Уравнение движения сплошной среды
Уравнение движения сплошной среды — векторное уравнение, выражающее баланс импульса для сплошной среды.
Историческая справка
Уравнение движения в общем виде было получено Коши в начале 1820-х гг. (анонс относится к 30 сентября 1822 г.[1], краткая публикация в 1823 г.[2], полная публикация — в 1828 г.[3]).
Общий вид уравнения
В прямоугольной декартовой системе координат три проекции уравнения движения сплошной среды имеют вид[4]
<math>\rho\left(\frac{\partial v_x}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}+ v_y\frac{\partial v_x}{\partial y}+ v_z\frac{\partial v_x}{\partial z}\right)=\frac{\partial p_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{xz}}{\partial z}+\rho F_x,</math>
<math>\rho\left(\frac{\partial v_y}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_y}{\partial x}+ v_y\frac{\partial v_y}{\partial y}+ v_z\frac{\partial v_y}{\partial z}\right)=\frac{\partial p_{yx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{yz}}{\partial z}+\rho F_y,</math>
<math>\rho\left(\frac{\partial v_z}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_z}{\partial x}+ v_y\frac{\partial v_z}{\partial y}+ v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}\right)=\frac{\partial p_{zx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{zy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{zz}}{\partial z}+\rho F_z,</math>
где <math>\rho(x,y,z,t)</math> — плотность сплошной среды, <math>v_x(x,y,z,t)</math>, <math>v_y(x,y,z,t)</math>, <math>v_z(x,y,z,t)</math> — проекции скорости среды, <math>p_{ij}</math> — компоненты тензора напряжений, <math>F_x(x,y,z,t)</math>, <math>F_y(x,y,z,t)</math>, <math>F_z(x,y,z,t)</math> — компоненты вектора массовой плотности объемных сил, действующих на сплошную среду (сила в расчёте на единицу массы). Если используемая система отсчета не является инерциальной, то в число массовых сил нужно включать силы инерции.
Выражения, стоящие в скобках в левых частях, являются проекциями ускорения, поэтому в некотором смысле уравнение движения можно рассматривать как обобщение второго закона Ньютона для материальной точки постоянной массы.
В произвольной криволинейной системе координат уравнение движения имеет вид
<math>\rho \left(\frac{\partial v^i}{\partial t} + v^k\nabla_k v^i\right)=\nabla_k p^{ik}+\rho F^i, \quad i=1,2,3,</math>
где символ <math>\nabla_i</math> обозначает ковариантную производную по <math>i</math>-ой координате, а по повторяющемуся индексу <math>k</math> производится суммирование от одного до трёх.
Специальные формы уравнения
Если сплошная среда покоится (относительно используемой системы координат), <math>\vec v \equiv 0</math>, то уравнения движения превращаются в уравнения равновесия
<math>0=\frac{\partial p_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{xz}}{\partial z}+\rho F_x,</math>
<math>0=\frac{\partial p_{yx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{yz}}{\partial z}+\rho F_y,</math>
<math>0=\frac{\partial p_{zx}}{\partial x}+\frac{\partial p_{zy}}{\partial y}+\frac{\partial p_{zz}}{\partial z}+\rho F_z.</math>
Частными случаями уравнения движения являются
- уравнение Эйлера (уравнение движения для идеальной жидкости);
- уравнение Навье – Стокса (уравнение движения для линейно-вязкой жидкости);
- уравнение Навье — Ламе (уравнение движения для малых деформаций линейно-упругой среды).
Напишите отзыв о статье "Уравнение движения сплошной среды"
Примечания
- ↑ Трусделл К. [gidropraktikum.narod.ru/truesdell.djvu Очерки по истории механики]. — М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 316 с. — ISBN 5-93972-192-3.
- ↑ Cauchy [gidropraktikum.narod.ru/cauchy-1823.pdf Recherches sur l'équilibre et le mouvement intérieur des corps solides, élastiques ou non élastiques] // Bulletin de la Société Philomatique. — 1823.
- ↑ Cauchy [gidropraktikum.narod.ru/cauchy-1828.djvu Sur les équations qui expriment les conditions d'équilibre ou les lois du mouvement intérieur d'un corps solide, élastique ou non élastique]. — 1828.
