Случайный элемент

Случайный элемент — обобщение понятия случайной величины. Термин был введён, по-видимому, М.Фреше (1948), отмечавшим, что «развитие теории вероятностей и расширение области её приложений привели к необходимости перейти от схем, где (случайные) исходы опыта могут быть описаны числом или конечным набором чисел, к схемам, где исходы опыта представляют собой, например, векторы, функции, процессы, поля, ряды, преобразования, а также множества или наборы множеств».

Определение

Пусть <math>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})</math> — вероятностное, а <math>(E,\mathcal{E})</math> — измеримое пространство. Тогда измеримая функция <math>X : (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) \to (E,\mathcal{E})</math> называется случайным элементом (со значениями в <math>E</math>) или <math>E</math>-значной случайной величиной.

Примеры случайных элементов

Если <math>(E, \mathcal{E})=(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))</math>, где <math>\mathbb{R}</math> — числовая ось, а <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math> — борелевская <math>\sigma</math>-алгебра её подмножеств, то определение С.э. совпадает с определением случайной величины.

Определение С.э. <math>X</math> в банаховом пространстве <math>B</math>, напоминает определение случайной величины. Пусть <math>B^*</math> — сопряжённое к <math>B</math> пространство. Отображение <math>X=X(\omega)</math> пространства <math>\Omega</math> элементарных событий <math>\omega</math> в <math>B</math> называется случайным элементом, если всякий непрерывный линейный функционал <math>X^*(X(\omega))</math> оказывается при этом случайной величиной. На С.э. в банаховом пространстве могут быть распространены основные понятия теории вероятностей, такие, как характеристическая функция, математическое ожидание, ковариация и т. п.

Для С.э. со значениями в произвольных пространствах некоторые основные понятия теории вероятностей не могут быть определены. Например, невозможно определить классическое понятие математического ожидания для С.э., пространство значений которого не является линейным (Случайное конечное абстрактное множество, случайное множество событий). В таких ситуациях обычно используются те или иные аналоги классических понятий (Среднемерное множество).

Случайные элементы различной природы

• Случайная величина
• Дискретная случайная величина
• Непрерывная случайная величина
• Комплексная случайная величина
• Простая случайная величина
• Случайный вектор
• Случайная матрица
• Случайная функция
• Случайный процесс
• Случайное поле
• Случайная мера
• Случайное множество
• Случайное замкнутое множество
• Случайное компактное множество
• Случайная «точка»
• Случайная фигура
• Случайная форма
• Случайное конечное множество
• Случайное конечное абстрактное множество
• Случайное множество событий

Литература

• Frechet, M. (1948) Les elements aleatories de nature quelconque dans un espace distancie. Ann.Inst.H.Poincare 10, 215—310.
• Ширяев А. Н. (1980) Вероятность. — М.: Наука, 576с.

См. также

• Измеримая функция

Отрывок, характеризующий Случайный элемент

Проговорив эти слова, она подошла к доктору.
– Cher docteur, – сказала она ему, – ce jeune homme est le fils du comte… y a t il de l'espoir? [этот молодой человек – сын графа… Есть ли надежда?]
Доктор молча, быстрым движением возвел кверху глаза и плечи. Анна Михайловна точно таким же движением возвела плечи и глаза, почти закрыв их, вздохнула и отошла от доктора к Пьеру. Она особенно почтительно и нежно грустно обратилась к Пьеру.
– Ayez confiance en Sa misericorde, [Доверьтесь Его милосердию,] – сказала она ему, указав ему диванчик, чтобы сесть подождать ее, сама неслышно направилась к двери, на которую все смотрели, и вслед за чуть слышным звуком этой двери скрылась за нею.
Пьер, решившись во всем повиноваться своей руководительнице, направился к диванчику, который она ему указала. Как только Анна Михайловна скрылась, он заметил, что взгляды всех, бывших в комнате, больше чем с любопытством и с участием устремились на него. Он заметил, что все перешептывались, указывая на него глазами, как будто со страхом и даже с подобострастием. Ему оказывали уважение, какого прежде никогда не оказывали: неизвестная ему дама, которая говорила с духовными лицами, встала с своего места и предложила ему сесть, адъютант поднял уроненную Пьером перчатку и подал ему; доктора почтительно замолкли, когда он проходил мимо их, и посторонились, чтобы дать ему место. Пьер хотел сначала сесть на другое место, чтобы не стеснять даму, хотел сам поднять перчатку и обойти докторов, которые вовсе и не стояли на дороге; но он вдруг почувствовал, что это было бы неприлично, он почувствовал, что он в нынешнюю ночь есть лицо, которое обязано совершить какой то страшный и ожидаемый всеми обряд, и что поэтому он должен был принимать от всех услуги. Он принял молча перчатку от адъютанта, сел на место дамы, положив свои большие руки на симметрично выставленные колени, в наивной позе египетской статуи, и решил про себя, что всё это так именно должно быть и что ему в нынешний вечер, для того чтобы не потеряться и не наделать глупостей, не следует действовать по своим соображениям, а надобно предоставить себя вполне на волю тех, которые руководили им.
Не прошло и двух минут, как князь Василий, в своем кафтане с тремя звездами, величественно, высоко неся голову, вошел в комнату. Он казался похудевшим с утра; глаза его были больше обыкновенного, когда он оглянул комнату и увидал Пьера. Он подошел к нему, взял руку (чего он прежде никогда не делал) и потянул ее книзу, как будто он хотел испытать, крепко ли она держится.
– Courage, courage, mon ami. Il a demande a vous voir. C'est bien… [Не унывать, не унывать, мой друг. Он пожелал вас видеть. Это хорошо…] – и он хотел итти.
Но Пьер почел нужным спросить:
– Как здоровье…