Шар
Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.
Содержание
Связанные определения
Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².
Основные геометрические формулы
Площадь поверхности <math>S</math> и объём <math>V</math> шара радиуса <math>r</math> (и диаметром <math>d = 2r</math>) определяются формулами:
- <math>S = \ 4\pi r^2</math>
- <math>S = \ \pi d^2</math>
- <math>V = \frac{4}{3} \pi r^3</math>
Возьмём четверть круга радиуса R с центром в точке <math>\left ( 0; 0\right )</math>. Уравнение окружности этого круга : <math>x^2 + y^2 = R^2</math>, откуда <math>y^2 = R^2-x^2</math>.
Функция <math>y=\sqrt{R^2-x^2}, x \in (0;R)</math> непрерывная, убывающая, неотрицательная. При вращении четверти круга вокруг оси Ox образуется полушар, следовательно:
<math>{1 \over 2} V = \pi \int\limits_0^R (R^2-x^2)dx = \pi \cdot \Bigl. \left ( R^2x - \frac {x^3} {3} \right ) \Bigr
- <math>V = \frac{\pi d^3}{6}</math>
<math>d=2r, V={4 \over 3} \pi r^3 = {4 \over 3} \pi \left ( {d \over 2} \right )^3 = {4 \over 3} \pi \frac {d^3} {8} = \frac {\pi d^3} {6}</math> Ч. т. д.
Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.
Определения
Пусть дано метрическое пространство <math>(X,\rho)</math>. Тогда
- Шаром (или открытым шаром) с центром в точке <math>x_0\in X</math> и радиусом <math>r>0</math> называется множество
- <math>B_r(x_0) = \{x \in X \mid \rho(x,x_0) < r\}.</math>
- Замкнутым шаром с центром в <math>x_0</math> и радиусом <math>r</math> называется множество
- <math>D_r(x_0) = \{x \in X \mid \rho(x,x_0) \leqslant r\}.</math>
Замечания
Шар радиуса <math>r</math> с центром <math>x_0</math> также называют <math>r</math>-окрестностью точки <math>x_0</math>.
Свойства
- Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой <math>\rho</math>.
- Замкнутый шар — замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой <math>\rho</math>.
- По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке <math>X</math> являют собой её базу.
- Очевидно, <math>B_r(x_0) \subset D_r(x_0)</math>. Однако, вообще говоря, замыкание открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром: <math>\overline{B_r(x_0)} \neq D_r(x_0).</math>
- Например: пусть <math>(X,\rho)</math> — дискретное метрическое пространство, и <math>X</math> состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого <math>x\in X</math> имеем:
- <math>B_1(x) = \{x\},\; \overline{B_1(x)} = \{x\},\; D_1(x) = X.</math>
Примеры
- Пусть <math>\mathbb{R}^d</math> — евклидово пространство с обычным Евклидовым расстоянием. Тогда
- если <math>d=1</math> (пространство — прямая), то
- <math>B_r(x_0) = \{x\in \Bbb R \mid |x - x_0| < r\} = \left(x_0 - {r}, x_0 + {r}\right),</math>
- <math>D_r(x_0) = \{x\in \Bbb R \mid |x - x_0| \le r\} = \left[x_0 - {r}, x_0 + {r}\right].</math>
- — открытый и замкнутый отрезок соответственно.
- если <math>d=2</math> (пространство — плоскость), то
- <math>B_r((x_0,y_0)) = \left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < r \right\},</math>
- <math>D_r((x_0,y_0)) = \left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} \leq r \right\}</math>
- — открытый и замкнутый диск соответственно.
- если <math>d=3</math>, то
- <math>B_r((x_0,y_0,z_0)) = \left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} < r \right\},</math>
- <math>D_r((x_0,y_0,z_0)) = \left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} \leq r \right\}</math>
- — открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.
- В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве <math>\mathbb{R}^d</math> метрику следующим образом:
- <math>\rho(x,y) = \sum\limits_{i=1}^d \|x_i-y_i\|,\quad x = (x_1,\ldots, x_d)^{\top},y=(y_1,\ldots,y_d)^{\top}\in \mathbb{R}^d.</math>
- Тогда
См. также
Напишите отзыв о статье "Шар"
Литература
- Шар, геометрическое тело // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Ссылки на онлайн калькуляторы
- [www.light-st2006.narod.ru/kalkul/shar.html Вычисление объема и площади шара]. [www.webcitation.org/6CaooN793 Архивировано из первоисточника 1 декабря 2012].
- [calc.by Онлайн-калькуляторы]. [www.webcitation.org/6CaopKH49 Архивировано из первоисточника 1 декабря 2012].
- [www.etudes.ru/ru/mov/mov035/index.php Математические этюды]. [www.webcitation.org/6CaonCOAv Архивировано из первоисточника 1 декабря 2012]. Мультфильм про объём шара
Отрывок, характеризующий Шар
Х
30 го числа Пьер вернулся в Москву. Почти у заставы ему встретился адъютант графа Растопчина.
– А мы вас везде ищем, – сказал адъютант. – Графу вас непременно нужно видеть. Он просит вас сейчас же приехать к нему по очень важному делу.
Пьер, не заезжая домой, взял извозчика и поехал к главнокомандующему.
