Теория случайных матриц

Теория случайных матриц — раздел математической статистики, изучающий свойства ансамблей матриц, элементы которых распределены случайным образом. Как правило, задаётся закон распределения элементов. При этом изучается статистика собственных значений случайных матриц, а иногда также статистика их собственных векторов.

Теория случайных матриц имеет множество применений в физике, в особенности в приложениях квантовой механики к изучению неупорядоченных и классически хаотических динамических систем. Дело в том, что гамильтониан хаотической системы нередко можно представлять себе как случайную эрмитову или симметричную вещественную матрицу, при этом уровни энергии этого гамильтониана будут представлять собой собственные значения случайной матрицы.

Впервые теория случайных матриц была применена Вигнером в 1950 году для описания уровней энергии атомного ядра. Впоследствии оказалось, что теорией случайных матриц описывается множество систем, включая, например, уровни энергии квантовых точек, уровни энергии частиц в потенциалах сложной формы. Как оказалось, теория случайных матриц применима практически к любой квантовой системе, классический аналог которой не является интегрируемым. При этом наблюдаются существенные отличия в распределении уровней энергии: распределение уровней энергии в интегрируемой системе, как правило, близко к распределению Пуассона, в то время как для неинтегрируемой системы оно имеет другой вид, характерный для случайных матриц (см. ниже).

Теория случайных матриц оказалась полезной и для, казалось бы, посторонних разделов математики, в частности, распределение нулей дзета-функции Римана на критической прямой можно описать с помощью некоторого ансамбля случайных матриц.

Основные ансамбли случайных матриц и их применение в физике

Существует три основных типа ансамблей случайных матриц, имеющих применение в физике. Это гауссов ортогональный ансамбль, гауссов унитарный ансамбль, гауссов симплектический ансамбль.

Гауссов унитарный ансамбль — наиболее общий ансамбль, состоит из произвольных эрмитовых матриц, действительные и мнимые части элементов которых имеют гауссово распределение. Системы, которые описываются гауссовым унитарным ансамблем, лишены какой-либо симметрии — они неинвариантны относительно обращения времени (таким свойством обладают, например, системы во внешнем магнитном поле) и неинвариантны относительно вращений спина.

Гауссов ортогональный ансамбль состоит из симметричных действительных матриц. Гауссовым ортогональным ансамблем описываются системы, симметричные относительно обращения времени, что в практических случаях означает отсутствие в таких системах магнитного поля и магнитных примесей.

Гауссов симплектический ансамбль состоит из эрмитовых матриц, элементы которых кватернионы. Гауссов симплектический ансамбль описывает систему, содержащую магнитные примеси, но не находящуюся во внешнем магнитном поле.

Важнейшие характеристики спектра случайных матриц

Распределение собственных значений

Распределение собственных значений достаточно большой гауссовой случайной матрицы в первом приближении представляет собой полуокружность <math>\nu(E)\propto\sqrt{E_0^2-E^2}</math> (закон полуокружностей Вигнера). Закон полуокружностей Вигнера выполняется в пределе, до некоторой степени соответствующем квазиклассическому приближению в квантовой механике, он выполняется тем точнее, чем больше размер анализируемой матрицы. При конечном размере матрицы у распределения уровней энергии имеются гауссовы «хвосты». Полуокружности получаются для всех гауссовых ансамблей, на этом уровне все три вышеперечисленных ансамбля дают эквивалентные распределения. Качественные отличия между тремя ансамблями проявляются на следующем уровне — на уровне парных корреляционных функций собственных значений.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/RandomMatrix.html Random Matrix] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• Mehta M. L. Random Matrices. — 3rd ed. — New York: Academic Press, 1991.
• Keating J.P., Snaith N.C. Random matrix theory and <math>\zeta(1/2 + it)</math> (англ.) // Commun. Math. Phys. : журнал. — 2000. — Vol. 214. — P. 57–89.

