Комплексная плоскость

Ко́мпле́ксная плоскость — это геометрическое представление множества комплексных чисел <math>\mathbb{C}</math>.

Точка двумерной вещественной плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>, имеющая координаты <math>(x,y)</math>, изображает комплексное число <math>z=x+iy</math>, где

<math>x=\mathrm{Re}\,z</math> — вещественная часть комплексного числа,

<math>y=\mathrm{Im}\,z</math> — его мнимая часть.

Или же можно сказать, что комплексному числу <math>z=x+iy</math> соответствует радиус-вектор с координатами <math>(x,y).</math> Алгебраические операции над комплексными числами переносятся на операции над соответствующими им точками или векторами. Различные соотношения между комплексными числами получают наглядное изображение на комплексной плоскости:

• сложению комплексных чисел соответствует сложение радиус-векторов;
• умножению на комплексное число соответствует поворот и растяжение радиус-вектора;
• корни n-й степени из числа располагаются в вершинах правильного n-угольника с центром в начале координат.

Комплекснозначные функции комплексного переменного интерпретируются как отображения комплексной плоскости в себя.

Результатом компактификации комплексной плоскости является расширенная комплексная плоскость, называемая также сферой Римана — комплексная плоскость, дополненная бесконечно удалённой точкой, изоморфная обычной сфере <math>S^2</math> (изоморфизм можно установить, например, при помощи стереографической проекции). Комплекснозначные функции в некоторых случаях могут быть продолжены на сферу Римана. Поскольку прямые на плоскости (при стереографической проекции) переходят в окружности на сфере, содержащие бесконечно удалённую точку, комплексные функции удобнее рассматривать на сфере.^{[уточнить]}

Особую роль в комплексном анализе играют конформные отображения.

Множества на комплексной плоскости

Открытые множества

Фундаментальное понятие окрестности вводится на комплексной плоскости очень просто — окрестностью <math>{\mathcal U}_{z_0}</math> точки <math>z_0\in\mathbb C</math> называется множество вида <math>{\mathcal U}_{z_0}=\{z\colon|z-z_0|<r\},\,r>0</math>. Геометрически на комплексной плоскости окрестности имеют очень простой вид — это просто окружности с центром в определенных точках комплексной плоскости. Иногда для удобства требуется рассматривать проколотые окрестности <math>\dot{\mathcal U}_{z_0}={\mathcal U}_{z_0}\setminus\{z_0\}</math>.

Теперь определим открытое множество — согласно одному из вариантов классического определения из общей топологии, открытым множество будет, если оно для любой своей точки содержит некоторую его окрестность. Определение окрестности у нас уже есть, соответственно, открытое множество на <math>\mathbb C</math> полностью определено.

Предельная точка и замкнутое множество

Определить предельную точку тоже будет нетрудно — точка <math>z_0\in\mathbb C</math> будет предельной для множества <math>G\subset\mathbb C</math>, если для произвольной окрестности <math>{\mathcal U}_{z_0}</math> пересечение <math>{\mathcal U}_{z_0}\cap G</math> будет непусто. Другими словами, точка является предельной, если в произвольной «близости» к ней всегда можно будет найти точки множества. Множество предельных точек иногда называется производным и обозначается <math>G'</math>.

Множество <math>G\subset\mathbb C</math> будет называться замкнутым, если для него справедливо включение <math>G'\subset G</math>. Ясно видно, что для произвольного множества <math>G</math> множество <math>\overline{G}=G\cup G'</math> будет замкнуто; оно называется замыканием множества <math>G</math>.

Граница

Точка <math>z_0\in\mathbb C</math> будет называться граничной для множества <math>G\subset\mathbb C</math>, если для произвольной окрестности <math>{\mathcal U}_{z_0}</math> пересечения <math>{\mathcal U}_{z_0}\cap G</math> и <math>{\mathcal U}_{z_0}\cap({\mathbb C}\setminus G)</math> будут непусты. Множество всех граничных точек называется граничным множеством <math>\partial G</math> или просто границей.

Всюду плотные множества

Множество <math>E\subset\mathbb C</math> будет называться всюду плотным в ином множестве <math>G\subset\mathbb C</math>, если для произвольной точки <math>z_0\in G</math> и любой окрестности <math>{\mathcal U}_{z_0}</math> пересечение <math>{\mathcal U}_{z_0}\cap E</math> непусто.

