Эллиптическое уравнение

Эллиптические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих стационарные процессы.

Определение

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции <math> u : R^n \rightarrow R </math>:

<math> \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} \frac{\partial ^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{k=1}^n b_k \frac{\partial u}{\partial x_k} + c u = f(x_1,\ldots , x_n)</math>

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть: <math> a_{ij} = a_{ji} </math>. Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

<math>\left ( \nabla A \nabla ^T \right )u + \mathbf{b} \cdot \nabla u + c u = f(x_1,\ldots , x_n)</math>,

где <math>A = A^T</math>.
Матрица <math>A</math> называется матрицей главных коэффициентов.
Если сигнатура полученной формы равна <math>(n, 0)</math>, то есть все собственные значения матрицы <math>A</math> имеют одинаковый знак, то уравнение относят к эллиптическому типу.
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется эллиптическим, если оно представимо в виде:

<math> Lu = f(x_1,\ldots , x_{n}) </math>,

где <math>L</math> — эллиптический оператор.

Эллиптические уравнения противопоставляются параболическим и гиперболическим, хотя данная классификация не является исчерпывающей.

Решение эллиптических уравнений

Поскольку эллиптические уравнения не зависят от времени, то для них задаются, только краевые условия. Для аналитического решения применяют метод разделения переменных Фурье, метод функции Грина и метод потенциалов.

Примеры эллиптических уравнений

В математической физике эллиптические уравнения возникают в задачах, сводящихся лишь к пространственным координатам: от времени либо ничего не зависит (стационарные процессы), либо оно каким-то образом исключается.

• Уравнение Лапласа и уравнение Пуассона, описывают различные стационарные физические поля.
• Стационарный аналог уравнения Шрёдингера, когда предполагается гармоническая зависимость от времени.
• Уравнения, получаемые из уравнений Максвелла. Такие получаются, из предположения, что электромагнитное поле либо не меняется с течением времени, либо меняется по гармоническому закону. Одним из уравнений, получаемых в таких предположениях является уравнение Гельмгольца.
• Уравнение Стокса — стационарный аналог системы уравнений Навье-Стокса, для устоявшегося течения.

А также многие другие стационарные аналоги гиперболических и параболических уравнений.

См. также

• Задача Дирихле
• Условия Коши — Римана
• Параболическое уравнение
• Гиперболическое уравнение