Мнемоническое правило Непера

Мнемоническое правило Непера — форма записи основных соотношений в прямоугольном сферическом треугольнике, лёгкая для запоминания.

Формулировка и обоснование правила

Формулировка

Мнемоническое правило Непера можно сформулировать так:

Для трёх смежных элементов прямоугольного сферического треугольника косинус среднего элемента равен произведению котангенсов соседних, а для трёх несмежных элементов косинус элемента, расположенного отдельно от других двух, равен произведению их синусов. При этом вместо катетов берутся их дополнения до 90 градусов, а прямой угол вообще не считается элементом.

Два примера:

<math>\cos B = \mathrm{ctg}\, \overline{a} \,\mathrm{ctg}\, c = \mathrm{ctg}\, (90^\circ - a) \mathrm{ctg}\, c = \frac {\mathrm{tg}\, a}{\mathrm{tg}\, c}</math>

<math>\cos B = \sin \overline{b} \sin A = \sin (90^\circ - b) \sin A = \cos b \sin A</math>

Чтобы правило было удобнее применять, рисуют круг, делят его радиусами на пять частей и записывают в них все элементы прямоугольного сферического треугольника за исключением прямого угла в той последовательности, в которой они расположены в треугольнике. Каждый катет помечают горизонтальной чертой над ним или апострофом рядом с ним — знак дополнения катета до 90 градусов. На круге нетрудно найти нужные три элемента и применить к ним мнемоническое правило.

Обоснование  

Докажем одну формулу для трёх смежных элементов прямоугольного сферического треугольника и одну формулу для двух смежных и одного отдельного элемента, а затем для обоснования мнемонического правила Непера (а одновременно — и доказательства самих формул), дающего все десять таких формул для прямоугольного сферического треугольника, применим к этим двум формулам, следуя Ламберту, звёздчатый пятиугольник.

Возьмём два катета a и b (смежные элементы) и гипотенузу c (отдельный элемент). Их связывает сферическая теорема Пифагора, которая доказывается в статье о ней. Поэтому здесь доказывать в этом случае практически ничего не надо. Заметим лишь, что

<math> \cos c = \cos a \cos b = \sin (90^\circ - a) \sin (90^\circ - b) = \sin \overline{a} \sin \overline{b},</math>

то есть для этих трёх элементов мнемоническое правило Непера справедливо. Выведем теперь формулу для трёх смежных элементов. Возьмём гипотенузу c, катет a и угол B. Как и в доказательстве сферической теоремы Пифагора, рассмотрим трёхгранный угол OA₁B₁C₁ со сторонами (лучами) OA₁, OB₁, OC₁ и вершиной в точке O, соответствующий данному прямоугольному сферическому треугольнику ABC. Заметим, что

<math>\frac {A_1B_1}{B_1O} = \mathrm{tg}\, \angle A_1OB_1 = \mathrm{tg}\, c,</math>

<math>\frac {C_1B_1}{B_1O} = \mathrm{tg}\, \angle B_1OC_1 = \mathrm{tg}\, a,</math>

<math>\frac {C_1B_1}{A_1B_1} = \cos \angle A_1B_1C_1 = \cos B.</math>

Отсюда

<math> \mathrm{tg}\, a = \frac {C_1B_1}{B_1O} = \frac {A_1B_1}{B_1O} \cdot \frac {C_1B_1}{A_1B_1} = \mathrm{tg}\, c \cos B,</math>

<math> \cos B = \frac {\mathrm{tg}\, a}{\mathrm{tg}\, c} = \mathrm{ctg}\, (90^\circ-a) \mathrm{ctg}\, c = \mathrm{ctg}\, \overline{a} \,\mathrm{ctg}\, c,</math>

то есть и для этих трёх элементов мнемоническое правило Непера справедливо. Обе формулы доказаны. Остаётся применить звёздчатый пятиугольник.

На рисунке дополнения элементов до 90 градусов обозначены апострофами. Строится этот звездчатый пятиугольник следующим образом. На сфере чертится данный сферический треугольник ABC, его вершины A и B — первые две вершины пятиугольника. Далее проводим поляры точек A и B, точка их пересечения, лежащая по другую сторону гипотенузы c от вершины C будет третьей вершиной пятиугольника, а две точки пересечения этих поляр с продолжениями сторон a и b будут остальными двумя вершинами пятиугольника. Продолжения сторон пятиугольника, пересекаясь образуют пять сферических треугольников. Нетрудно видеть, что каждая вершина пятиугольника является полюсом для его противоположной стороны. Поэтому все пять сферических треугольников будут прямоугольными. Отсюда же получаются и величины всех их элементов, обозначенные на рисунке.