Отрывок, характеризующий Теория случайных матриц

– Прикажете наших из под горы кликнуть? – крикнул он.
Алпатыч обратился к мужикам, вызывая двоих по именам, чтобы вязать Карпа. Мужики покорно вышли из толпы и стали распоясываться.
– Староста где? – кричал Ростов.
Дрон, с нахмуренным и бледным лицом, вышел из толпы.
– Ты староста? Вязать, Лаврушка! – кричал Ростов, как будто и это приказание не могло встретить препятствий. И действительно, еще два мужика стали вязать Дрона, который, как бы помогая им, снял с себя кушан и подал им.
– А вы все слушайте меня, – Ростов обратился к мужикам: – Сейчас марш по домам, и чтобы голоса вашего я не слыхал.
– Что ж, мы никакой обиды не делали. Мы только, значит, по глупости. Только вздор наделали… Я же сказывал, что непорядки, – послышались голоса, упрекавшие друг друга.
– Вот я же вам говорил, – сказал Алпатыч, вступая в свои права. – Нехорошо, ребята!
– Глупость наша, Яков Алпатыч, – отвечали голоса, и толпа тотчас же стала расходиться и рассыпаться по деревне.
Связанных двух мужиков повели на барский двор. Два пьяные мужика шли за ними.
– Эх, посмотрю я на тебя! – говорил один из них, обращаясь к Карпу.
– Разве можно так с господами говорить? Ты думал что?
– Дурак, – подтверждал другой, – право, дурак!
Через два часа подводы стояли на дворе богучаровского дома. Мужики оживленно выносили и укладывали на подводы господские вещи, и Дрон, по желанию княжны Марьи выпущенный из рундука, куда его заперли, стоя на дворе, распоряжался мужиками.
– Ты ее так дурно не клади, – говорил один из мужиков, высокий человек с круглым улыбающимся лицом, принимая из рук горничной шкатулку. – Она ведь тоже денег стоит. Что же ты ее так то вот бросишь или пол веревку – а она потрется. Я так не люблю. А чтоб все честно, по закону было. Вот так то под рогожку, да сенцом прикрой, вот и важно. Любо!
– Ишь книг то, книг, – сказал другой мужик, выносивший библиотечные шкафы князя Андрея. – Ты не цепляй! А грузно, ребята, книги здоровые!
– Да, писали, не гуляли! – значительно подмигнув, сказал высокий круглолицый мужик, указывая на толстые лексиконы, лежавшие сверху.

Ростов, не желая навязывать свое знакомство княжне, не пошел к ней, а остался в деревне, ожидая ее выезда. Дождавшись выезда экипажей княжны Марьи из дома, Ростов сел верхом и до пути, занятого нашими войсками, в двенадцати верстах от Богучарова, верхом провожал ее. В Янкове, на постоялом дворе, он простился с нею почтительно, в первый раз позволив себе поцеловать ее руку.
– Как вам не совестно, – краснея, отвечал он княжне Марье на выражение благодарности за ее спасенье (как она называла его поступок), – каждый становой сделал бы то же. Если бы нам только приходилось воевать с мужиками, мы бы не допустили так далеко неприятеля, – говорил он, стыдясь чего то и стараясь переменить разговор. – Я счастлив только, что имел случай познакомиться с вами. Прощайте, княжна, желаю вам счастия и утешения и желаю встретиться с вами при более счастливых условиях. Ежели вы не хотите заставить краснеть меня, пожалуйста, не благодарите.
Но княжна, если не благодарила более словами, благодарила его всем выражением своего сиявшего благодарностью и нежностью лица. Она не могла верить ему, что ей не за что благодарить его. Напротив, для нее несомненно было то, что ежели бы его не было, то она, наверное, должна была бы погибнуть и от бунтовщиков и от французов; что он, для того чтобы спасти ее, подвергал себя самым очевидным и страшным опасностям; и еще несомненнее было то, что он был человек с высокой и благородной душой, который умел понять ее положение и горе. Его добрые и честные глаза с выступившими на них слезами, в то время как она сама, заплакав, говорила с ним о своей потере, не выходили из ее воображения.
Когда она простилась с ним и осталась одна, княжна Марья вдруг почувствовала в глазах слезы, и тут уж не в первый раз ей представился странный вопрос, любит ли она его?
По дороге дальше к Москве, несмотря на то, что положение княжны было не радостно, Дуняша, ехавшая с ней в карете, не раз замечала, что княжна, высунувшись в окно кареты, чему то радостно и грустно улыбалась.
«Ну что же, ежели бы я и полюбила его? – думала княжна Марья.
Как ни стыдно ей было признаться себе, что она первая полюбила человека, который, может быть, никогда не полюбит ее, она утешала себя мыслью, что никто никогда не узнает этого и что она не будет виновата, ежели будет до конца жизни, никому не говоря о том, любить того, которого она любила в первый и в последний раз.
Иногда она вспоминала его взгляды, его участие, его слова, и ей казалось счастье не невозможным. И тогда то Дуняша замечала, что она, улыбаясь, глядела в окно кареты.
«И надо было ему приехать в Богучарово, и в эту самую минуту! – думала княжна Марья. – И надо было его сестре отказать князю Андрею! – И во всем этом княжна Марья видела волю провиденья.