Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее переменную величину <math>x</math>, искомую функцию <math>y</math> и её производные, то есть соотношение вида:

<math>\Phi (x, y', y,..., y^{(n)})=0</math>

Дифференциальные уравнения находят широчайшее применение в различных областях науки и техники. Они возникают при решении задач, когда устанавливается взаимосвязь между функцией <math>y</math> от переменной <math>x</math> и её производными.

Дифференциальное уравнение Лагранжа

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка следующего вида

<math>y=x\varphi(y')+\psi(y')</math>

где <math>\varphi</math> и <math>\psi</math> — известные функции от <math>y'</math>, причём считаем, что функция <math>\varphi(y')</math> отлична от <math>y'</math>. Такого вида уравнение называют уравнением Лагранжа. Оно является линейным относительно переменных <math>x</math> и <math>y</math>.

Такое дифференциальное уравнение приходится решать, как говорят, методом введения вспомогательного параметра. Найдём его общее решение, введя параметр <math>y'=p</math>. Тогда уравнение можно записать в виде:

<math>y=x\varphi(p)+\psi(p)</math> <math>\longleftrightarrow</math> <math>(1)</math>

Замечая, что <math>p={dy \over dx}</math> продифференцируем обе части этого уравнения по <math>x</math>:

<math>p=\varphi(p)+[x\varphi'(p)+\psi'(p)]{dp \over dx}</math>

Преобразуем его в виде

<math>p-\varphi(p)=[x\varphi'(p)+\psi'(p)]{dp \over dx}</math> <math>\longleftrightarrow</math> <math>(2)</math>

Уже сейчас из этого уравнения можно найти некоторые решения, если заметить, что оно обращается в верное равенство при всяком постоянном значении <math>p=p_0</math>, удовлетворяющему условию <math>p_0-\varphi(p_0)=0</math>. В самом деле, при любом постоянном значении <math>p</math>, производная <math>{dp \over dx}</math> тождественно обращается в нуль и тогда обе части уравнения можно приравнять к нулю.

Решение, соответствующее каждому значению <math>p=p_0</math>, то есть, <math>{dp \over dx}=p_0</math>, является линейной функцией от <math>x</math>, поскольку производная <math>{dp \over dx}</math>, постоянна только у линейных функций. Чтобы найти эту функцию, достаточно подставить в равенство <math>(1)</math> значение <math>p=p_0</math>, то есть

<math>y=x\varphi(p_0)+\psi(p_0)</math>.

Если окажется, что это решение не получается из общего ни при каком значении произвольной постоянной, то оно будет являться особым решением.

Найдём теперь общее решение. Для этого запишем уравнение <math>(2)</math> в виде

<math>{dx \over dp}-x{\varphi'(p) \over p-\varphi(p)}={\psi'(p) \over p-\varphi(p)}</math>

и будем считать <math>x</math>, как функцию от <math>p</math>. Тогда полученное уравнение есть не что иное как линейное дифференциальное уравнение относительно функции <math>x</math> от <math>p</math>. Решая его, найдём

<math>x=\omega(p, C)</math> <math>\longleftrightarrow</math> <math>(3)</math>

Исключая параметр <math>p</math> из уравнений <math>(1)</math> и <math>(3)</math> найдём общий интеграл уравнения <math>(1)</math> в виде

<math>\Phi(x, y, C)=0</math>.

Дифференциальное уравнение Клеро

Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида

<math>y=xy'+\psi(y')</math> <math>\longleftrightarrow</math> <math>(1)</math>

Такое уравнение носит название уравнения Клеро.

Легко видеть, что уравнение Клеро — частный случай уравнения Лагранжа, когда <math>\varphi(y')=y'</math>. Интегрируется оно так же путём введения вспомогательного параметра.

Положим <math>y'= {dy \over dx}=p</math>. Тогда

<math>y = xp+\psi(p)</math> <math>\longleftrightarrow</math> <math>(2)</math>

Продифференцируем это уравнение по <math>x</math>, так же, как это делали с уравнением Лагранжа, замечая, что <math>p={dy \over dx}</math>, пишем

<math>p=x{dp \over dx}+p+\psi'(p){dp \over dx}</math>

Преобразуем его к виду

<math>[x+\psi'(p)]{dp \over dx}=0</math>

Приравнивая каждый множитель к нулю, получим

<math>{dp \over dx}=0</math> <math>\longleftrightarrow</math> <math>(3)</math>

и

<math>[x+\psi'(p)]=0</math> <math>\longleftrightarrow</math> <math>(4)</math>

Интегрируя уравнение <math>(3)</math> получим <math>p=C=const</math>. Подставим значение <math>p</math> в уравнение <math>(2)</math> найдём его общий интеграл

