Самопорождённые числа
Самопорождённые числа — чи́сла, которые нельзя получить сложением какого-либо другого числа, называемого генератором, с суммой его цифр.
Содержание
Цифросложение и порождённые числа
Рассмотрим процедуру, которую Капрекар называет цифросложением. Выберем любое целое число и прибавим к нему сумму его цифр. Например, если мы выберем число 47, то сумма его цифр 4 + 7 = 11 и 47 + 11 = 58. Новое число 58 называется порождённым числом, а исходное число 47 — его генератором. Процесс можно повторять неограниченно, образуя порождаемую цифросложением последовательность 47, 58, 71, 79, …
Нерекуррентная формула для частичной суммы членов этой последовательности неизвестна, но существует простая формула для суммы цифр всех чисел в ней: нужно вычесть первое число из последнего и прибавить сумму цифр последнего числа.
Порождённые числа могут иметь более одного генератора. Наименьшее число, имеющее более одного генератора (Капрекар называет такие числа соединениями), равно 101 и у него два генератора: 91 и 100. Наименьшее число-соединение с тремя генераторами равно 10 000 000 000 001 и порождено числами 10 000 000 000 000, 9 999 999 999 901 и 9 999 999 999 892. Наименьшее число с четырьмя генераторами, открытое Капрекаром 7 июня 1961 года, имеет 25 знаков: 1024 + 102. Таким образом, наименьшие числа, имеющие n=2, 3, … генераторов образуют последовательность:
Капрекару удалось также открыть, как он предполагает, наименьшие числа-соединения с 5 и 6 генераторами.
Самопорождённые числа
Самопорождённое число — это число, у которого нет генератора, по словам Капрекара, «оно порождает самое себя». Существует бесконечно много самопорождённых чисел, но встречаются они гораздо реже, чем порождённые числа. Самопорождённые числа образуют последовательность:
Простые самопорождённые числа называются самопростыми числами. Хорошо известное «циклическое» число 142 857 (при умножении его на числа от 1 до 6 всегда получается произведение, записанное теми же 6 цифрами, только переставленными в циклическом порядке) принадлежит к числу самопорождённых чисел. Самопорождёнными являются и такие числа, как 11 111 111 111 111 111 111 и 3 333 333 333.
Самопорождёнными являются некоторые степени числа 10. Число 10 порождено числом 5, число 100 — числом 86, 1 000 — числом 977, 10 000 — числом 9 968 и 100 000 — числом 99959. Однако 1 000 000 является самопорождённым числом, а следующая за миллионом степень десятки, которая является самопорождённым числом, — это 1016.
Пока не удалось найти нерекуррентную формулу, позволяющую получать все самопорождённые числа, но есть простой алгоритм, позволяющий проверить любое число на самопорождённость (т. е. установить, является ли данное число самопорождённым).
История
Самопорождённые числа впервые описаны в 1949 году индийским математиком Д. Р. Капрекаром, который посвятил им несколько книг. Долгое время за пределами Индии самопорождённые числа не были известны, пока в 1974 году о них (под другим названием) не появилась статья в журнале American Mathematical Monthly,[1] в которой доказывалось, что существует бесконечное множество самопорождённых чисел.
Во втором томе «Детской энциклопедии» (СССР), посвящённом математике, есть статья о самопорождённых числах, где они называются «числами-самородками».[2]
Напишите отзыв о статье "Самопорождённые числа"
Примечания
- ↑ B. Recaman (1974). «Problem E2408». Amer. Math. Monthly 81 (4): 407. DOI:10.2307/2319017.
- ↑ [www.childrenpedia.org/2/page290.html Числа-самородки] // Детская энциклопедия. — М.: Просвещение, 1964. — Т. 2 «Мир небесных чисел. Числа и фигуры». — С. 290.
Ссылки
- Мартин Гарднер, [golovolomka.hobby.ru/books/gardner/bornnum.shtml Самопорождённые числа].