Граф Растопчин только в это утро приехал в город с своей загородной дачи в Сокольниках. Прихожая и приемная в доме графа были полны чиновников, явившихся по требованию его или за приказаниями. Васильчиков и Платов уже виделись с графом и объяснили ему, что защищать Москву невозможно и что она будет сдана. Известия эти хотя и скрывались от жителей, но чиновники, начальники различных управлений знали, что Москва будет в руках неприятеля, так же, как и знал это граф Растопчин; и все они, чтобы сложить с себя ответственность, пришли к главнокомандующему с вопросами, как им поступать с вверенными им частями.
В то время как Пьер входил в приемную, курьер, приезжавший из армии, выходил от графа.
Курьер безнадежно махнул рукой на вопросы, с которыми обратились к нему, и прошел через залу.
Дожидаясь в приемной, Пьер усталыми глазами оглядывал различных, старых и молодых, военных и статских, важных и неважных чиновников, бывших в комнате. Все казались недовольными и беспокойными. Пьер подошел к одной группе чиновников, в которой один был его знакомый. Поздоровавшись с Пьером, они продолжали свой разговор.
– Как выслать да опять вернуть, беды не будет; а в таком положении ни за что нельзя отвечать.
– Да ведь вот, он пишет, – говорил другой, указывая на печатную бумагу, которую он держал в руке.
– Это другое дело. Для народа это нужно, – сказал первый.
– Что это? – спросил Пьер.
– А вот новая афиша.
Пьер взял ее в руки и стал читать:
«Светлейший князь, чтобы скорей соединиться с войсками, которые идут к нему, перешел Можайск и стал на крепком месте, где неприятель не вдруг на него пойдет. К нему отправлено отсюда сорок восемь пушек с снарядами, и светлейший говорит, что Москву до последней капли крови защищать будет и готов хоть в улицах драться. Вы, братцы, не смотрите на то, что присутственные места закрыли: дела прибрать надобно, а мы своим судом с злодеем разберемся! Когда до чего дойдет, мне надобно молодцов и городских и деревенских. Я клич кликну дня за два, а теперь не надо, я и молчу. Хорошо с топором, недурно с рогатиной, а всего лучше вилы тройчатки: француз не тяжеле снопа ржаного. Завтра, после обеда, я поднимаю Иверскую в Екатерининскую гошпиталь, к раненым. Там воду освятим: они скорее выздоровеют; и я теперь здоров: у меня болел глаз, а теперь смотрю в оба».
– А мне говорили военные люди, – сказал Пьер, – что в городе никак нельзя сражаться и что позиция…
– Ну да, про то то мы и говорим, – сказал первый чиновник.
– А что это значит: у меня болел глаз, а теперь смотрю в оба? – сказал Пьер.
– У графа был ячмень, – сказал адъютант, улыбаясь, – и он очень беспокоился, когда я ему сказал, что приходил народ спрашивать, что с ним. А что, граф, – сказал вдруг адъютант, с улыбкой обращаясь к Пьеру, – мы слышали, что у вас семейные тревоги? Что будто графиня, ваша супруга…
– Я ничего не слыхал, – равнодушно сказал Пьер. – А что вы слышали?
– Нет, знаете, ведь часто выдумывают. Я говорю, что слышал.
– Что же вы слышали?
– Да говорят, – опять с той же улыбкой сказал адъютант, – что графиня, ваша жена, собирается за границу. Вероятно, вздор…
– Может быть, – сказал Пьер, рассеянно оглядываясь вокруг себя. – А это кто? – спросил он, указывая на невысокого старого человека в чистой синей чуйке, с белою как снег большою бородой, такими же бровями и румяным лицом.
– Это? Это купец один, то есть он трактирщик, Верещагин. Вы слышали, может быть, эту историю о прокламации?
– Ах, так это Верещагин! – сказал Пьер, вглядываясь в твердое и спокойное лицо старого купца и отыскивая в нем выражение изменничества.
– Это не он самый. Это отец того, который написал прокламацию, – сказал адъютант. – Тот молодой, сидит в яме, и ему, кажется, плохо будет.
Один старичок, в звезде, и другой – чиновник немец, с крестом на шее, подошли к разговаривающим.
– Видите ли, – рассказывал адъютант, – это запутанная история. Явилась тогда, месяца два тому назад, эта прокламация. Графу донесли. Он приказал расследовать. Вот Гаврило Иваныч разыскивал, прокламация эта побывала ровно в шестидесяти трех руках. Приедет к одному: вы от кого имеете? – От того то. Он едет к тому: вы от кого? и т. д. добрались до Верещагина… недоученный купчик, знаете, купчик голубчик, – улыбаясь, сказал адъютант. – Спрашивают у него: ты от кого имеешь? И главное, что мы знаем, от кого он имеет. Ему больше не от кого иметь, как от почт директора. Но уж, видно, там между ними стачка была. Говорит: ни от кого, я сам сочинил. И грозили и просили, стал на том: сам сочинил. Так и доложили графу. Граф велел призвать его. «От кого у тебя прокламация?» – «Сам сочинил». Ну, вы знаете графа! – с гордой и веселой улыбкой сказал адъютант. – Он ужасно вспылил, да и подумайте: этакая наглость, ложь и упорство!..