Порядок величины

Порядок величины — класс эквивалентности <math>\mathcal{C}_n</math> величин (или шкал) <math>\mathcal{C}_n=\lbrace{}x_n\rbrace</math>, выражающих некоторые количества, в рамках которого все величины имеют фиксированное отношение <math>r=\frac{x_n}{x_{n-1}}</math> к соответствующим величинам предыдущего класса.

Чаще под порядком подразумевают не сам класс эквивалентности <math>\mathcal{C}_n</math> а некоторую его числовую характеристику, задающую этот класс при данных условиях (например, порядковый номер класса <math>n</math> при условии что некоторый класс <math>\mathcal{C}_0</math> был задан или подразумевается).

Порядок числа

При работе с числами, представленными в некоторой системе счисления по основанию <math>b</math>, чаще всего принимают <math>r=b</math> и <math>1\in\mathcal{C}_1</math>, <math>b\in\mathcal{C}_2</math>. При этом <math>n</math> совпадает с количеством цифр в числе, если его записать в позиционной системе счисления.

Например для десятичной системы счисления в этом случае каждая декада положительных чисел будет принадлежать только одному порядку:

• <math>\mathcal{C}_1\supset\lbrace{}1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\rbrace</math>
• <math>\mathcal{C}_2\supset\lbrace{}10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90\rbrace</math>
• <math>\mathcal{C}_3\supset\lbrace{}100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900\rbrace</math>

Аналогичным образом можно определить порядки чисел и для других оснований системы счисления. Чаще других рассматривают

• порядки чисел по основанию <math>b=10</math>,
• порядки чисел по основанию <math>b=2</math>
• порядки чисел по основанию <math>b=e</math>.

Порядок чисел в естественном языке

В естественных языках встречаются выражения вроде «на порядок больше», «на много порядков больше», «на пару порядков меньше». В большинстве случаев подразумеваются десятичные порядки, то есть эти выражения можно прочитать как «примерно в десять раз больше», «примерно в <math>10^n</math> раз больше, где <math>n</math> — достаточно велика», «примерно в 100 раз меньше».

Порядок чисел и логарифмическая функция

Соответствующие числа, принадлежащие смежным порядкам <math>\mathcal{C}_{n},\mathcal{C}_{n+1},\mathcal{C}_{n+2},\ldots,\mathcal{C}_{n+d}</math> могут быть записаны как <math>x, rx, r^2x,\ldots,r^rx</math>, где <math>x\in\mathcal{C}_{n}</math> — первое из чисел. Это свойство определяет связь понятия порядка числа с показательной и обратной к ней логарифмической функцией.

В частности при помощи понятия логарифмической функции может быть сформулировано необходимое условие принадлежности чисел к одному порядку: Пусть на множестве положительных чисел задано какое-то разбиение на порядки. Если два числа принадлежат одному порядку, то <math>\left|\log_r\frac{x_1}{x_2}\right| < 1</math>.

Доказательство

Действительно, пусть числа <math>m\in\mathcal{C}_n</math> и <math>M\in\mathcal{C}_n</math> являются минимальным и максимальным числом, принадлежащим порядку <math>\mathcal{C}_n</math>. Если число <math>x\in\mathcal{C}_n</math> так же принадлежит порядку <math>\mathcal{C}_n</math>, то его значение должно удовлетворять условию <math>m\leq x\leq M</math>. В то же время числа <math>rm</math> и <math>\frac{1}{r}M</math> принадлежат смежным с порядком <math>\mathcal{C}_n</math> порядкам <math>\mathcal{C}_{n+1}</math> и <math>\mathcal{C}_{n-1}</math> соответственно. Из этого следует, что для любого числа <math>x</math> в данном порядке выполняется соотношение <math>\frac{1}{r}M < m\leq x\leq M < rm</math>.

