Уравнение Риккати
Уравнение Риккати — обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида
- <math>\frac{dx}{dt} = a(t)x^2 + b(t)x + c(t). \quad (*)</math>
Уравнением Риккати называют также многомерный аналог <math>(*)</math>, то есть систему обыкновенных дифференциальных уравнений с независимыми переменными <math>x_1, \ldots, x_n,</math> правые части которых являются многочленами второй степени от переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math> с зависящими от <math>t</math> коэффициентами. Одномерные и многомерные уравнения Риккати находят применения в различных областях математики: алгебраической геометрии[1], теории вполне интегрируемых гамильтоновых систем[2], вариационном исчислении[3], теории конформных отображений, квантовой теории поля[4].
Содержание
История
Частный случай такого уравнения:
- <math>b\frac{dx}{dt} = x^2 + at^{\alpha}, \quad (**)</math>
где <math>\alpha,\, a,\, b\neq 0</math> — постоянные, впервые был исследован итальянскими математиками Якопо Франческо Риккати и семейством Бернулли (Даниил, Иоганн, Николай старший и Николай младший)[5][6][7]. Ими было найдено условие, при котором это уравнение допускает разделение переменных и, следовательно, интегрирование в квадратурах: <math>\alpha = {4n}/{(1-2n)}, \ n \in \mathbb{N},</math> или <math>\alpha=-2.</math> Как доказал Жозеф Лиувилль (1841), при других значениях <math>\alpha</math> решение уравнения <math>(**)</math> нельзя выразить в квадратурах от элементарных функций; общее решение его может быть записано с помощью цилиндрических функций.
Уравнение вида <math>(*)</math> часто называют общим уравнением Риккати, а уравнение вида <math>(**)</math> — специальным уравнением Риккати.
Свойства
- Уравнение Риккати в случае <math>a(t)=0</math> является линейным и интегрируется в квадратурах.
- Уравнение Риккати в случае <math>c(t)=0</math> является уравнением Бернулли и интегрируется в квадратурах с помощью замены <math>y=1/x.</math>
- Общее решение уравнения Риккати является дробно-линейной функцией от постоянной интегрирования, и обратно, любое дифференциальное уравнение первого порядка, обладающее этим свойством, является уравнением Риккати.
- Если <math>x_1(t), \ldots, x_4(t)</math> — частные решения уравнения Риккати, соответствующие значениям <math>c_1, \ldots, c_4</math> постоянной интегрирования, то имеет место тождество
- <math>\frac{x_3(t)-x_1(t)}{x_3(t)-x_2(t)} : \frac{x_4(t)-x_1(t)}{x_4(t)-x_2(t)} \equiv \frac{c_3-c_1}{c_3-c_2} : \frac{c_4-c_1}{c_4-c_2}. \quad (***)</math>
- Левая часть тождества <math>(***)</math> — двойное отношение четырёх частных решений — является первым интегралом уравнения Риккати. Таким образом, общее решение уравнения восстанавливается из трёх независимых частных решений по формуле <math>(***)</math>.
Обобщение
Матричным уравнением Риккати называется дифференциальное уравнение
- <math>\frac{dX}{dt} = XA(t)X + B_1(t)X + XB_2(t) + C(t)</math>
относительно неизвестной квадратной матрицы <math>X=(x_{ij})</math> порядка <math>n</math>, в котором <math>A,B_1,B_2,C</math> — заданные квадратные матрицы порядка <math>n</math> с зависящими от переменной <math>t</math> коэффициентами.
