Формула Вейля
Формула Вейля связывает объём риманова многообразия с асимптотическим поведением собственных значений его лапласиана.
Содержание
История
Соотношение было получено Германом Вейлем в 1911 году. Изначально оно формулировалось только для областей евклидова пространства. В 1912 году он представил новое доказательство на основе вариационных методов.[1]
Формулировка
Пусть <math>\Omega</math> — <math>d</math>-мерное риманово многообразие. Обозначим через <math> N(\lambda)</math> число собственных значений (с учётом кратности), не превосходящих <math>\lambda</math>, для задачи Дирихле на <math>\Omega</math>. Тогда
- <math>N(\lambda)=
\frac{\omega_d}{(2\pi)^d}\cdot\operatorname{vol}\Omega\cdot \lambda^{d/2}+o(\lambda^{d/2}) </math>, где <math>\omega_d</math> обозначает объем единичного шара в <math>d</math>-мерном евклидовом пространстве.[2]
Уточнения
Оценка на остаточный член была многократно улучшена.
- В 1922 г. Рихард Курант улучшил её до <math>O(\lambda^{(d-1)/2}\log \lambda)</math>.
- В 1952 году Борис Левитан доказал более жесткое ограничение <math>O(\lambda^{(d-1)/2})</math> для замкнутых многообразий.
- Роберт Сили (англ.) обобщил эту оценку, в частности, включил определенные евклидовы области, в 1978 году.[3]
Предположительно, следующий член в асимптотике при <math>\lambda^{(d-1)/2}</math> пропорционален площади границы <math>\Omega</math>. С учётом этого члена, оценка на остаточный член должна быть <math>o(\lambda^{(d-1)/2})</math>. В частности, при условии отсутствия границы оценка на остаточный член в формуле выше должна быть <math>o(\lambda^{(d-1)/2})</math>.
- В 1975 году Ганс Дейстермаат (англ.) и Виктор Гийемин (англ.) доказали оценку <math>o(\lambda^{(d-1)/2})</math> при некоторых дополнительных условиях общего положения.[4]
- Последнее было обобщенно Виктором Иврием (англ.) в 1980 году.[5] Это обобщение предполагает, что множество периодических траекторий бильярда в <math>\Omega</math> имеет меру 0. Последнее, возможно, выполняется для всех ограниченных Евклидовых областях с гладкими границами.
References
- ↑ H. Weyl (1912). «Das asymptotische Verteilungsgesetz linearen partiellen Differentialgleichungen». Math. Ann. 71: 441–479.
- ↑ Weyl, Hermann (1911). «[gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=GDZPPN002502526 Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte]». Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen: 110–117.
- ↑ R. Seeley. A sharp asymptotic estimate for the eigenvalues of the Laplacian in a domain of <math>\mathbf{R}^3</math> // Adv. Math.. — 1978. — Vol. 29, no. 2. — P. 244-269. — DOI:10.1016/0001-8708(78)90013-0.</span>
- ↑ J. J. Duistermaat, V. W. Guillemin. The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics // Inventiones mathematicae. — 1975. — Vol. 29, no. 1. — P. 39-79. — DOI:10.1007/BF01405172.</span>
- ↑ В. Я. Иврий [mi.mathnet.ru/faa1796 О втором члене спектральной асимптотики для оператора Лапласа — Бельтрами на многообразиях с краем] // Функц. анализ и его прил.. — 1980. — Т. 14, № 2. — С. 25—34.
</ol>
Напишите отзыв о статье "Формула Вейля"
Отрывок, характеризующий Формула Вейля
Через неделю Пьер, простившись с новыми друзьями масонами и оставив им большие суммы на милостыни, уехал в свои именья. Его новые братья дали ему письма в Киев и Одессу, к тамошним масонам, и обещали писать ему и руководить его в его новой деятельности.Дело Пьера с Долоховым было замято, и, несмотря на тогдашнюю строгость государя в отношении дуэлей, ни оба противника, ни их секунданты не пострадали. Но история дуэли, подтвержденная разрывом Пьера с женой, разгласилась в обществе. Пьер, на которого смотрели снисходительно, покровительственно, когда он был незаконным сыном, которого ласкали и прославляли, когда он был лучшим женихом Российской империи, после своей женитьбы, когда невестам и матерям нечего было ожидать от него, сильно потерял во мнении общества, тем более, что он не умел и не желал заискивать общественного благоволения. Теперь его одного обвиняли в происшедшем, говорили, что он бестолковый ревнивец, подверженный таким же припадкам кровожадного бешенства, как и его отец. И когда, после отъезда Пьера, Элен вернулась в Петербург, она была не только радушно, но с оттенком почтительности, относившейся к ее несчастию, принята всеми своими знакомыми. Когда разговор заходил о ее муже, Элен принимала достойное выражение, которое она – хотя и не понимая его значения – по свойственному ей такту, усвоила себе. Выражение это говорило, что она решилась, не жалуясь, переносить свое несчастие, и что ее муж есть крест, посланный ей от Бога. Князь Василий откровеннее высказывал свое мнение. Он пожимал плечами, когда разговор заходил о Пьере, и, указывая на лоб, говорил:
– Un cerveau fele – je le disais toujours. [Полусумасшедший – я всегда это говорил.]
– Я вперед сказала, – говорила Анна Павловна о Пьере, – я тогда же сейчас сказала, и прежде всех (она настаивала на своем первенстве), что это безумный молодой человек, испорченный развратными идеями века. Я тогда еще сказала это, когда все восхищались им и он только приехал из за границы, и помните, у меня как то вечером представлял из себя какого то Марата. Чем же кончилось? Я тогда еще не желала этой свадьбы и предсказала всё, что случится.
Анна Павловна по прежнему давала у себя в свободные дни такие вечера, как и прежде, и такие, какие она одна имела дар устроивать, вечера, на которых собиралась, во первых, la creme de la veritable bonne societe, la fine fleur de l'essence intellectuelle de la societe de Petersbourg, [сливки настоящего хорошего общества, цвет интеллектуальной эссенции петербургского общества,] как говорила сама Анна Павловна. Кроме этого утонченного выбора общества, вечера Анны Павловны отличались еще тем, что всякий раз на своем вечере Анна Павловна подавала своему обществу какое нибудь новое, интересное лицо, и что нигде, как на этих вечерах, не высказывался так очевидно и твердо градус политического термометра, на котором стояло настроение придворного легитимистского петербургского общества.
