Производная Пинкерля

В математике, производная Пинкерля T’ линейного оператора T:K[x] → K[x] на векторном пространстве многочленов от переменной x над полем K это коммутатор оператора T с умножением на x в алгебре эндоморфизмов End(K[x]). T.e. T’ является ещё одним линейным оператором T’:K[x] → K[x]

<math> T' := [T,x] = Tx-xT = -\operatorname{ad}(x)T.</math>

Более подробно, на многочлене <math> p(x)</math> этот оператор действует следующим образом:

<math> T'\{p(x)\}=T\{xp(x)\}-xT\{p(x)\}\qquad\forall p(x)\in \mathbb{K}[x].</math>

Названа в честь итальянского математика Сальватора Пинкерля (1853—1936).

Свойства

Производная Пинкерля, как и любой коммутатор, является дифференцированием, удовлетворяющим правилу произведения и суммы: для любых линейных оператора <math>\scriptstyle S </math> и <math>\scriptstyle T </math>, принадлежащих <math> \scriptstyle \operatorname{End} \left( \mathbb K[x] \right) </math>, выполняется

1. <math>\scriptstyle{ (T + S)^\prime = T^\prime + S^\prime }</math> ;
2. <math>\scriptstyle{ (TS)^\prime = T^\prime\!S + TS^\prime }</math> где <math>\scriptstyle{ TS = T \circ S}</math> является композицией операторов ;

Также <math>\scriptstyle{ [T,S]^\prime = [T^\prime , S] + [T, S^\prime ] },</math> где <math>\scriptstyle{ [T,S] = TS - ST}</math> — обычная скобка Ли, что следует из тождества Якоби.

Обычная производная, D = d/dx, является оператором на многочленах. Прямое вычисление показывает, что её производная Пинкерля равна

<math> D'= \left({d \over {dx}}\right)' = \operatorname{Id}_{\mathbb K [x]} = 1.</math>

По индукции, эта формула обобщается до

<math> (D^n)'= \left({{d^n} \over {dx^n}}\right)' = nD^{n-1}.</math>

Это доказывает, что производная Пинкерля дифференциального оператора

<math> \partial = \sum a_n {{d^n} \over {dx^n} } = \sum a_n D^n </math>

также является дифференциальным оператором, так что производная Пинкерля есть дифференцирование <math>\scriptstyle \operatorname{Diff}(\mathbb K [x]) </math>.

Оператор сдвига

<math> S_h(f)(x) = f(x+h)</math>

может быть записан

<math> S_h = \sum_{n=0} {{h^n} \over {n!} }D^n </math>

с помощью формулы Тейлора. Тогда его производная Пинкерля равняется

<math> S_h' = \sum_{n=1} {{h^n} \over {(n-1)!} }D^{n-1} = h \cdot S_h. </math>

Другими словами, операторы сдвига есть собственные векторы производной Пинкерля, чей спектр есть все пространство скаляров <math>\scriptstyle{ \mathbb K }</math>.

Если T инвариантен к сдвигу, то есть если T коммутирует с S_h или <math>\scriptstyle{ [T,S_h] = 0}</math>, мы также имеем: <math>\scriptstyle{ [T',S_h] = 0}</math>, так что <math>\scriptstyle T'</math> также является инвариантным к тому же сдвигу <math>\scriptstyle h</math>.

Дельта-оператор дискретного времени

<math> (\delta f)(x) = {{ f(x+h) - f(x) } \over h }</math>

это оператор

<math> \delta = {1 \over h} (S_h - 1),</math>

чья производная Пинкерля — оператор сдвига <math>\scriptstyle{ \delta ' = S_h }</math>.

См. также

• Коммутатор операторов

Ссылки

• Weisstein, Eric W. «[mathworld.wolfram.com/PincherleDerivative.html Pincherle Derivative]». MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• [www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Pincherle.html Biography of Salvatore Pincherle] на MacTutor History of Mathematics archive.

Отрывок, характеризующий Производная Пинкерля

И Наташа побежала по коридору.
Соня, отряхнув пух и спрятав стихи за пазуху, к шейке с выступавшими костями груди, легкими, веселыми шагами, с раскрасневшимся лицом, побежала вслед за Наташей по коридору в диванную. По просьбе гостей молодые люди спели квартет «Ключ», который всем очень понравился; потом Николай спел вновь выученную им песню.
В приятну ночь, при лунном свете,
Представить счастливо себе,
Что некто есть еще на свете,
Кто думает и о тебе!
Что и она, рукой прекрасной,
По арфе золотой бродя,
Своей гармониею страстной
Зовет к себе, зовет тебя!
Еще день, два, и рай настанет…
Но ах! твой друг не доживет!
И он не допел еще последних слов, когда в зале молодежь приготовилась к танцам и на хорах застучали ногами и закашляли музыканты.

Пьер сидел в гостиной, где Шиншин, как с приезжим из за границы, завел с ним скучный для Пьера политический разговор, к которому присоединились и другие. Когда заиграла музыка, Наташа вошла в гостиную и, подойдя прямо к Пьеру, смеясь и краснея, сказала:
– Мама велела вас просить танцовать.
– Я боюсь спутать фигуры, – сказал Пьер, – но ежели вы хотите быть моим учителем…
И он подал свою толстую руку, низко опуская ее, тоненькой девочке.
Пока расстанавливались пары и строили музыканты, Пьер сел с своей маленькой дамой. Наташа была совершенно счастлива; она танцовала с большим , с приехавшим из за границы . Она сидела на виду у всех и разговаривала с ним, как большая. У нее в руке был веер, который ей дала подержать одна барышня. И, приняв самую светскую позу (Бог знает, где и когда она этому научилась), она, обмахиваясь веером и улыбаясь через веер, говорила с своим кавалером.
– Какова, какова? Смотрите, смотрите, – сказала старая графиня, проходя через залу и указывая на Наташу.
Наташа покраснела и засмеялась.
– Ну, что вы, мама? Ну, что вам за охота? Что ж тут удивительного?

В середине третьего экосеза зашевелились стулья в гостиной, где играли граф и Марья Дмитриевна, и большая часть почетных гостей и старички, потягиваясь после долгого сиденья и укладывая в карманы бумажники и кошельки, выходили в двери залы. Впереди шла Марья Дмитриевна с графом – оба с веселыми лицами. Граф с шутливою вежливостью, как то по балетному, подал округленную руку Марье Дмитриевне. Он выпрямился, и лицо его озарилось особенною молодецки хитрою улыбкой, и как только дотанцовали последнюю фигуру экосеза, он ударил в ладоши музыкантам и закричал на хоры, обращаясь к первой скрипке:
– Семен! Данилу Купора знаешь?
Это был любимый танец графа, танцованный им еще в молодости. (Данило Купор была собственно одна фигура англеза .)
– Смотрите на папа, – закричала на всю залу Наташа (совершенно забыв, что она танцует с большим), пригибая к коленам свою кудрявую головку и заливаясь своим звонким смехом по всей зале.
Действительно, всё, что только было в зале, с улыбкою радости смотрело на веселого старичка, который рядом с своею сановитою дамой, Марьей Дмитриевной, бывшей выше его ростом, округлял руки, в такт потряхивая ими, расправлял плечи, вывертывал ноги, слегка притопывая, и всё более и более распускавшеюся улыбкой на своем круглом лице приготовлял зрителей к тому, что будет. Как только заслышались веселые, вызывающие звуки Данилы Купора, похожие на развеселого трепачка, все двери залы вдруг заставились с одной стороны мужскими, с другой – женскими улыбающимися лицами дворовых, вышедших посмотреть на веселящегося барина.