслям и не мог отстать от них. Вдруг на слова одного из офицеров, что обидно смотреть на французов, Ростов начал кричать с горячностью, ничем не оправданною, и потому очень удивившею офицеров.
– И как вы можете судить, что было бы лучше! – закричал он с лицом, вдруг налившимся кровью. – Как вы можете судить о поступках государя, какое мы имеем право рассуждать?! Мы не можем понять ни цели, ни поступков государя!
– Да я ни слова не говорил о государе, – оправдывался офицер, не могший иначе как тем, что Ростов пьян, объяснить себе его вспыльчивости.
Но Ростов не слушал.
– Мы не чиновники дипломатические, а мы солдаты и больше ничего, – продолжал он. – Умирать велят нам – так умирать. А коли наказывают, так значит – виноват; не нам судить. Угодно государю императору признать Бонапарте императором и заключить с ним союз – значит так надо. А то, коли бы мы стали обо всем судить да рассуждать, так этак ничего святого не останется. Этак мы скажем, что ни Бога нет, ничего нет, – ударяя по столу кричал Николай, весьма некстати, по понятиям своих собеседников, но весьма последовательно по ходу своих мыслей.
– Наше дело исполнять свой долг, рубиться и не думать, вот и всё, – заключил он.
– И пить, – сказал один из офицеров, не желавший ссориться.
– Да, и пить, – подхватил Николай. – Эй ты! Еще бутылку! – крикнул он.



В 1808 году император Александр ездил в Эрфурт для нового свидания с императором Наполеоном, и в высшем Петербургском обществе много говорили о величии этого торжественного свидания.
В 1809 году близость двух властелинов мира, как называли Наполеона и Александра, дошла до того, что, когда Наполеон объявил в этом году войну Австрии, то русский корпус выступил за границу для содействия своему прежнему врагу Бонапарте против прежнего союзника, австрийского императора; до того, что в высшем свете говорили о возможности брака между Наполеоном и одной из сестер императора Александра. Но, кроме внешних политических соображений, в это время внимание русского общества с особенной живостью обращено было на внутренние преобразования, которые были производимы в это время во всех частях государственного управления.
Жизнь между тем, настоящая жизнь людей с своими существенными интересами здоровья, болезни, труда, отдыха, с своими интересами мысли, науки, поэзии, музыки, любви, дружбы, ненависти, страстей, шла как и всегда независимо и вне политической близости или вражды с Наполеоном Бонапарте, и вне всех возможных преобразований.