В вариационном исчислении большую роль играет матричное уравнение Риккати вида
- <math>\frac{dW}{dt} = (R(t)+W) \cdot P^{-1}(t)\cdot (R^*(t)+W) - Q(t)</math>
относительно неизвестной квадратной матрицы <math>W=(w_{ij})</math> порядка <math>n</math>, в котором <math>P,Q,R</math> — заданные квадратные матрицы порядка <math>n</math> с зависящими от переменной <math>t</math> коэффициентами, причем <math>\det P\neq 0,</math> звёздочка означает транспонирование. Оно тесно связано с уравнением Якоби для второй вариации интегрального функционала
- <math>J=\int f(t,x,\dot x) \,dt, \quad x = (x_1, \ldots, x_n),</math>
в стационарной точке <math>\widehat x(\cdot).</math> При этом матрицы
- <math>P(t)=\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial \dot x_i \partial \dot x_j}\Bigr) \Bigl|_{\widehat x(t)}, \ \,
Q(t)=\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\Bigr)\Bigl|_{\widehat x(t)}, \ \, R(t)=\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial \dot x_j}\Bigr)\Bigl|_{\widehat x(t)}. </math>
Напишите отзыв о статье "Уравнение Риккати"
Литература
- Зеликин М. И. [www.rfbr.ru/rffi/ru/books/o_27558#1 Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении], — Факториал, Москва, 1998.
- Егоров А. И. Уравнения Риккати, — Физматлит, Москва, 2001.
- Лауфер М. Я. О решении уравнений Риккати // Лауфер М. Я. Избранные задачи математической физики. Сб. статей.— Северодвинск: НТО кораблестроителей им. акад. А. Н. Крылова, Севмашвтуз, Северодв. отд-ние Ломоносов. фонда, 2005.— стр. 137—140.— ISBN 5-7723-0605-9.
Ссылки
- [mathworld.wolfram.com/RiccatiDifferentialEquation.html Wolfram Math. World: Riccati Differential Equation]
- [eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0123.pdf Eq. World: General Riccati equation]
Примечания
- ↑ Wilczinski E. J. Projective Differential Geometry of Curves and Ruled Surfaces. Teubner, Leipzig, 1906.
- ↑ [www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=faa&paperid=2612&what=fullt&option_lang=rus Захаров В. Е., Фаддеев Л. Д. Уравнение Кортевега-де Фриса — вполне интегрируемая гамильтонова система.]
- ↑ Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
- ↑ Winternitz P. Lie groups and solutions of nonlinear partial differential equations. Lecture Notes in Physics, 1983, vol. 189, pp. 263—331.
- ↑ Riccati J. F. Animadversationes in aequationes differentiales secundi gradus. Acta Eruditorum Quae Lipside Publicantur, 1724. Supplementa 8.
- ↑ [virgobeta.lib.virginia.edu/catalog/u652 Cantor M. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik (V. 4). Leipzig, 1901.]
- ↑ Grugnetti L. Sur Carteggio Jacopo Riccati — Nicola 2 Bernulli. J. Riccati e la Cultura della Marca nel Settecento Europeo. Firence, 1992.
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи желательно?:
|
Отрывок, характеризующий Уравнение Риккати
– Матёрый? – спрашивал Илагин, подвигаясь к подозрившему охотнику, и не без волнения оглядываясь и подсвистывая Ерзу…– А вы, Михаил Никанорыч? – обратился он к дядюшке.
Дядюшка ехал насупившись.
– Что мне соваться, ведь ваши – чистое дело марш! – по деревне за собаку плачены, ваши тысячные. Вы померяйте своих, а я посмотрю!
– Ругай! На, на, – крикнул он. – Ругаюшка! – прибавил он, невольно этим уменьшительным выражая свою нежность и надежду, возлагаемую на этого красного кобеля. Наташа видела и чувствовала скрываемое этими двумя стариками и ее братом волнение и сама волновалась.
Охотник на полугорке стоял с поднятым арапником, господа шагом подъезжали к нему; гончие, шедшие на самом горизонте, заворачивали прочь от зайца; охотники, не господа, тоже отъезжали. Всё двигалось медленно и степенно.