Пусть два числа <math>x_1</math> и <math>x_2</math> принадлежат данному порядку <math>\mathcal{C}_n</math>. Тогда <math>-1=\log_r\frac{m}{rm} < \log_r\frac{x_1}{x_2} < \log_r\frac{M}{\frac{1}{r}M}=1</math>.

Разность порядков

Если два числа <math>x_1</math> и <math>x_2</math> принадлежат порядкам <math>x_1\in\mathcal{C}_{n_1}</math> и <math>x_2\in\mathcal{C}_{n_2}</math> в некотором разбиении положительных чисел на порядки, то значение <math>d=d(x_1, x_2)=n_2-n_1</math> иногда называют разностью порядков этих этих чисел.

Для двух чисел <math>x_1</math> и <math>x_2</math> разность их порядков может быть найдена как <math>d = \left\lfloor\log_r\frac{x_2}{x_1}\right\rfloor</math> при <math>x_2 \geq x_1</math>.

Доказательство

Выберем число <math>x_2^\mathord{*}\in\mathcal{C}_{n_1}</math> принадлежащее порядку <math>\mathcal{C}_{n_1}</math> и соответствующее числу <math>x_2</math> из порядка <math>\mathcal{C}_{n_2}</math>. По определению порядка существует такое целое <math>d</math>, что <math>x_2^\mathord{*}=r^{-d}x_2</math>. Получаем, что <math>\log_r\frac{x_2}{x_1}=\log_r\frac{r^dx_2^\mathord{*}}{x_1} = d + \log_r\frac{x_2^\mathord{*}}{x_1}</math>.

Числа <math>x_1</math> и <math>x_2^\mathord{*}</math> принадлежат одному порядку и потому <math>\log_r\frac{x_2^\mathord{*}}{x_1} < 1</math>. В то же время число <math>d</math> является целым, а значит <math>d=\left\lfloor{}d\right\rfloor = \left\lfloor{}d + \log_r\frac{x_2^\mathord{*}}{x_1}\right\rfloor = \left\lfloor\log_r\frac{x_2}{x_1}\right\rfloor</math>.

В случае <math>x_2 \leq x_1</math> разность порядков иногда берут с отрицательным знаком <math>d(x_1, x_2) = -d(x_2, x_1)</math>.

Равенство разности порядков нулю является необходимым и достаточным условием того, что числа принадлежат к одному порядку.

Обобщение разности порядков

Иногда понятие разности порядков обобщают, снимая требование принадлежности к классу целых чисел и определяя её через выражение <math>d = \log_r\frac{x_2}{x_1}</math>.

В такой интерпретации смысл приобретают выражения вроде «числа <math>x_1</math> и <math>x_2</math> различаются не более чем на пол порядка» то есть <math>\left|\log_r\frac{x_2}{x_1}\right|\leq \frac{1}{2}</math> или <math>\frac{1}{\sqrt{r}}x_1\leq x_2\leq \sqrt{r}x_1</math>.