Для сферического треугольника ABC выше доказаны две формулы мнемонического правила Непера. Элементы каждого следующего по часовой стрелке прямоугольного сферического треугольника соответствуют элементам предыдущего, повернутым на 2/5 полного оборота, или их дополнениям до 90 градусов. Поэтому, последовательно применяя к соответствующим элементам каждого треугольника полученные две формулы, получаем все 10 формул и такую же форму мнемонического правила Непера для всех из них.

История

Мнемоническое правило Непера названо по имени Джона Непера, который опубликовал его в своём известном сочинении «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614), причём он его привёл в качестве демонстрации применения определённого им в этом труде нового математического понятия логарифм, и обе части равенства в мнемоническом правиле у Непера прологарифмированы. Изящное и наглядное математическое обоснование мнемонического правила Непера с помощью звёздчатого пятиугольника было дано Иоганном Ламбертом в его труде «Дополнения к применению математики и их приложения», увидевшем свет в 1765 году. Позднее звёздчатый пятиугольник на сфере был использован Карлом Гауссом для обоснования этих же (вероятно, он не читал об этом в труде Ламберта) и других свойств, Гаусс назвал его «замечательной пентаграммой» (лат. pentagramma mirificum).

Обоснование при помощи звёздчатого пятиугольника соотношений в прямоугольном сферическом треугольнике оказалось в некоторой степени универсальным методом: Николай Лобачевский использовал последовательность из пяти прямоугольных треугольников для вывода зависимости между элементами прямоугольного треугольника в исследованном им пространстве, впоследствии индийский математик С. Мукопадиайа связал эту последовательность с пятиугольником в том же пространстве, а ещё позднее русский математик Александр Норден установил связь звездчатого пятиугольника на сфере с упомянутым пятиугольником в пространстве Лобачевского.

Отрывок, характеризующий Мнемоническое правило Непера

– Нет, кажется, на днях состоится продажа, – сказал кто то. – Хотя теперь и безумно покупать что нибудь в Москве.
– Отчего? – сказала Жюли. – Неужели вы думаете, что есть опасность для Москвы?
– Отчего же вы едете?
– Я? Вот странно. Я еду, потому… ну потому, что все едут, и потом я не Иоанна д'Арк и не амазонка.
– Ну, да, да, дайте мне еще тряпочек.
– Ежели он сумеет повести дела, он может заплатить все долги, – продолжал ополченец про Ростова.
– Добрый старик, но очень pauvre sire [плох]. И зачем они живут тут так долго? Они давно хотели ехать в деревню. Натали, кажется, здорова теперь? – хитро улыбаясь, спросила Жюли у Пьера.
– Они ждут меньшого сына, – сказал Пьер. – Он поступил в казаки Оболенского и поехал в Белую Церковь. Там формируется полк. А теперь они перевели его в мой полк и ждут каждый день. Граф давно хотел ехать, но графиня ни за что не согласна выехать из Москвы, пока не приедет сын.
– Я их третьего дня видела у Архаровых. Натали опять похорошела и повеселела. Она пела один романс. Как все легко проходит у некоторых людей!
– Что проходит? – недовольно спросил Пьер. Жюли улыбнулась.
– Вы знаете, граф, что такие рыцари, как вы, бывают только в романах madame Suza.
– Какой рыцарь? Отчего? – краснея, спросил Пьер.
– Ну, полноте, милый граф, c'est la fable de tout Moscou. Je vous admire, ma parole d'honneur. [это вся Москва знает. Право, я вам удивляюсь.]
– Штраф! Штраф! – сказал ополченец.
– Ну, хорошо. Нельзя говорить, как скучно!
– Qu'est ce qui est la fable de tout Moscou? [Что знает вся Москва?] – вставая, сказал сердито Пьер.
– Полноте, граф. Вы знаете!
– Ничего не знаю, – сказал Пьер.
– Я знаю, что вы дружны были с Натали, и потому… Нет, я всегда дружнее с Верой. Cette chere Vera! [Эта милая Вера!]
– Non, madame, [Нет, сударыня.] – продолжал Пьер недовольным тоном. – Я вовсе не взял на себя роль рыцаря Ростовой, и я уже почти месяц не был у них. Но я не понимаю жестокость…
– Qui s'excuse – s'accuse, [Кто извиняется, тот обвиняет себя.] – улыбаясь и махая корпией, говорила Жюли и, чтобы за ней осталось последнее слово, сейчас же переменила разговор. – Каково, я нынче узнала: бедная Мари Волконская приехала вчера в Москву. Вы слышали, она потеряла отца?
– Неужели! Где она? Я бы очень желал увидать ее, – сказал Пьер.
– Я вчера провела с ней вечер. Она нынче или завтра утром едет в подмосковную с племянником.
– Ну что она, как? – сказал Пьер.
– Ничего, грустна. Но знаете, кто ее спас? Это целый роман. Nicolas Ростов. Ее окружили, хотели убить, ранили ее людей. Он бросился и спас ее…
– Еще роман, – сказал ополченец. – Решительно это общее бегство сделано, чтобы все старые невесты шли замуж. Catiche – одна, княжна Болконская – другая.
– Вы знаете, что я в самом деле думаю, что она un petit peu amoureuse du jeune homme. [немножечко влюблена в молодого человека.]
– Штраф! Штраф! Штраф!
– Но как же это по русски сказать?..