Связность

Расстояние между множествами

Как известно из элементарной математики, на комплексной плоскости расстояние между двумя точками равно модулю их разности. Теперь определим расстояние между точкой <math>z_0</math> и некоторым множеством <math>G\subset\mathbb C</math> как величину <math>\mathrm{dist}\,(z_0,G)=\inf_{z\in G}|z-z_0|</math>.

На базе этого понятия уже можно определить расстояние между двумя произвольными множествами в <math>\mathbb C</math>: <math>\mathrm{dist}\,(G_1,G_2)=\inf_{z\in G_1}\mathrm{dist}\,(z,G_2)=\inf_{z\in G_2}\mathrm{dist}\,(z,G_1)</math>.

Связность

Множество <math>G\subset\mathbb C</math> называется связным, если для него выполнено соотношение <math>\inf_{z_1,z_2\in G}|z_1-z_2|=0</math>. Если данная величина не равна нулю, то множество называется несвязным. Можно показать, что несвязное множество <math>G</math> можно представить в виде объединения (конечного или счетного) <math>\sum G_n</math>, где <math>G_n</math> — непересекающиеся связные множества, называемые связными компонентами множества <math>G</math>. Мощность множества связных компонент называется порядком связности.

Выпуклые, звездные и линейно связные множества

Множество <math>G\subset\mathbb C</math> называется звездным относительно точки <math>z_0\in G</math>, если для произвольной точки <math>z\in G</math> выполняется включение <math>\overline{z_0z}\subset G</math>.

Множество <math>G\subset\mathbb C</math> называется выпуклым, если оно звездно относительно любой своей точки. Множество <math>G^*</math> называется выпуклой оболочкой множества <math>G</math>, если оно выпукло, <math>G\subset G^*</math> и для любого выпуклого множества <math>G^{**}</math>, содержащего множество <math>G</math> выполняется включение <math>G^*\subset G^{**}</math>.

Ломаной <math>\Gamma</math> называется множество точек комплексной плоскости, представимое в виде объединения отрезков. Множество <math>G</math> называется линейно связным, если для двух произвольных точек <math>z_1,z_2\in G</math> существует ломаная <math>\Gamma\subset G</math> такая, что выполняется <math>z_1,z_2\in\Gamma</math>.

Можно доказать, что любое линейно связное множество будет связным. Отсюда немедленно следует, что связны все выпуклые и звездные множества.

Кривые на <math>\mathbb C</math>

Кривые и пути

Кривой или путём на комплексной плоскости <math>\mathbb C</math> называется отображение вида <math>\varphi(t)\colon[0;1]\to\mathbb C</math>. Особо стоит отметить, что при таком определении можно конкретизировать не только вид кривой, который будет зависеть от аналитических свойств функции <math>\varphi(t)</math>, но и её направление. Для примера, функции <math>\varphi(t)</math> и <math>\eta(t)=\varphi(1-t)</math> будут определять одинаковую по виду кривую, но проходимую в противоположных направлениях.

Гомотопия кривых

Кривые <math>\varphi_0(t)\colon[0;1]\to\mathbb C</math> и <math>\varphi_1(t)\colon[0;1]\to\mathbb C</math> называются гомотопными, если существует кривая <math>\xi(t,q)\colon[0;1]\times[0;1]\to\mathbb C</math>, зависящая от параметра <math>q</math> таким образом, что <math>\xi(t,0)\equiv\varphi_0</math> и <math>\xi(t,1)\equiv\varphi_1</math>.

Расширенная комплексная плоскость и бесконечно удалённая точка

В комплексном анализе часто полезно рассматривать расширенную комплексную плоскость, дополненную по сравнению с обычной бесконечно удалённой точкой <math>(z=\infty)</math>:

<math>\widehat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\}</math>

Геометрически точка <math>\infty</math> изображается точкой сферы Римана (её «северный полюс»).

При таком подходе неограниченно возрастающая (по модулю) последовательность считается сходящейся к бесконечно удалённой точке. Алгебраические операции с бесконечностью не производятся, хотя несколько алгебраических соотношений имеют место:

• <math>\frac{z}{\infty}=0; \ \ z+\infty=\infty \ (z \ne \infty)</math>
• <math>z \cdot \infty=\infty; \ \ \frac{z}{0}=\infty \ (z \ne 0)</math>

<math>\varepsilon</math>-окрестностью бесконечно удалённой точки считается множество точек <math>z</math>, модуль которых больше, чем <math>\varepsilon</math>, то есть внешняя часть <math>\varepsilon</math>-окрестностей начала координат.

