Выборочная дисперсия

Выборочная дисперсия в математической статистике — это оценка теоретической дисперсии распределения, рассчитанная на основе данных выборки. Виды выборочных дисперсий:

• смещённая;
• несмещённая или исправленная.

Определения

Пусть <math>X_1,\ldots,X_n,\ldots</math> — выборка из распределения вероятности. Тогда

• выборочная дисперсия — это случайная величина

<math>S^2_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \left(X_i - \bar{X} \right)^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2-\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)^2</math>,

где символ <math>\bar{X}</math> обозначает выборочное среднее;

• несмещённая (исправленная) дисперсия — это случайная величина

<math>S^2 = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n \left(X_i - \bar{X} \right)^2</math>.

Замечание

Очевидно,

<math>S^2 = \frac{n}{n-1} S^2_n</math>.

Свойства выборочных дисперсий

• Выборочная дисперсия является теоретической дисперсией выборочного распределения. Более точно, пусть <math>\hat{F}(x)</math> — выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного <math>\omega \in \Omega</math> функция <math>\hat{F}(\omega,x)</math> является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Дисперсия этого распределения равна <math>S^2_n(\omega)</math>.

• Обе выборочные дисперсии являются состоятельными оценками теоретической дисперсии. Если <math>\mathrm{D}[X_i] = \sigma^2 < \infty</math>, то

<math>S_n^2 \to^{\!\!\!\!\!\!\mathbb{P}}\; \sigma^2</math>

и

<math>S^2 \to^{\!\!\!\!\!\!\mathbb{P}}\; \sigma^2</math>,

где символ «<math>\to^{\!\!\!\!\!\!\mathbb{P</math>»}} обозначает сходимость по вероятности.

• Выборочная дисперсия является смещённой оценкой теоретической дисперсии, а исправленная выборочная дисперсия — несмещённой:

<math>\mathbb{E}\left[S^2_n\right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2</math>,

и

<math>\mathbb{E}\left[S^2\right] = \sigma^2</math>.

• Выборочная дисперсия нормального распределения имеет распределение хи-квадрат. Пусть <math>X_i \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2),\; i=1,2,\ldots</math>. Тогда

<math>(n-1) \frac{S^2}{\sigma^2} \equiv n \frac{S^2_n}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)</math>.

Смотрите также

• Дисперсия случайной величины
• Выборочное среднее
• Несмещённая оценка
• Дисперсия Аллана
• Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Отрывок, характеризующий Выборочная дисперсия

Будем читать лучше Апостолов и Евангелие. Не будем пытаться проникнуть то, что в этих книгах есть таинственного, ибо как можем мы, жалкие грешники, познать страшные и священные тайны Провидения до тех пор, пока носим на себе ту плотскую оболочку, которая воздвигает между нами и Вечным непроницаемую завесу? Ограничимся лучше изучением великих правил, которые наш Божественный Спаситель оставил нам для нашего руководства здесь, на земле; будем стараться следовать им и постараемся убедиться в том, что чем меньше мы будем давать разгула нашему уму, тем мы будем приятнее Богу, Который отвергает всякое знание, исходящее не от Него, и что чем меньше мы углубляемся в то, что Ему угодно было скрыть от нас, тем скорее даст Он нам это открытие Своим божественным разумом.
Отец мне ничего не говорил о женихе, но сказал только, что получил письмо и ждет посещения князя Василия; что касается до плана супружества относительно меня, я вам скажу, милый и бесценный друг, что брак, по моему, есть божественное установление, которому нужно подчиняться. Как бы то ни было тяжело для меня, но если Всемогущему угодно будет наложить на меня обязанности супруги и матери, я буду стараться исполнять их так верно, как могу, не заботясь об изучении своих чувств в отношении того, кого Он мне даст супругом.
Я получила письмо от брата, который мне объявляет о своем приезде с женой в Лысые Горы. Радость эта будет непродолжительна, так как он оставляет нас для того, чтобы принять участие в этой войне, в которую мы втянуты Бог знает как и зачем. Не только у вас, в центре дел и света, но и здесь, среди этих полевых работ и этой тишины, какую горожане обыкновенно представляют себе в деревне, отголоски войны слышны и дают себя тяжело чувствовать. Отец мой только и говорит, что о походах и переходах, в чем я ничего не понимаю, и третьего дня, делая мою обычную прогулку по улице деревни, я видела раздирающую душу сцену.
Это была партия рекрут, набранных у нас и посылаемых в армию. Надо было видеть состояние, в котором находились матери, жены и дети тех, которые уходили, и слышать рыдания тех и других. Подумаешь, что человечество забыло законы своего Божественного Спасителя, учившего нас любви и прощению обид, и что оно полагает главное достоинство свое в искусстве убивать друг друга.