– Куда головой лежит? – спросил Николай, подъезжая шагов на сто к подозрившему охотнику. Но не успел еще охотник отвечать, как русак, чуя мороз к завтрашнему утру, не вылежал и вскочил. Стая гончих на смычках, с ревом, понеслась под гору за зайцем; со всех сторон борзые, не бывшие на сворах, бросились на гончих и к зайцу. Все эти медленно двигавшиеся охотники выжлятники с криком: стой! сбивая собак, борзятники с криком: ату! направляя собак – поскакали по полю. Спокойный Илагин, Николай, Наташа и дядюшка летели, сами не зная как и куда, видя только собак и зайца, и боясь только потерять хоть на мгновение из вида ход травли. Заяц попался матёрый и резвый. Вскочив, он не тотчас же поскакал, а повел ушами, прислушиваясь к крику и топоту, раздавшемуся вдруг со всех сторон. Он прыгнул раз десять не быстро, подпуская к себе собак, и наконец, выбрав направление и поняв опасность, приложил уши и понесся во все ноги. Он лежал на жнивьях, но впереди были зеленя, по которым было топко. Две собаки подозрившего охотника, бывшие ближе всех, первые воззрились и заложились за зайцем; но еще далеко не подвинулись к нему, как из за них вылетела Илагинская краснопегая Ерза, приблизилась на собаку расстояния, с страшной быстротой наддала, нацелившись на хвост зайца и думая, что она схватила его, покатилась кубарем. Заяц выгнул спину и наддал еще шибче. Из за Ерзы вынеслась широкозадая, чернопегая Милка и быстро стала спеть к зайцу.
– Милушка! матушка! – послышался торжествующий крик Николая. Казалось, сейчас ударит Милка и подхватит зайца, но она догнала и пронеслась. Русак отсел. Опять насела красавица Ерза и над самым хвостом русака повисла, как будто примеряясь как бы не ошибиться теперь, схватить за заднюю ляжку.
– Ерзанька! сестрица! – послышался плачущий, не свой голос Илагина. Ерза не вняла его мольбам. В тот самый момент, как надо было ждать, что она схватит русака, он вихнул и выкатил на рубеж между зеленями и жнивьем. Опять Ерза и Милка, как дышловая пара, выровнялись и стали спеть к зайцу; на рубеже русаку было легче, собаки не так быстро приближались к нему.
– Ругай! Ругаюшка! Чистое дело марш! – закричал в это время еще новый голос, и Ругай, красный, горбатый кобель дядюшки, вытягиваясь и выгибая спину, сравнялся с первыми двумя собаками, выдвинулся из за них, наддал с страшным самоотвержением уже над самым зайцем, сбил его с рубежа на зеленя, еще злей наддал другой раз по грязным зеленям, утопая по колена, и только видно было, как он кубарем, пачкая спину в грязь, покатился с зайцем. Звезда собак окружила его. Через минуту все стояли около столпившихся собак. Один счастливый дядюшка слез и отпазанчил. Потряхивая зайца, чтобы стекала кровь, он тревожно оглядывался, бегая глазами, не находя положения рукам и ногам, и говорил, сам не зная с кем и что.
«Вот это дело марш… вот собака… вот вытянул всех, и тысячных и рублевых – чистое дело марш!» говорил он, задыхаясь и злобно оглядываясь, как будто ругая кого то, как будто все были его враги, все его обижали, и только теперь наконец ему удалось оправдаться. «Вот вам и тысячные – чистое дело марш!»
– Ругай, на пазанку! – говорил он, кидая отрезанную лапку с налипшей землей; – заслужил – чистое дело марш!
– Она вымахалась, три угонки дала одна, – говорил Николай, тоже не слушая никого, и не заботясь о том, слушают ли его, или нет.
– Да это что же в поперечь! – говорил Илагинский стремянный.
– Да, как осеклась, так с угонки всякая дворняшка поймает, – говорил в то же время Илагин, красный, насилу переводивший дух от скачки и волнения. В то же время Наташа, не переводя духа, радостно и восторженно визжала так пронзительно, что в ушах звенело. Она этим визгом выражала всё то, что выражали и другие охотники своим единовременным разговором. И визг этот был так странен, что она сама должна бы была стыдиться этого дикого визга и все бы должны были удивиться ему, ежели бы это было в другое время.
Дядюшка сам второчил русака, ловко и бойко перекинул его через зад лошади, как бы упрекая всех этим перекидыванием, и с таким видом, что он и говорить ни с кем не хочет, сел на своего каураго и поехал прочь. Все, кроме его, грустные и оскорбленные, разъехались и только долго после могли притти в прежнее притворство равнодушия. Долго еще они поглядывали на красного Ругая, который с испачканной грязью, горбатой спиной, побрякивая железкой, с спокойным видом победителя шел за ногами лошади дядюшки.
