Числовое неравенство

Числовое неравенство — неравенство между вещественными числами: если два вещественных числа <math>a</math> и <math>b</math> соединены знаком неравенства <math>\neq</math> или одним из любых отношений порядка: <math>a > b</math> или <math>a < b</math> или <math>a \geqslant b</math> или же <math>a \leqslant b</math>, установленных между числами, то говорят, что задано числовое неравенство.

Связанные определения

Неравенства отношений <math>></math>, <math><</math> называют строгими, неравенства <math> \geqslant </math>, <math>\leqslant</math> называют нестрогими.

Неравенства отношений <math><</math> и <math>\leqslant</math>, а также неравенства <math>></math> и <math> \geqslant </math> называются неравенствами одного знака (одного смысла), неравенства <math><</math> и <math>></math>, а также <math>></math> и <math> \leqslant </math>,< и <math> \geqslant </math>, <math> \leqslant </math> и <math> \geqslant </math> называются неравенствами разного смысла (разного знака).

Неравенство называется точным, если его нельзя улучшить. Например, <math>(x+1)^2+(x-1)^2\geqslant 2</math> является точным, а <math>(x+1)^2+(x-1)^2\geqslant 0</math> — нет.

Числовые неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические неравенства, в свою очередь, подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. Например, неравенство <math> 18x < 414</math> — алгебраическое первой степени, неравенство <math> 2x^3-7x+6 > 0 </math> — алгебраическое третьей степени, неравенство <math>2^x > x+4 </math> — трансцендентное.

Свойства числовых неравенств

Некоторые свойства числовых неравенств:

• если <math>a > b</math>, тогда <math> b < a</math>;
• если <math>a > b</math> и <math> b > c </math>, то <math> a > c</math>;
• если <math>a > b</math>, то для любого <math> c \,\,\, a + c > b + c</math>;
• если <math>a > b</math>, то для любого <math> c > 0 \,\,\, ac > bc</math>;
• если <math>a > b</math>, то для любого <math> c < 0 \,\,\, ac < bc</math>;
• если <math>a > b</math> и <math>c > d</math>, то <math> a + c > b + d</math> (возможность почленного сложения неравенств одинакового смысла);
• если <math>a > b</math> и <math>c < d</math>, то <math> a - c > b - d</math> (возможность почленного вычитания неравенств разного смысла);
• если <math>a > b</math>, <math>b \geqslant 0</math> и <math>c > d</math>, <math>d \geqslant 0 </math>, то <math> ac > bd </math> (возможность почленного умножения неравенств одинакового смысла);
• если <math>a > b, \,\,\, b \geqslant 0</math> и <math>c<d,\,\,\, d>0, c>0</math>, то <math>a/c > b/d</math> (возможность почленного деления неравенств разного смысла).

Решение неравенств

Неравенства второй степени

Решение неравенства второй степени вида <math>ax^2+bx+c > 0</math> или <math> ax^2+bx+c < 0</math> можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых квадратичная функция <math>f(x) = ax^2+bx+c</math> принимает положительные или отрицательные значения (промежутки знакопостоянства).

Например, неравенство <math>x^2-x-6\leqslant0</math> может быть решено путём нахождения нулей функции <math>f\left(x\right)=x^{2}-x-6</math> и выбором соответствующих интервалов, в которых функция принимает отрицательные значения, а так как нули функции — <math>x_{1}=3; x_{2}=-2</math>, искомый интервал — <math>x\in[-2;3]</math>.

Метод интервалов

Для решения неравенства вида:

<math>f_1(x)\cdot f_2(x)\cdot f_3(x)\cdot f_4(x)\cdot\ldots\cdot f_N(x) > 0</math>

необходимо:

• разбить ось <math>OX</math> на интервалы знакопостоянства,
• поставить в каждом таком интервале знак неравенства на этом интервале (<math>+</math>, если больше нуля, <math>-</math> если меньше),
• выбрать те интервалы, где стоит знак начального неравенства.

Крайними точками интервалов будут <math>-\infty</math>, <math>+\infty</math> и нули функций <math>f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x) \ldots f_N(x)</math>.

Решение иррациональных неравенств

Для решения иррациональных неравенств часто применяют следующие равносильные переходы:

<math>\sqrt{f(x)} < g(x) \Longleftrightarrow \begin{cases} f(x) < g^2(x) \\ g(x) \geqslant 0 \\ f(x)\geqslant 0

\end{cases}</math>

<math>\sqrt{f\left(x\right)}>g\left(x\right)\Longleftrightarrow\left[\begin{array}{cc}

\begin{cases} f\left(x\right)>\left(g\left(x\right)\right)^{2}\\ g\left(x\right)\geqslant0 \end{cases}\\ \begin{cases} f\left(x\right)\geqslant0\\ g\left(x\right)<0

\end{cases}

\end{array}\right.

