Тождественное отображение

Тожде́ственное отображе́ние в математике — отображение, переводящее аргумент в себя.

Тождественное отображение часто обозначается в виде <math>\mathrm{id}_X(x) = x</math>.

Определение

Пусть <math>X</math> — произвольное множество. Тогда тождественное отображение <math>\mathrm{id}_X(x)</math> множества <math>X</math> на <math>X</math> представляет собой функцию, такую что <math>\mathrm{id}_X(x) = x</math> для любого <math>x \in X</math>.

Свойства

• Пусть <math>F:X \to Y</math> — произвольная функция. Тогда
      <math>F \circ \mathrm{id}_X = F</math>,
      <math>\mathrm{id}_Y \circ F = F</math>,
  где <math>\circ</math> обозначает композицию функций.
• В частности, <math>\mathrm{id}_X</math> является нейтральным элементом
  • моноида, образованного отображениями из <math>X</math> в <math>X</math>;
  • симметрической группы перестановок множества X.
• Пусть <math>F: X \to Y</math> — биекция, и <math>F^{-1}</math> — её обратная функция. Тогда
      <math> F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_Y</math>,
      <math> F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X</math>.