См. также

• Словарь терминов общей топологии

Литература

• Арнольд В. И. [www.mccme.ru/free-books/izdano/2002/VIA-kvatern.pdf Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов], МЦНМО, 2002.
• Понтрягин Л. [kvant.mccme.ru/1982/03/kompleksnye_chisla.htm Комплексные числа], Квант, № 3, 1982.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной.. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ: учебник для студентов механико-математических специальностей университетов, СПб.: 2004.

Отрывок, характеризующий Комплексная плоскость

Источник этого противуречия лежит в том, что историками, изучающими события по письмам государей и генералов, по реляциям, рапортам, планам и т. п., предположена ложная, никогда не существовавшая цель последнего периода войны 1812 года, – цель, будто бы состоявшая в том, чтобы отрезать и поймать Наполеона с маршалами и армией.
Цели этой никогда не было и не могло быть, потому что она не имела смысла, и достижение ее было совершенно невозможно.
Цель эта не имела никакого смысла, во первых, потому, что расстроенная армия Наполеона со всей возможной быстротой бежала из России, то есть исполняла то самое, что мог желать всякий русский. Для чего же было делать различные операции над французами, которые бежали так быстро, как только они могли?
Во вторых, бессмысленно было становиться на дороге людей, всю свою энергию направивших на бегство.
В третьих, бессмысленно было терять свои войска для уничтожения французских армий, уничтожавшихся без внешних причин в такой прогрессии, что без всякого загораживания пути они не могли перевести через границу больше того, что они перевели в декабре месяце, то есть одну сотую всего войска.
В четвертых, бессмысленно было желание взять в плен императора, королей, герцогов – людей, плен которых в высшей степени затруднил бы действия русских, как то признавали самые искусные дипломаты того времени (J. Maistre и другие). Еще бессмысленнее было желание взять корпуса французов, когда свои войска растаяли наполовину до Красного, а к корпусам пленных надо было отделять дивизии конвоя, и когда свои солдаты не всегда получали полный провиант и забранные уже пленные мерли с голода.
Весь глубокомысленный план о том, чтобы отрезать и поймать Наполеона с армией, был подобен тому плану огородника, который, выгоняя из огорода потоптавшую его гряды скотину, забежал бы к воротам и стал бы по голове бить эту скотину. Одно, что можно бы было сказать в оправдание огородника, было бы то, что он очень рассердился. Но это нельзя было даже сказать про составителей проекта, потому что не они пострадали от потоптанных гряд.
Но, кроме того, что отрезывание Наполеона с армией было бессмысленно, оно было невозможно.
Невозможно это было, во первых, потому что, так как из опыта видно, что движение колонн на пяти верстах в одном сражении никогда не совпадает с планами, то вероятность того, чтобы Чичагов, Кутузов и Витгенштейн сошлись вовремя в назначенное место, была столь ничтожна, что она равнялась невозможности, как то и думал Кутузов, еще при получении плана сказавший, что диверсии на большие расстояния не приносят желаемых результатов.
Во вторых, невозможно было потому, что, для того чтобы парализировать ту силу инерции, с которой двигалось назад войско Наполеона, надо было без сравнения большие войска, чем те, которые имели русские.
В третьих, невозможно это было потому, что военное слово отрезать не имеет никакого смысла. Отрезать можно кусок хлеба, но не армию. Отрезать армию – перегородить ей дорогу – никак нельзя, ибо места кругом всегда много, где можно обойти, и есть ночь, во время которой ничего не видно, в чем могли бы убедиться военные ученые хоть из примеров Красного и Березины. Взять же в плен никак нельзя без того, чтобы тот, кого берут в плен, на это не согласился, как нельзя поймать ласточку, хотя и можно взять ее, когда она сядет на руку. Взять в плен можно того, кто сдается, как немцы, по правилам стратегии и тактики. Но французские войска совершенно справедливо не находили этого удобным, так как одинаковая голодная и холодная смерть ожидала их на бегстве и в плену.
В четвертых же, и главное, это было невозможно потому, что никогда, с тех пор как существует мир, не было войны при тех страшных условиях, при которых она происходила в 1812 году, и русские войска в преследовании французов напрягли все свои силы и не могли сделать большего, не уничтожившись сами.
В движении русской армии от Тарутина до Красного выбыло пятьдесят тысяч больными и отсталыми, то есть число, равное населению большого губернского города. Половина людей выбыла из армии без сражений.
И об этом то периоде кампании, когда войска без сапог и шуб, с неполным провиантом, без водки, по месяцам ночуют в снегу и при пятнадцати градусах мороза; когда дня только семь и восемь часов, а остальное ночь, во время которой не может быть влияния дисциплины; когда, не так как в сраженье, на несколько часов только люди вводятся в область смерти, где уже нет дисциплины, а когда люди по месяцам живут, всякую минуту борясь с смертью от голода и холода; когда в месяц погибает половина армии, – об этом то периоде кампании нам рассказывают историки, как Милорадович должен был сделать фланговый марш туда то, а Тормасов туда то и как Чичагов должен был передвинуться туда то (передвинуться выше колена в снегу), и как тот опрокинул и отрезал, и т. д., и т. д.
Русские, умиравшие наполовину, сделали все, что можно сделать и должно было сделать для достижения достойной народа цели, и не виноваты в том, что другие русские люди, сидевшие в теплых комнатах, предполагали сделать то, что было невозможно.
Все это странное, непонятное теперь противоречие факта с описанием истории происходит только оттого, что историки, писавшие об этом событии, писали историю прекрасных чувств и слов разных генералов, а не историю событий.
Для них кажутся очень занимательны слова Милорадовича, награды, которые получил тот и этот генерал, и их предположения; а вопрос о тех пятидесяти тысячах, которые остались по госпиталям и могилам, даже не интересует их, потому что не подлежит их изучению.
А между тем стоит только отвернуться от изучения рапортов и генеральных планов, а вникнуть в движение тех сотен тысяч людей, принимавших прямое, непосредственное участие в событии, и все, казавшиеся прежде неразрешимыми, вопросы вдруг с необыкновенной легкостью и простотой получают несомненное разрешение.
Цель отрезывания Наполеона с армией никогда не существовала, кроме как в воображении десятка людей. Она не могла существовать, потому что она была бессмысленна, и достижение ее было невозможно.
Цель народа была одна: очистить свою землю от нашествия. Цель эта достигалась, во первых, сама собою, так как французы бежали, и потому следовало только не останавливать это движение. Во вторых, цель эта достигалась действиями народной войны, уничтожавшей французов, и, в третьих, тем, что большая русская армия шла следом за французами, готовая употребить силу в случае остановки движения французов.
Русская армия должна была действовать, как кнут на бегущее животное. И опытный погонщик знал, что самое выгодное держать кнут поднятым, угрожая им, а не по голове стегать бегущее животное.