- [golovolomka.hobby.ru/books/gardner/otvet/bornnum.htm Метод проверки числа на самопорождённость]
Отрывок, характеризующий Самопорождённые числа
– Извозчика отпустить прикажете?– Ах, да, – очнувшись, сказал Пьер, поспешно вставая. – Послушай, – сказал он, взяв Герасима за пуговицу сюртука и сверху вниз блестящими, влажными восторженными глазами глядя на старичка. – Послушай, ты знаешь, что завтра будет сражение?..
– Сказывали, – отвечал Герасим.
– Я прошу тебя никому не говорить, кто я. И сделай, что я скажу…
– Слушаюсь, – сказал Герасим. – Кушать прикажете?
– Нет, но мне другое нужно. Мне нужно крестьянское платье и пистолет, – сказал Пьер, неожиданно покраснев.
– Слушаю с, – подумав, сказал Герасим.
Весь остаток этого дня Пьер провел один в кабинете благодетеля, беспокойно шагая из одного угла в другой, как слышал Герасим, и что то сам с собой разговаривая, и ночевал на приготовленной ему тут же постели.
Герасим с привычкой слуги, видавшего много странных вещей на своем веку, принял переселение Пьера без удивления и, казалось, был доволен тем, что ему было кому услуживать. Он в тот же вечер, не спрашивая даже и самого себя, для чего это было нужно, достал Пьеру кафтан и шапку и обещал на другой день приобрести требуемый пистолет. Макар Алексеевич в этот вечер два раза, шлепая своими калошами, подходил к двери и останавливался, заискивающе глядя на Пьера. Но как только Пьер оборачивался к нему, он стыдливо и сердито запахивал свой халат и поспешно удалялся. В то время как Пьер в кучерском кафтане, приобретенном и выпаренном для него Герасимом, ходил с ним покупать пистолет у Сухаревой башни, он встретил Ростовых.
1 го сентября в ночь отдан приказ Кутузова об отступлении русских войск через Москву на Рязанскую дорогу.
Первые войска двинулись в ночь. Войска, шедшие ночью, не торопились и двигались медленно и степенно; но на рассвете двигавшиеся войска, подходя к Дорогомиловскому мосту, увидали впереди себя, на другой стороне, теснящиеся, спешащие по мосту и на той стороне поднимающиеся и запружающие улицы и переулки, и позади себя – напирающие, бесконечные массы войск. И беспричинная поспешность и тревога овладели войсками. Все бросилось вперед к мосту, на мост, в броды и в лодки. Кутузов велел обвезти себя задними улицами на ту сторону Москвы.
К десяти часам утра 2 го сентября в Дорогомиловском предместье оставались на просторе одни войска ариергарда. Армия была уже на той стороне Москвы и за Москвою.
В это же время, в десять часов утра 2 го сентября, Наполеон стоял между своими войсками на Поклонной горе и смотрел на открывавшееся перед ним зрелище. Начиная с 26 го августа и по 2 е сентября, от Бородинского сражения и до вступления неприятеля в Москву, во все дни этой тревожной, этой памятной недели стояла та необычайная, всегда удивляющая людей осенняя погода, когда низкое солнце греет жарче, чем весной, когда все блестит в редком, чистом воздухе так, что глаза режет, когда грудь крепнет и свежеет, вдыхая осенний пахучий воздух, когда ночи даже бывают теплые и когда в темных теплых ночах этих с неба беспрестанно, пугая и радуя, сыплются золотые звезды.
2 го сентября в десять часов утра была такая погода. Блеск утра был волшебный. Москва с Поклонной горы расстилалась просторно с своей рекой, своими садами и церквами и, казалось, жила своей жизнью, трепеща, как звезды, своими куполами в лучах солнца.
При виде странного города с невиданными формами необыкновенной архитектуры Наполеон испытывал то несколько завистливое и беспокойное любопытство, которое испытывают люди при виде форм не знающей о них, чуждой жизни. Очевидно, город этот жил всеми силами своей жизни. По тем неопределимым признакам, по которым на дальнем расстоянии безошибочно узнается живое тело от мертвого. Наполеон с Поклонной горы видел трепетание жизни в городе и чувствовал как бы дыханио этого большого и красивого тела.
