Чебышёвский альтернанс

Чебышёвский альтерна́нс (или просто альтерна́нс) — в математике такой набор точек <math>x_1<x_2< ... <x_N</math>, в которых непрерывная функция одной переменной <math>g(x)</math> последовательно принимает своё максимальное по модулю значение, при этом знаки функции в этих точках <math>g(x_1),</math> <math>g(x_2), ...,</math> <math>g(x_N)</math> — чередуются.

Такая конструкция впервые встретилась в теореме о характеризации полинома наилучшего приближения, открытой П. Л. Чебышёвым в XIX веке. Сам термин альтернанс был введён И. П. Натансоном в 1950-е годы.

Теорема Чебышёва об альтернансе

Чтобы многочлен <math> Q_n(x)</math> был многочленом наилучшего равномерного приближения непрерывной функции <math>f(x)</math>, необходимо и достаточно существования на <math>[a,b]</math> по крайней мере <math>n+2</math> точек <math>x_0<...<x_{n+1} </math> таких, что

<math>f(x_i)- Q_n(x_i)= \alpha (-1)^i ||f-Q_n||</math>,

где <math>i=0,...,n+1, \alpha=\pm1 </math> одновременно для всех <math>i</math>.

Точки <math>x_0<...<x_{n+1} </math>, удовлетворяющие условиям теоремы, называются точками чебышёвского альтернанса.

Пример приближения функции

Допустим, что необходимо приблизить функцию квадратного корня с помощью линейной функции (многочлена первой степени) на интервале (1, 64). Из условия теоремы, нам необходимо найти <math>n+2</math> (в рассматриваемом случае — 3) точек чебышёвского альтернанса. Поэтому, в силу выпуклости разности квадратного корня и линейной функции, таковыми точками являются единственная точка экстремума этой разности и концы интервала, на котором происходит приближение функции. Обозначим <math>a=1, b=64</math>. <math>d</math> — точка экстремума. Тогда имеют место следующие уравнения:

<math> \sqrt1-(\alpha_0+\alpha_1\times 1)=\alpha L </math>

<math> \sqrt d-(\alpha_0+\alpha_1\times d)=-\alpha L </math>

<math> \sqrt{64}-(\alpha_0+\alpha_1\times 64)=\alpha L </math>

Здесь <math>\alpha L</math> — разности между значениями функции и многочлена. Вычитая первое уравнение из третьего, можно получить, что

<math>\alpha_1=\frac{1}{9}</math>

Так как <math>d</math> — точка экстремума, а линейная функция и функция квадратного корня непрерывны и дифференцируемы, определить значение <math>d</math> можно из следующего уравнения:

<math> (\sqrt x)'(d) - \alpha_1 =0 </math>

Отсюда <math>d=20\frac{1}{4}</math>

Теперь можно вычислить <math> \alpha_0 </math>

<math>\alpha_0=\frac{113}{72}</math>

Следовательно, наилучшее линейное приближение функции <math>\sqrt x</math> на интервале от 1 до 64:

<math>\frac{1}{9}x + \frac{113}{72}</math>.

См. также

• Многочлены Чебышёва

Литература

• Бахвалов, Н. С.; Жидков, Н. П.; Кобельков, Г. Н. Численные методы
• Ульянов, М. В. Ресурсно-эффективные компьютерные алгоритмы.

Ссылки

• [mmfd.nsu.ru/mmf/persons/matsokin/NumAn.pdf Лекции А. М. Мацокина]

Математика