<math>y=xC+\psi(C)</math> <math>\longleftrightarrow</math> <math>(5)</math>

С геометрической точки зрения, этот интеграл представляет собой семейство прямых линий. Если из уравнения <math>(4)</math> найдём <math>p</math> как функцию от <math>x</math>, затем подставим её в уравнение <math>(2)</math>, то получим функцию

<math>y=xp(x)+\psi[p(x)]</math> <math>\longleftrightarrow</math> <math>(6)</math>

Которая, как легко показать, является решением уравнения <math>(1)</math>. Действительно, в силу равенства <math>(4)</math> находим

<math>{dy \over dx}=p+[x+\psi'(p)]{dp \over dx}</math>

Но поскольку <math>[x+ \psi'(p)]{dp \over dx}=0</math>, то <math>{dy \over dx}=p</math>. Поэтому подставляя функцию <math>(6)</math> в уравнение <math>(1)</math>, получаем тождество

<math>xp+\psi(p)=xp+\psi(p)</math>.

Решение <math>(6)</math> не получается из общего интеграла <math>(5)</math> ни при каком значении произвольной постоянной <math>C</math>. Это решение — есть особое решение, которое получается вследствие исключения параметра <math>p</math> из уравнений

<math>y=xp+\psi(p)</math> и <math>x+\psi'(p)=0</math>

или, что без разницы, исключением <math>C</math> из уравнений

<math>y=xC+\psi(C)</math> и <math>x+\psi'(C)=0</math>

Следовательно, особое решение уравнения Клеро определяет огибающую семейства прямых, заданных общим интегралом <math>(5)</math>.

Приложения уравнения Клеро.

К уравнению Клеро приводят геометрические задачи, где требуется определить кривую, по заданному свойству её касательной, причём это свойство должно относится к самой касательной, а не к точке касания. В самом деле, уравнение касательной имеет вид

<math>Y-y = y'(X-x)</math>

или

<math>Y=y'X+(y-xy')</math>

Любое свойство касательной выражается соотношением между <math>(y - xy')</math> и <math>y'</math>:

<math>\Phi(y - xy', y')=0</math>

Решая его относительно <math>(y - xy')</math>, придём к уравнению вида

<math>y=xy'+\psi(y')</math>, то есть ни к чему иному, как к уравнению Клеро.

Литература

В. И. Смирнов «Курс высшей математики», том второй, издательство «Наука», Москва 1974.

Н. С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисление», том второй, издательство «Наука», Москва 1985

К. Н. Лунгу, В. П. Норин и др. «Сборник задач по высшей математике», второй курс, Москва: Айрис-пресс, 2007

См. также

• Дифференциальное уравнение
• Лагранж, Жозеф Луи
• Клеро, Алекси Клод
• Касательная прямая
• Огибающая
• Общее решение дифференциального уравнения
• Частное решение дифференциального уравнения
• Особое решение

Ссылки

• [eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm/ Мир математических уравнений]
• [exponenta.ru/ Образовательный математический сайт «Exponenta.ru»]
• [www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/DIFFERENTSIALNIE_URAVNENIYA.html/ Онлайн энциклопедия «Кругосвет»]
• [gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3531x/f344.table Оригинальный текст Клеро (1734)]

Отрывок, характеризующий Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро

Давно не слышанный этот звук еще радостнее и возбудительное подействовал на Ростова, чем прежние звуки стрельбы. Он, выпрямившись, разглядывал поле сражения, открывавшееся с горы, и всей душой участвовал в движении улан. Уланы близко налетели на французских драгун, что то спуталось там в дыму, и через пять минут уланы понеслись назад не к тому месту, где они стояли, но левее. Между оранжевыми уланами на рыжих лошадях и позади их, большой кучей, видны были синие французские драгуны на серых лошадях.