См. также

• Экспоненциальная запись

Отрывок, характеризующий Порядок величины

«Любовь? Что такое любовь? – думал он. – Любовь мешает смерти. Любовь есть жизнь. Все, все, что я понимаю, я понимаю только потому, что люблю. Все есть, все существует только потому, что я люблю. Все связано одною ею. Любовь есть бог, и умереть – значит мне, частице любви, вернуться к общему и вечному источнику». Мысли эти показались ему утешительны. Но это были только мысли. Чего то недоставало в них, что то было односторонне личное, умственное – не было очевидности. И было то же беспокойство и неясность. Он заснул.
Он видел во сне, что он лежит в той же комнате, в которой он лежал в действительности, но что он не ранен, а здоров. Много разных лиц, ничтожных, равнодушных, являются перед князем Андреем. Он говорит с ними, спорит о чем то ненужном. Они сбираются ехать куда то. Князь Андрей смутно припоминает, что все это ничтожно и что у него есть другие, важнейшие заботы, но продолжает говорить, удивляя их, какие то пустые, остроумные слова. Понемногу, незаметно все эти лица начинают исчезать, и все заменяется одним вопросом о затворенной двери. Он встает и идет к двери, чтобы задвинуть задвижку и запереть ее. Оттого, что он успеет или не успеет запереть ее, зависит все. Он идет, спешит, ноги его не двигаются, и он знает, что не успеет запереть дверь, но все таки болезненно напрягает все свои силы. И мучительный страх охватывает его. И этот страх есть страх смерти: за дверью стоит оно. Но в то же время как он бессильно неловко подползает к двери, это что то ужасное, с другой стороны уже, надавливая, ломится в нее. Что то не человеческое – смерть – ломится в дверь, и надо удержать ее. Он ухватывается за дверь, напрягает последние усилия – запереть уже нельзя – хоть удержать ее; но силы его слабы, неловки, и, надавливаемая ужасным, дверь отворяется и опять затворяется.
Еще раз оно надавило оттуда. Последние, сверхъестественные усилия тщетны, и обе половинки отворились беззвучно. Оно вошло, и оно есть смерть. И князь Андрей умер.
Но в то же мгновение, как он умер, князь Андрей вспомнил, что он спит, и в то же мгновение, как он умер, он, сделав над собою усилие, проснулся.
«Да, это была смерть. Я умер – я проснулся. Да, смерть – пробуждение!» – вдруг просветлело в его душе, и завеса, скрывавшая до сих пор неведомое, была приподнята перед его душевным взором. Он почувствовал как бы освобождение прежде связанной в нем силы и ту странную легкость, которая с тех пор не оставляла его.
Когда он, очнувшись в холодном поту, зашевелился на диване, Наташа подошла к нему и спросила, что с ним. Он не ответил ей и, не понимая ее, посмотрел на нее странным взглядом.
Это то было то, что случилось с ним за два дня до приезда княжны Марьи. С этого же дня, как говорил доктор, изнурительная лихорадка приняла дурной характер, но Наташа не интересовалась тем, что говорил доктор: она видела эти страшные, более для нее несомненные, нравственные признаки.
С этого дня началось для князя Андрея вместе с пробуждением от сна – пробуждение от жизни. И относительно продолжительности жизни оно не казалось ему более медленно, чем пробуждение от сна относительно продолжительности сновидения.

Ничего не было страшного и резкого в этом, относительно медленном, пробуждении.
Последние дни и часы его прошли обыкновенно и просто. И княжна Марья и Наташа, не отходившие от него, чувствовали это. Они не плакали, не содрогались и последнее время, сами чувствуя это, ходили уже не за ним (его уже не было, он ушел от них), а за самым близким воспоминанием о нем – за его телом. Чувства обеих были так сильны, что на них не действовала внешняя, страшная сторона смерти, и они не находили нужным растравлять свое горе. Они не плакали ни при нем, ни без него, но и никогда не говорили про него между собой. Они чувствовали, что не могли выразить словами того, что они понимали.
Они обе видели, как он глубже и глубже, медленно и спокойно, опускался от них куда то туда, и обе знали, что это так должно быть и что это хорошо.
Его исповедовали, причастили; все приходили к нему прощаться. Когда ему привели сына, он приложил к нему свои губы и отвернулся, не потому, чтобы ему было тяжело или жалко (княжна Марья и Наташа понимали это), но только потому, что он полагал, что это все, что от него требовали; но когда ему сказали, чтобы он благословил его, он исполнил требуемое и оглянулся, как будто спрашивая, не нужно ли еще что нибудь сделать.
Когда происходили последние содрогания тела, оставляемого духом, княжна Марья и Наташа были тут.
– Кончилось?! – сказала княжна Марья, после того как тело его уже несколько минут неподвижно, холодея, лежало перед ними. Наташа подошла, взглянула в мертвые глаза и поспешила закрыть их. Она закрыла их и не поцеловала их, а приложилась к тому, что было ближайшим воспоминанием о нем.