Оператор Лапласа — Бельтрами

Опера́тор Лапла́са — Бельтра́ми (называется иногда оператором Бельтра́ми — Лапла́са или просто оператором Бельтра́ми) — дифференциальный оператор второго порядка, действующий в пространстве гладких (или аналитических) функций на римановом многообразии <math>M</math>.

В координатах <math>x_1, \ldots, x_n,</math> где <math>n=\dim M,</math> оператор Лапласа — Бельтрами задается следующим образом. Пусть <math>(g_{ij})</math> — матрица метрического тензора риманова многообразия, <math>(g^{ij})</math> — обратная матрица и <math>g = \det(g_{ij})</math>, тогда оператор Лапласа — Бельтрами имеет вид

<math> - \sum_{i,j} \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial}{\partial x_i} \biggl(g^{ij}\sqrt{g} \frac{\partial}{\partial x_j}\biggr). \qquad (*)</math>

Примеры

• В случае, когда <math>M</math> — область в евклидовом пространстве со стандартной метрикой <math>(g_{ij})=(\delta_{ij})</math> — единичная матрица, оператор Лапласа — Бельтрами (*) превращается (с точностью до знака) в оператор Лапласа.

• Пусть <math>\dim M=2</math> и метрический тензор имеет вид <math>ds^2= E(x,y)\,dx^2 + 2F(x,y)\,dxdy + G(x,y)\,dy^2,</math> тогда формула (*) принимает вид

  <math>\frac{\partial}{\partial x} \biggl(\frac{F\frac{\partial}{\partial y}-G\frac{\partial}{\partial x}}{\sqrt{EG-F^2}}\biggr) + \frac{\partial}{\partial y} \biggl(\frac{F\frac{\partial}{\partial x}-E\frac{\partial}{\partial y}}{\sqrt{EG-F^2}}\biggr). \qquad (**)</math>

• Дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка <math>Lf=0,</math> где оператор <math>L</math> задан формулой (**), разрешимо, если функции <math>E,F,G</math> аналитические или достаточно гладкие. Этот факт используется для доказательства существования локальных изотермических (конформных) координат на поверхности <math>M</math>, т. е. доказательства того, что каждое двумерное риманово многообразие локально конформно эквивалентно евклидовой плоскости.

Литература

• Розенблюм Г. В., Соломяк М. З., Шубин М. А. Спектральная теория дифференциальных операторов, — Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 64, ВИНИТИ, М., 1989.
• Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье, — М., Мир, 1984.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — Любое издание.

Отрывок, характеризующий Оператор Лапласа — Бельтрами

Император перебил его.
– В котором часу убит генерал Шмит?…
– В семь часов, кажется.
– В 7 часов. Очень печально! Очень печально!
Император сказал, что он благодарит, и поклонился. Князь Андрей вышел и тотчас же со всех сторон был окружен придворными. Со всех сторон глядели на него ласковые глаза и слышались ласковые слова. Вчерашний флигель адъютант делал ему упреки, зачем он не остановился во дворце, и предлагал ему свой дом. Военный министр подошел, поздравляя его с орденом Марии Терезии З й степени, которым жаловал его император. Камергер императрицы приглашал его к ее величеству. Эрцгерцогиня тоже желала его видеть. Он не знал, кому отвечать, и несколько секунд собирался с мыслями. Русский посланник взял его за плечо, отвел к окну и стал говорить с ним.
Вопреки словам Билибина, известие, привезенное им, было принято радостно. Назначено было благодарственное молебствие. Кутузов был награжден Марией Терезией большого креста, и вся армия получила награды. Болконский получал приглашения со всех сторон и всё утро должен был делать визиты главным сановникам Австрии. Окончив свои визиты в пятом часу вечера, мысленно сочиняя письмо отцу о сражении и о своей поездке в Брюнн, князь Андрей возвращался домой к Билибину. У крыльца дома, занимаемого Билибиным, стояла до половины уложенная вещами бричка, и Франц, слуга Билибина, с трудом таща чемодан, вышел из двери.
Прежде чем ехать к Билибину, князь Андрей поехал в книжную лавку запастись на поход книгами и засиделся в лавке.
– Что такое? – спросил Болконский.
– Ach, Erlaucht? – сказал Франц, с трудом взваливая чемодан в бричку. – Wir ziehen noch weiter. Der Bosewicht ist schon wieder hinter uns her! [Ах, ваше сиятельство! Мы отправляемся еще далее. Злодей уж опять за нами по пятам.]
– Что такое? Что? – спрашивал князь Андрей.
Билибин вышел навстречу Болконскому. На всегда спокойном лице Билибина было волнение.
– Non, non, avouez que c'est charmant, – говорил он, – cette histoire du pont de Thabor (мост в Вене). Ils l'ont passe sans coup ferir. [Нет, нет, признайтесь, что это прелесть, эта история с Таборским мостом. Они перешли его без сопротивления.]
Князь Андрей ничего не понимал.