- ↑ Седов Л.И. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Sedov_MSS_t1_1970ru.djvu Механика сплошной среды]. — М.: Наука, 1970. — Т. 1. — 492 с.
Отрывок, характеризующий Уравнение движения сплошной среды
– Дома? – спросил Пьер.– По обстоятельствам нынешним, Софья Даниловна с детьми уехали в торжковскую деревню, ваше сиятельство.
– Я все таки войду, мне надо книги разобрать, – сказал Пьер.
– Пожалуйте, милости просим, братец покойника, – царство небесное! – Макар Алексеевич остались, да, как изволите знать, они в слабости, – сказал старый слуга.
Макар Алексеевич был, как знал Пьер, полусумасшедший, пивший запоем брат Иосифа Алексеевича.
– Да, да, знаю. Пойдем, пойдем… – сказал Пьер и вошел в дом. Высокий плешивый старый человек в халате, с красным носом, в калошах на босу ногу, стоял в передней; увидав Пьера, он сердито пробормотал что то и ушел в коридор.
– Большого ума были, а теперь, как изволите видеть, ослабели, – сказал Герасим. – В кабинет угодно? – Пьер кивнул головой. – Кабинет как был запечатан, так и остался. Софья Даниловна приказывали, ежели от вас придут, то отпустить книги.
Пьер вошел в тот самый мрачный кабинет, в который он еще при жизни благодетеля входил с таким трепетом. Кабинет этот, теперь запыленный и нетронутый со времени кончины Иосифа Алексеевича, был еще мрачнее.
Герасим открыл один ставень и на цыпочках вышел из комнаты. Пьер обошел кабинет, подошел к шкафу, в котором лежали рукописи, и достал одну из важнейших когда то святынь ордена. Это были подлинные шотландские акты с примечаниями и объяснениями благодетеля. Он сел за письменный запыленный стол и положил перед собой рукописи, раскрывал, закрывал их и, наконец, отодвинув их от себя, облокотившись головой на руки, задумался.
Несколько раз Герасим осторожно заглядывал в кабинет и видел, что Пьер сидел в том же положении. Прошло более двух часов. Герасим позволил себе пошуметь в дверях, чтоб обратить на себя внимание Пьера. Пьер не слышал его.
– Извозчика отпустить прикажете?
– Ах, да, – очнувшись, сказал Пьер, поспешно вставая. – Послушай, – сказал он, взяв Герасима за пуговицу сюртука и сверху вниз блестящими, влажными восторженными глазами глядя на старичка. – Послушай, ты знаешь, что завтра будет сражение?..
– Сказывали, – отвечал Герасим.
– Я прошу тебя никому не говорить, кто я. И сделай, что я скажу…
– Слушаюсь, – сказал Герасим. – Кушать прикажете?
– Нет, но мне другое нужно. Мне нужно крестьянское платье и пистолет, – сказал Пьер, неожиданно покраснев.
– Слушаю с, – подумав, сказал Герасим.
Весь остаток этого дня Пьер провел один в кабинете благодетеля, беспокойно шагая из одного угла в другой, как слышал Герасим, и что то сам с собой разговаривая, и ночевал на приготовленной ему тут же постели.
Герасим с привычкой слуги, видавшего много странных вещей на своем веку, принял переселение Пьера без удивления и, казалось, был доволен тем, что ему было кому услуживать. Он в тот же вечер, не спрашивая даже и самого себя, для чего это было нужно, достал Пьеру кафтан и шапку и обещал на другой день приобрести требуемый пистолет. Макар Алексеевич в этот вечер два раза, шлепая своими калошами, подходил к двери и останавливался, заискивающе глядя на Пьера. Но как только Пьер оборачивался к нему, он стыдливо и сердито запахивал свой халат и поспешно удалялся. В то время как Пьер в кучерском кафтане, приобретенном и выпаренном для него Герасимом, ходил с ним покупать пистолет у Сухаревой башни, он встретил Ростовых.
1 го сентября в ночь отдан приказ Кутузова об отступлении русских войск через Москву на Рязанскую дорогу.
