Уравнение Эйлера

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск
У этого термина существуют и другие значения, см. Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера#Уравнения.
   Механика сплошных сред
Сплошная среда
См. также: Портал:Физика

Уравнение Эйлера — одно из основных уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Названо в честь Л. Эйлера, получившего это уравнение в 1752 году (опубликовано в 1757 году). По своей сути является уравнением движения жидкости. До сих пор неизвестно, существует ли гладкое решение уравнения Эйлера в трёхмерном случае, начиная с заданного момента времени?[1]





Классическое уравнение Эйлера

Рассмотрим движение идеальной жидкости. Выделим внутри неё некоторый объём V. Согласно второму закону Ньютона, ускорение центра масс этого объёма пропорционально полной силе, действующей на него. В случае идеальной жидкости эта сила сводится к давлению окружающей объём жидкости и, возможно, воздействию внешних силовых полей. Предположим, что это поле представляет собой силы инерции или гравитации, так что эта сила пропорциональна напряжённости поля и массе элемента объёма. Тогда

<math>\int\limits_V \frac{d \mathbf{v}}{dt} \,dm = \int\limits_V \mathbf{g} \,dm - \oint\limits_S p \,d\mathbf{S} </math>,

где S — поверхность выделенного объёма, g — напряжённость поля. Переходя, согласно формуле Гаусса — Остроградского, от поверхностного интеграла к объёмному и учитывая, что <math>dm = \rho \, dV</math>, где <math>\rho</math> — плотность жидкости в данной точке, получим:

<math>\int\limits_V \rho\,\frac{d \mathbf{v}}{dt} \,dV = \int\limits_V \rho\,\mathbf{g} \,dV - \int\limits_V \nabla p \,dV </math>

В силу произвольности объёма V подынтегральные функции должны быть равны в любой точке:

<math>\rho \frac{d \mathbf{v}}{dt} = \rho \mathbf{g} - \nabla p</math>

Выражая полную производную через конвективную производную и частную производную:

<math>\frac{d \mathbf{v}}{dt} = \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf{v}</math>

получаем уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести:

<math> \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf{v} = \mathbf{g} - \frac{1}{\rho}\nabla p</math>


где <math>\rho\left(x,y,z,t\right)</math> — плотность жидкости,
<math>p\left(x,y,z,t\right)</math> — давление в жидкости,
<math>\mathbf{v}\left(x,y,z,t\right)</math> — вектор скорости жидкости,
<math>\mathbf{g}\left(x,y,z,t\right)</math> — вектор напряжённости силового поля,
<math>\nabla</math> — оператор набла для трёхмерного пространства.

Частные случаи

Стационарный одномерный поток

Для случая стационарного одномерного потока жидкости или газа уравнение Эйлера принимает вид:

<math>v\frac{dv}{dx}=-\frac {1}{\rho}\cdot \frac {dp}{dx}</math>

В этой форме уравнение часто используется для решения различных прикладных задач гидродинамики и газодинамики. В частности, интегрированием этого уравнения по <math>x</math> при постоянной плотности жидкости <math>\rho</math> получается известное уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости:

<math>\frac{\rho v^2}{2}+p=const</math>

Несжимаемая жидкость

Пусть <math>\rho = const</math>. Используя известную формулу

<math>\frac{1}{2}\,\operatorname{grad}\,v^2\,=\,[\mathbf{v}\, \operatorname{rot}\,\mathbf{v}]\,+\,\left(\mathbf{v\nabla}\right)\mathbf{v}</math>,

перепишем соотношение в форме

<math>\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}\,+\frac{1}{2}\,\operatorname{grad}\,v^2\,=

\,[\mathbf{v}\, \operatorname{rot}\,\mathbf{v}]\,-\operatorname{grad}\frac{p}{\rho}</math>

Беря ротор и учитывая, что

<math>\operatorname{rot}\,\operatorname{grad} \,\phi= 0</math>,

а частные производные коммутируют, получаем что

<math>\frac{\partial}{\partial t}\,\operatorname{rot}\,\mathbf{v}\,=\,\operatorname{rot}\,[\mathbf{v}\,\operatorname{rot}\,\mathbf{v}]</math>


Адиабатическое течение

В случае, если происходит адиабатическое движение жидкости, то уравнение Эйлера можно переписать с использованием тепловой функции <math>w</math> следующим образом:

<math>dw\,=\,V\,dp\,+\,T\,ds\,=\,V\,dp</math> в силу того, что при адиабатическом процессе энтропия s постоянна.

Следовательно:

<math>\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}\,+\,\left(\mathbf{v\nabla}\right)\mathbf{v}\,=\,-\operatorname{grad}\,w</math>

используя известное соотношение:

<math>\frac{1}{2}\,\operatorname{grad}\,v^2\,=\,[\mathbf{v}\, \operatorname{rot}\,\mathbf{v}]\,+\,\left(\mathbf{v\nabla}\right)\mathbf{v}</math>,

и применяя операцию ротор к уравнению Эйлера получим искомое представление в виде:

<math>\frac{\partial}{\partial t}\,\operatorname{rot}\,\mathbf{v}\,=\,\operatorname{rot}\,[\mathbf{v}\,\operatorname{rot}\,\mathbf{v}]</math>

См. также

Напишите отзыв о статье "Уравнение Эйлера"

Примечания

  1. ↑ Стюарт, 2015, с. 315.

Литература

  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Гидродинамика. — М., 1986. — («Теоретическая физика», том VI).
  • [www.weizmann.ac.il/complex/falkovich/fluid-mechanics Falkovich G.] [www.cambridge.org/gb/knowledge/isbn/item6173728/?site_locale=en_GB Fluid Mechanics (A short course for physicists) Cambridge University Press 2011]
  • Стюарт, Иэн. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.

Ссылки

[www.gidropraktikum.narod.ru/equations-of-hydrodynamics.htm Русский перевод мемуара Эйлера, в котором впервые опубликованы уравнения движения идеальной жидкости]