Когда Пьер вернулся домой, ему подали две принесенные в этот день афиши Растопчина.
В первой говорилось о том, что слух, будто графом Растопчиным запрещен выезд из Москвы, – несправедлив и что, напротив, граф Растопчин рад, что из Москвы уезжают барыни и купеческие жены. «Меньше страху, меньше новостей, – говорилось в афише, – но я жизнью отвечаю, что злодей в Москве не будет». Эти слова в первый раз ясно ыоказали Пьеру, что французы будут в Москве. Во второй афише говорилось, что главная квартира наша в Вязьме, что граф Витгснштейн победил французов, но что так как многие жители желают вооружиться, то для них есть приготовленное в арсенале оружие: сабли, пистолеты, ружья, которые жители могут получать по дешевой цене. Тон афиш был уже не такой шутливый, как в прежних чигиринских разговорах. Пьер задумался над этими афишами. Очевидно, та страшная грозовая туча, которую он призывал всеми силами своей души и которая вместе с тем возбуждала в нем невольный ужас, – очевидно, туча эта приближалась.
«Поступить в военную службу и ехать в армию или дожидаться? – в сотый раз задавал себе Пьер этот вопрос. Он взял колоду карт, лежавших у него на столе, и стал делать пасьянс.
– Ежели выйдет этот пасьянс, – говорил он сам себе, смешав колоду, держа ее в руке и глядя вверх, – ежели выйдет, то значит… что значит?.. – Он не успел решить, что значит, как за дверью кабинета послышался голос старшей княжны, спрашивающей, можно ли войти.
– Тогда будет значить, что я должен ехать в армию, – договорил себе Пьер. – Войдите, войдите, – прибавил он, обращаясь к княжие.
(Одна старшая княжна, с длинной талией и окаменелым лидом, продолжала жить в доме Пьера; две меньшие вышли замуж.)
– Простите, mon cousin, что я пришла к вам, – сказала она укоризненно взволнованным голосом. – Ведь надо наконец на что нибудь решиться! Что ж это будет такое? Все выехали из Москвы, и народ бунтует. Что ж мы остаемся?
– Напротив, все, кажется, благополучно, ma cousine, – сказал Пьер с тою привычкой шутливости, которую Пьер, всегда конфузно переносивший свою роль благодетеля перед княжною, усвоил себе в отношении к ней.
– Да, это благополучно… хорошо благополучие! Мне нынче Варвара Ивановна порассказала, как войска наши отличаются. Уж точно можно чести приписать. Да и народ совсем взбунтовался, слушать перестают; девка моя и та грубить стала. Этак скоро и нас бить станут. По улицам ходить нельзя. А главное, нынче завтра французы будут, что ж нам ждать! Я об одном прошу, mon cousin, – сказала княжна, – прикажите свезти меня в Петербург: какая я ни есть, а я под бонапартовской властью жить не могу.
– Да полноте, ma cousine, откуда вы почерпаете ваши сведения? Напротив…
– Я вашему Наполеону не покорюсь. Другие как хотят… Ежели вы не хотите этого сделать…
– Да я сделаю, я сейчас прикажу.
Княжне, видимо, досадно было, что не на кого было сердиться. Она, что то шепча, присела на стул.
– Но вам это неправильно доносят, – сказал Пьер. – В городе все тихо, и опасности никакой нет. Вот я сейчас читал… – Пьер показал княжне афишки. – Граф пишет, что он жизнью отвечает, что неприятель не будет в Москве.
– Ах, этот ваш граф, – с злобой заговорила княжна, – это лицемер, злодей, который сам настроил народ бунтовать. Разве не он писал в этих дурацких афишах, что какой бы там ни был, тащи его за хохол на съезжую (и как глупо)! Кто возьмет, говорит, тому и честь и слава. Вот и долюбезничался. Варвара Ивановна говорила, что чуть не убил народ ее за то, что она по французски заговорила…