Ростов своим зорким охотничьим глазом один из первых увидал этих синих французских драгун, преследующих наших улан. Ближе, ближе подвигались расстроенными толпами уланы, и французские драгуны, преследующие их. Уже можно было видеть, как эти, казавшиеся под горой маленькими, люди сталкивались, нагоняли друг друга и махали руками или саблями.
Ростов, как на травлю, смотрел на то, что делалось перед ним. Он чутьем чувствовал, что ежели ударить теперь с гусарами на французских драгун, они не устоят; но ежели ударить, то надо было сейчас, сию минуту, иначе будет уже поздно. Он оглянулся вокруг себя. Ротмистр, стоя подле него, точно так же не спускал глаз с кавалерии внизу.
– Андрей Севастьяныч, – сказал Ростов, – ведь мы их сомнем…
– Лихая бы штука, – сказал ротмистр, – а в самом деле…
Ростов, не дослушав его, толкнул лошадь, выскакал вперед эскадрона, и не успел он еще скомандовать движение, как весь эскадрон, испытывавший то же, что и он, тронулся за ним. Ростов сам не знал, как и почему он это сделал. Все это он сделал, как он делал на охоте, не думая, не соображая. Он видел, что драгуны близко, что они скачут, расстроены; он знал, что они не выдержат, он знал, что была только одна минута, которая не воротится, ежели он упустит ее. Пули так возбудительно визжали и свистели вокруг него, лошадь так горячо просилась вперед, что он не мог выдержать. Он тронул лошадь, скомандовал и в то же мгновение, услыхав за собой звук топота своего развернутого эскадрона, на полных рысях, стал спускаться к драгунам под гору. Едва они сошли под гору, как невольно их аллюр рыси перешел в галоп, становившийся все быстрее и быстрее по мере того, как они приближались к своим уланам и скакавшим за ними французским драгунам. Драгуны были близко. Передние, увидав гусар, стали поворачивать назад, задние приостанавливаться. С чувством, с которым он несся наперерез волку, Ростов, выпустив во весь мах своего донца, скакал наперерез расстроенным рядам французских драгун. Один улан остановился, один пеший припал к земле, чтобы его не раздавили, одна лошадь без седока замешалась с гусарами. Почти все французские драгуны скакали назад. Ростов, выбрав себе одного из них на серой лошади, пустился за ним. По дороге он налетел на куст; добрая лошадь перенесла его через него, и, едва справясь на седле, Николай увидал, что он через несколько мгновений догонит того неприятеля, которого он выбрал своей целью. Француз этот, вероятно, офицер – по его мундиру, согнувшись, скакал на своей серой лошади, саблей подгоняя ее. Через мгновенье лошадь Ростова ударила грудью в зад лошади офицера, чуть не сбила ее с ног, и в то же мгновенье Ростов, сам не зная зачем, поднял саблю и ударил ею по французу.
В то же мгновение, как он сделал это, все оживление Ростова вдруг исчезло. Офицер упал не столько от удара саблей, который только слегка разрезал ему руку выше локтя, сколько от толчка лошади и от страха. Ростов, сдержав лошадь, отыскивал глазами своего врага, чтобы увидать, кого он победил. Драгунский французский офицер одной ногой прыгал на земле, другой зацепился в стремени. Он, испуганно щурясь, как будто ожидая всякую секунду нового удара, сморщившись, с выражением ужаса взглянул снизу вверх на Ростова. Лицо его, бледное и забрызганное грязью, белокурое, молодое, с дырочкой на подбородке и светлыми голубыми глазами, было самое не для поля сражения, не вражеское лицо, а самое простое комнатное лицо. Еще прежде, чем Ростов решил, что он с ним будет делать, офицер закричал: «Je me rends!» [Сдаюсь!] Он, торопясь, хотел и не мог выпутать из стремени ногу и, не спуская испуганных голубых глаз, смотрел на Ростова. Подскочившие гусары выпростали ему ногу и посадили его на седло. Гусары с разных сторон возились с драгунами: один был ранен, но, с лицом в крови, не давал своей лошади; другой, обняв гусара, сидел на крупе его лошади; третий взлеаал, поддерживаемый гусаром, на его лошадь. Впереди бежала, стреляя, французская пехота. Гусары торопливо поскакали назад с своими пленными. Ростов скакал назад с другими, испытывая какое то неприятное чувство, сжимавшее ему сердце. Что то неясное, запутанное, чего он никак не мог объяснить себе, открылось ему взятием в плен этого офицера и тем ударом, который он нанес ему.
Граф Остерман Толстой встретил возвращавшихся гусар, подозвал Ростова, благодарил его и сказал, что он представит государю о его молодецком поступке и будет просить для него Георгиевский крест. Когда Ростова потребовали к графу Остерману, он, вспомнив о том, что атака его была начата без приказанья, был вполне убежден, что начальник требует его для того, чтобы наказать его за самовольный поступок. Поэтому лестные слова Остермана и обещание награды должны бы были тем радостнее поразить Ростова; но все то же неприятное, неясное чувство нравственно тошнило ему. «Да что бишь меня мучает? – спросил он себя, отъезжая от генерала. – Ильин? Нет, он цел. Осрамился я чем нибудь? Нет. Все не то! – Что то другое мучило его, как раскаяние. – Да, да, этот французский офицер с дырочкой. И я хорошо помню, как рука моя остановилась, когда я поднял ее».
Ростов увидал отвозимых пленных и поскакал за ними, чтобы посмотреть своего француза с дырочкой на подбородке. Он в своем странном мундире сидел на заводной гусарской лошади и беспокойно оглядывался вокруг себя. Рана его на руке была почти не рана. Он притворно улыбнулся Ростову и помахал ему рукой, в виде приветствия. Ростову все так же было неловко и чего то совестно.