Область определения функции

Область определения или область задания функции — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.

Определение

Если на множестве<math>X</math> задана функция, которая отображает множество<math>X</math> в другое множество, то множество <math>X</math> называется областью определения или областью задания функции.

Более формально, если задана функция <math>f</math>, которая отображает множество <math>X</math> в <math>Y</math>, то есть: <math>f \colon X \to Y</math>, то

• множество <math>X</math> называется областью определения или областью задания функции <math>f</math> и обозначается <math>D(f)</math> или <math>\mathrm{dom}\,f</math> (от англ. domain — «область»).

Иногда рассматривают функции, определенные на подмножестве <math>D</math> некоторого множества <math>X</math>. В этом случае множество <math>X</math> иногда называют областью отправления функции <math>f</math>.

Примеры

Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.

Числовые функции

Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:

• вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида <math>f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>;
• а также комплекснозначные функции комплексного переменного вида <math>f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>,

где <math>\mathbb{R}</math> и <math>\mathbb{C}</math> — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.

Тождественное отображение

Область определения функции <math>f(x)=x</math> совпадает с областью отправления (<math>\mathbb{R}</math> или <math>\mathbb{C}</math>).

Гармоническая функция

Область определения функции <math>f(x)=1/x</math> представляет собой комплексную плоскость без нуля

<math>\mathrm{dom}\,f=\mathbb{C}\setminus \{0\}</math>

и не совпадает с областью отправления (вся комплексная плоскость).

Дробно-рациональные функции

Область определения функции вида

<math>f(x)=\frac{a_0+a_1x+\dots+a_mx^m}{b_0+b_1x+\dots+b_nx^n}</math>

представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения

<math>b_0+b_1x+\dots+b_nx^n=0</math>.

Эти точки называются полюсами функции <math>f</math>.

Так, например, <math>f(x)=\frac{2x}{x^2-4}</math> определен на всех точках, где знаменатель не обращается в ноль, то есть, где <math>x^2-4\neq 0</math>. Таки образом <math>\mathrm{dom}\,f</math> является множеством всех действительных (или комплексных) чисел кроме 2 и -2.

Мера

Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.

Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.

Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.

Функционал

Пусть <math>\mathbb{F}=\{f\mid f\colon X \to \mathbb{R}\}</math> — семейство отображений из множества <math>X</math> в множество <math>\mathbb{R}</math>. Тогда можно определить отображение вида <math>F\colon \mathbb{F} \to \mathbb{R}</math>. Такое отображение называется функционалом.

Если, например, фиксировать некоторую точку <math>x_0\in~X</math>, то можно определить функцию <math>F(f)=f(x_0)</math>, которая принимает в «точке» <math>f</math> то же значение, что и сама функция <math>f</math> в точке <math>x_0</math>.

См. также

• Область значений функции

Литература

• Функция, математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
• Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
• И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд.. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13 — 21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
• А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
• Дж. Л. Келли. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1981. — С. 19 — 27. — 423 с.
• В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23 — 36. — 544 с.
• Г. Е. Шилов. Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 65 — 69. — 528 с.
• А. Н. Колмогоров [kvant.mccme.ru/1970/01/chto_takoe_funkciya.htm «Что такое функция»] // «Квант». — М.: «Наука», 1970. — Вып. 1. — С. 27-36. — ISSN [www.sigla.ru/table.jsp?f=8&t=3&v0=0130-2221&f=1003&t=1&v1=&f=4&t=2&v2=&f=21&t=3&v3=&f=1016&t=3&v4=&f=1016&t=3&v5=&bf=4&b=&d=0&ys=&ye=&lng=&ft=&mt=&dt=&vol=&pt=&iss=&ps=&pe=&tr=&tro=&cc=UNION&i=1&v=tagged&s=0&ss=0&st=0&i18n=ru&rlf=&psz=20&bs=20&ce=hJfuypee8JzzufeGmImYYIpZKRJeeOeeWGJIZRrRRrdmtdeee88NJJJJpeeefTJ3peKJJ3UWWPtzzzzzzzzzzzzzzzzzbzzvzzpy5zzjzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzztzzzzzzzbzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzvzzzzzzyeyTjkDnyHzTuueKZePz9decyzzLzzzL*.c8.NzrGJJvufeeeeeJheeyzjeeeeJh*peeeeKJJJJJJJJJJmjHvOJJJJJJJJJfeeeieeeeSJJJJJSJJJ3TeIJJJJ3..E.UEAcyhxD.eeeeeuzzzLJJJJ5.e8JJJheeeeeeeeeeeeyeeK3JJJJJJJJ*s7defeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeSJJJJJJJJZIJJzzz1..6LJJJJJJtJJZ4....EK*&debug=false 0130-2221].