Идемпотентность

Идемпоте́нтность — свойство объекта или операции при повторном применении операции к объекту давать тот же результат, что и при одинарном. Термин предложил американский математик Бенджамин Пирс (англ. Benjamin Peirce) в статьях 1870-х годов. Пирс получил термин путём комбинации двух латинских слов: «idem» («тот же самый») и «potens» («способный»).

Примеры идемпотентных операций:

• сложение с нулём: <math>a = a + 0 = (a+0) + 0 = ((a+0)+0) + 0 = ...;</math>
• умножение на единицу: <math>x = x * 1 = (x*1) * 1 = ( (x*1) * 1 ) * 1 = ...;</math>
• модуль числа: <math>|x| = | (|x|) | = | ( | (|x|) | ) | = ...;</math>
• поиск максимального значения: <math>\max(x,y) = \max( \max(x,y), y ) = \max( x, \max(x,y) );</math>
• вычисление наибольшего общего делителя: <math>\operatorname{gcd}(x,y) = \operatorname{gcd}( \operatorname{gcd}(x,y), y ) = \operatorname{gcd}( x, \operatorname{gcd}(x,y) );</math>
• сложение по модулю 2 с нулём: <math>a = a \oplus 0 = ( a \oplus 0 ) \oplus 0 = ...;</math>
• нахождение остатка от деления: <math>r = a\mod b = ( a\mod b )\mod b = ....</math>

Элемент

Идемпотентный элемент (идемпотент) в алгебре — элемент полугруппы, сохраняющийся при умножении самого на себя: <math>e^2=e.</math> Теорема об идемпотенте гласит: в конечной полугруппе есть идемпотент.

Идемпотентный элемент <math>e</math> содержит идемпотентный элемент <math>f</math> (обозначается <math>e\geqslant f</math>), если <math>ef=e=fe.</math> Отношение <math>\geqslant</math> является отношением частичного порядка в множестве <math>E</math> идемпотентных элементов и называется естественным частичным порядком на множестве <math>E.</math>

Два идемпотентных элемента ассоциативного кольца (которое будет полугруппой по умножению) <math>u</math> и <math>v</math> называются ортогональными, если <math>u v = 0 = v u.</math>

Операция

В математике

Идемпотентная бинарная операция в математике — операция, относительно которой всякий элемент обладает идемпотентностью в вышеназванном смысле:

<math>\forall x: \quad x \cdot x = x \!.</math>

Этим свойством обладают, например, логическое И и логическое ИЛИ.

Идемпотентная унарная операция — операция, для которой выполняется

<math>\forall x: f(f(x)) = f(x)</math>, или <math>f \circ f = f.</math>

Из линейных операторов в <math>\mathbb{R}^n</math> идемпотентны только тождественный оператор, нулевой оператор и параллельная проекция. Поэтому проектор в алгебре — в том числе в бесконечномерных пространствах — определяется как <math>P \circ P = P.</math>

В информатике

Идемпотентная операция в информатике — действие, многократное повторение которого эквивалентно однократному.

Примером такой операции могут служить GET-запросы в протоколе HTTP. По спецификации, сервер должен возвращать одни и те же ответы на идентичные запросы (при условии, что ресурс не изменился между ними по иным причинам). Такая особенность позволяет кэшировать ответы, снижая нагрузку на сеть.

Для препроцессора языка C директива «#include "xxx.h"» является идемпотентной, если в заголовочном файле есть защита от двойного включения.

Литература

• Peirce B. [www.math.harvard.edu/history/peirce_algebra/index.html Linear Associative Algebra]. 1870.
• Gunawardena, Jeremy (1998), [www.hpl.hp.com/techreports/96/HPL-BRIMS-96-24.pdf "An introduction to idempotency"], in Gunawardena, Jeremy, Idempotency. Based on a workshop, Bristol, UK, October 3–7, 1994, Cambridge: Cambridge University Press, сс. 1–49, <www.hpl.hp.com/techreports/96/HPL-BRIMS-96-24.pdf> 
• [www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Idempotent&oldid=13382 Idempotent]. Encyclopedia of Mathematics. Springer (Translation of Soviet Mat. Enc.).
• Иванова О. А. Идемпотент // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

