Дикая сфера

Дикая сфера — патологический пример вложения сферы в пространство.

Определение

Вложение стандартной сферы <math>\mathbb{S}^2\subset \mathbb E^3</math> в евклидово пространство <math>\mathbb E^3</math> называется диким если оно не продолжается до вложения окрестности <math>U\supset \mathbb{S}^2</math> в <math>\mathbb E^3</math>.

Примеры

• Дикой сферой является сумма двух дисков с общим краем, являющимся диким узлом.

Рогатая сфера Александера

Первый пример дикой сферы — так называемая «рогатая сфера Александера» (названная по имени Джеймса Александера) — ограничивает область, не гомеоморфную <math>\mathbb E^3</math>.

Построение

1. Сделаем радиальный разрез тора.
2. К каждому разрезу приклеим по проколотому тору, так, чтобы новые два тора были зацеплены друг с другом.
3. Повторим шаги 1-2 для добавленных двух торов. И так продолжим до бесконечности.

Точки торов, которые не будут удалены на каком-то этапе, образуют вложение сферы с исключённым канторовым множеством. Затем это вложение распространяется на всю поверхность.

Построенная поверхность гомеоморфна сфере <math>\mathbb S^2</math>. Однако "дикость" построенного вложения проявляется в том, что внешняя часть дополнения не является односвязной, тогда как для обычного вложения сферы внешняя и внутренняя часть — односвязные множества.

См. также

• Ожерелье Антуана
• Дикий узел
• Многообразие Уайтхеда

Ссылки

• Войцеховский М. И. [www.encyclopediaofmath.org/index.php/Wild_sphere Wild sphere], Encyclopedia of Mathematics.

Литература

• Болтянский В.Г.,Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с. — (Библиотечка «Квант»).
• Лекция 26 в Табачников С.Л.. Фукс Д.Б. [biblio.mccme.ru/node/2392 Математический дивертисмент]. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.