</math>

<math>\sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)}\Longleftrightarrow\begin{cases}

f\left(x\right)<g\left(x\right)\\ f\left(x\right)\geqslant0 \end{cases}

</math>

Например, решение неравенства <math>\sqrt{x^{3}-x^{2}}>\sqrt{x-1}</math> получается применением равносильных переходов следующим образом:

<math>\sqrt{x^{3}-x^{2}}>\sqrt{x-1}\Longleftrightarrow

\begin{cases}

x^{3}-x^{2}>x-1,\\ x-1\geqslant0\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} x^{2}\left(x-1\right)-\left(x-1\right)>0,\\ x\geqslant1 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x>-1,x\not=1\\ x\geqslant1 \end{cases}

</math>,

то есть решение — <math>(1,+\infty)</math>.

Литература

• Будак А. Б., Щедрин Б. М. Элементарная математика.

Отрывок, характеризующий Числовое неравенство

«Птицы небесные ни сеют, ни жнут, но отец ваш питает их», – сказал он сам себе и хотел то же сказать княжне. «Но нет, они поймут это по своему, они не поймут! Этого они не могут понимать, что все эти чувства, которыми они дорожат, все наши, все эти мысли, которые кажутся нам так важны, что они – не нужны. Мы не можем понимать друг друга». – И он замолчал.

Маленькому сыну князя Андрея было семь лет. Он едва умел читать, он ничего не знал. Он многое пережил после этого дня, приобретая знания, наблюдательность, опытность; но ежели бы он владел тогда всеми этими после приобретенными способностями, он не мог бы лучше, глубже понять все значение той сцены, которую он видел между отцом, княжной Марьей и Наташей, чем он ее понял теперь. Он все понял и, не плача, вышел из комнаты, молча подошел к Наташе, вышедшей за ним, застенчиво взглянул на нее задумчивыми прекрасными глазами; приподнятая румяная верхняя губа его дрогнула, он прислонился к ней головой и заплакал.
С этого дня он избегал Десаля, избегал ласкавшую его графиню и либо сидел один, либо робко подходил к княжне Марье и к Наташе, которую он, казалось, полюбил еще больше своей тетки, и тихо и застенчиво ласкался к ним.
Княжна Марья, выйдя от князя Андрея, поняла вполне все то, что сказало ей лицо Наташи. Она не говорила больше с Наташей о надежде на спасение его жизни. Она чередовалась с нею у его дивана и не плакала больше, но беспрестанно молилась, обращаясь душою к тому вечному, непостижимому, которого присутствие так ощутительно было теперь над умиравшим человеком.


Князь Андрей не только знал, что он умрет, но он чувствовал, что он умирает, что он уже умер наполовину. Он испытывал сознание отчужденности от всего земного и радостной и странной легкости бытия. Он, не торопясь и не тревожась, ожидал того, что предстояло ему. То грозное, вечное, неведомое и далекое, присутствие которого он не переставал ощущать в продолжение всей своей жизни, теперь для него было близкое и – по той странной легкости бытия, которую он испытывал, – почти понятное и ощущаемое.
Прежде он боялся конца. Он два раза испытал это страшное мучительное чувство страха смерти, конца, и теперь уже не понимал его.
Первый раз он испытал это чувство тогда, когда граната волчком вертелась перед ним и он смотрел на жнивье, на кусты, на небо и знал, что перед ним была смерть. Когда он очнулся после раны и в душе его, мгновенно, как бы освобожденный от удерживавшего его гнета жизни, распустился этот цветок любви, вечной, свободной, не зависящей от этой жизни, он уже не боялся смерти и не думал о ней.
Чем больше он, в те часы страдальческого уединения и полубреда, которые он провел после своей раны, вдумывался в новое, открытое ему начало вечной любви, тем более он, сам не чувствуя того, отрекался от земной жизни. Всё, всех любить, всегда жертвовать собой для любви, значило никого не любить, значило не жить этою земною жизнию. И чем больше он проникался этим началом любви, тем больше он отрекался от жизни и тем совершеннее уничтожал ту страшную преграду, которая без любви стоит между жизнью и смертью. Когда он, это первое время, вспоминал о том, что ему надо было умереть, он говорил себе: ну что ж, тем лучше.
Но после той ночи в Мытищах, когда в полубреду перед ним явилась та, которую он желал, и когда он, прижав к своим губам ее руку, заплакал тихими, радостными слезами, любовь к одной женщине незаметно закралась в его сердце и опять привязала его к жизни. И радостные и тревожные мысли стали приходить ему. Вспоминая ту минуту на перевязочном пункте, когда он увидал Курагина, он теперь не мог возвратиться к тому чувству: его мучил вопрос о том, жив ли он? И он не смел спросить этого.

Болезнь его шла своим физическим порядком, но то, что Наташа называла: это сделалось с ним, случилось с ним два дня перед приездом княжны Марьи. Это была та последняя нравственная борьба между жизнью и смертью, в которой смерть одержала победу. Это было неожиданное сознание того, что он еще дорожил жизнью, представлявшейся ему в любви к Наташе, и последний, покоренный припадок ужаса перед неведомым.