Отрывок, характеризующий Идемпотентность

– Я читал наш протест об Ольденбургском деле и удивлялся плохой редакции этой ноты, – сказал граф Ростопчин, небрежным тоном человека, судящего о деле ему хорошо знакомом.
Пьер с наивным удивлением посмотрел на Ростопчина, не понимая, почему его беспокоила плохая редакция ноты.
– Разве не всё равно, как написана нота, граф? – сказал он, – ежели содержание ее сильно.
– Mon cher, avec nos 500 mille hommes de troupes, il serait facile d'avoir un beau style, [Мой милый, с нашими 500 ми тысячами войска легко, кажется, выражаться хорошим слогом,] – сказал граф Ростопчин. Пьер понял, почему графа Ростопчина беспокоила pедакция ноты.
– Кажется, писак довольно развелось, – сказал старый князь: – там в Петербурге всё пишут, не только ноты, – новые законы всё пишут. Мой Андрюша там для России целый волюм законов написал. Нынче всё пишут! – И он неестественно засмеялся.
Разговор замолк на минуту; старый генерал прокашливаньем обратил на себя внимание.
– Изволили слышать о последнем событии на смотру в Петербурге? как себя новый французский посланник показал!
– Что? Да, я слышал что то; он что то неловко сказал при Его Величестве.
– Его Величество обратил его внимание на гренадерскую дивизию и церемониальный марш, – продолжал генерал, – и будто посланник никакого внимания не обратил и будто позволил себе сказать, что мы у себя во Франции на такие пустяки не обращаем внимания. Государь ничего не изволил сказать. На следующем смотру, говорят, государь ни разу не изволил обратиться к нему.
Все замолчали: на этот факт, относившийся лично до государя, нельзя было заявлять никакого суждения.
– Дерзки! – сказал князь. – Знаете Метивье? Я нынче выгнал его от себя. Он здесь был, пустили ко мне, как я ни просил никого не пускать, – сказал князь, сердито взглянув на дочь. И он рассказал весь свой разговор с французским доктором и причины, почему он убедился, что Метивье шпион. Хотя причины эти были очень недостаточны и не ясны, никто не возражал.
За жарким подали шампанское. Гости встали с своих мест, поздравляя старого князя. Княжна Марья тоже подошла к нему.
Он взглянул на нее холодным, злым взглядом и подставил ей сморщенную, выбритую щеку. Всё выражение его лица говорило ей, что утренний разговор им не забыт, что решенье его осталось в прежней силе, и что только благодаря присутствию гостей он не говорит ей этого теперь.
Когда вышли в гостиную к кофе, старики сели вместе.
Князь Николай Андреич более оживился и высказал свой образ мыслей насчет предстоящей войны.
Он сказал, что войны наши с Бонапартом до тех пор будут несчастливы, пока мы будем искать союзов с немцами и будем соваться в европейские дела, в которые нас втянул Тильзитский мир. Нам ни за Австрию, ни против Австрии не надо было воевать. Наша политика вся на востоке, а в отношении Бонапарта одно – вооружение на границе и твердость в политике, и никогда он не посмеет переступить русскую границу, как в седьмом году.
– И где нам, князь, воевать с французами! – сказал граф Ростопчин. – Разве мы против наших учителей и богов можем ополчиться? Посмотрите на нашу молодежь, посмотрите на наших барынь. Наши боги – французы, наше царство небесное – Париж.
Он стал говорить громче, очевидно для того, чтобы его слышали все. – Костюмы французские, мысли французские, чувства французские! Вы вот Метивье в зашей выгнали, потому что он француз и негодяй, а наши барыни за ним ползком ползают. Вчера я на вечере был, так из пяти барынь три католички и, по разрешенью папы, в воскресенье по канве шьют. А сами чуть не голые сидят, как вывески торговых бань, с позволенья сказать. Эх, поглядишь на нашу молодежь, князь, взял бы старую дубину Петра Великого из кунсткамеры, да по русски бы обломал бока, вся бы дурь соскочила!