Когда человек видит умирающее животное, ужас охватывает его: то, что есть он сам, – сущность его, в его глазах очевидно уничтожается – перестает быть. Но когда умирающее есть человек, и человек любимый – ощущаемый, тогда, кроме ужаса перед уничтожением жизни, чувствуется разрыв и духовная рана, которая, так же как и рана физическая, иногда убивает, иногда залечивается, но всегда болит и боится внешнего раздражающего прикосновения.
После смерти князя Андрея Наташа и княжна Марья одинаково чувствовали это. Они, нравственно согнувшись и зажмурившись от грозного, нависшего над ними облака смерти, не смели взглянуть в лицо жизни. Они осторожно берегли свои открытые раны от оскорбительных, болезненных прикосновений. Все: быстро проехавший экипаж по улице, напоминание об обеде, вопрос девушки о платье, которое надо приготовить; еще хуже, слово неискреннего, слабого участия болезненно раздражало рану, казалось оскорблением и нарушало ту необходимую тишину, в которой они обе старались прислушиваться к незамолкшему еще в их воображении страшному, строгому хору, и мешало вглядываться в те таинственные бесконечные дали, которые на мгновение открылись перед ними.
Только вдвоем им было не оскорбительно и не больно. Они мало говорили между собой. Ежели они говорили, то о самых незначительных предметах. И та и другая одинаково избегали упоминания о чем нибудь, имеющем отношение к будущему.
Признавать возможность будущего казалось им оскорблением его памяти. Еще осторожнее они обходили в своих разговорах все то, что могло иметь отношение к умершему. Им казалось, что то, что они пережили и перечувствовали, не могло быть выражено словами. Им казалось, что всякое упоминание словами о подробностях его жизни нарушало величие и святыню совершившегося в их глазах таинства.