Числовая функция

Числова́я фу́нкция (в математике) — функция, которая действует из одного числового пространства (множества) в другое числовое пространство (множество). Числовые множества — это множества натуральных (<math>\mathbb{N}</math>), рациональных (<math>\mathbb{Q}</math>), вещественных (<math>\mathbb{R}</math>) и комплексных чисел (<math>\mathbb{C}</math>) вместе с определёнными над соответствующими множествами алгебраическими операциями и с заданным на каждом множестве отношении линейным порядком. Числовые пространства — это числовые множества вместе с функцией расстояния, заданной на соответствующем множестве.

В самом общем случае, числовая функция — это функция, принимающая значения в области вещественных чисел и которая задана на произвольном (чаще всего) метрическом пространстве. Такова, например, индикаторная или характеристическая функция множества. Другой пример числовой функции — это функция расстояния (или, что то же самое, метрика).

Числовые функции, заданные на множестве вещественных или комплексных чисел называются функциями соответственно вещественного или комплексного переменного и являются предметом рассмотрения в анализе:

• вещественнозначные функции вещественного переменного рассматриваются в математическом анализе,
• комплекснозначные функции комплексного переменного рассматриваются в комплексном анализе.

Важнейший предмет рассмотрения в анализе — представление числовых функций в виде системы приближений (числовых и функциональных рядов).

Числовые функции обладают как общими свойствами, которыми могут обладать отображения произвольных метрических пространств (например, непрерывность), так и рядом свойств, непосредственно связанных с природой числовых пространств. Таковы свойства

• дифференцируемости, интегрируемости, суммируемости, измеримости (для произвольных числовых функций);

а, также, свойства

• чётности (нечётности), монотонности (для вещественнозначных функций вещественного переменного);
• аналитичности, многолистности (для комплекснозначных функций комплексного переменного).

Числовые функции широко используются на практике при решении прикладных задач.

Свойства

Свойства, связанные с отношением порядка

Пусть дана функция <math>f\colon M \subset \R \to \R.</math> Тогда

• функция <math>f</math> называется возраста́ющей на <math>M</math>, если

<math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \ge f(y);</math>

• функция <math>f</math> называется стро́го возраста́ющей на <math>M</math>, если

<math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) > f(y);</math>

• функция <math>f</math> называется убыва́ющей на <math>M</math>, если

<math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \le f(y);</math>

• функция <math>f</math> называется стро́го убыва́ющей на <math>M</math>, если

<math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) < f(y).</math>

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Периодичность

Функция <math>f\colon M \to N</math> называется периодической с пери́одом <math>T \not= 0</math> , если справедливо

<math>f(x+T) = f(x), \quad \forall x \in M</math>.

Если это равенство не выполнено ни для какого <math>T \in M,\, T \not=0</math> , то функция <math>f</math> называется апериоди́ческой.

Чётность

• Функция <math>f\colon X \to \mathbb{R}</math> называется нечётной, если справедливо равенство

<math>f(-x)=-f(x), \quad \forall x \in X.</math>

• Функция <math>f</math> называется чётной, если справедливо равенство

<math>f(-x) = f(x),\quad \forall x \in X.</math>

Экстремумы функции

Пусть дана функция <math>f\colon M \subset \R \to \R,</math> и <math>x_0 \in M^0</math> — внутренняя точка области определения <math>f.</math> Тогда

• <math>x_0</math> называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

  <math>\forall x\in M\quad f(x) \le f(x_0);</math>

• <math>x_0</math> называется точкой абсолютного минимума, если

  <math>\forall x\in M\quad f(x) \ge f(x_0).</math>

График функции

• Пусть дано отображение <math>F: X \to Y</math>. Тогда его гра́фиком <math>\Gamma</math> называется множество
       <math>\Gamma = \{ (x,F(x)) \mid x \in X \} \subset X \times Y</math>,
  где <math>X \times Y</math> обозначает декартово произведение множеств <math>X</math> и <math>Y</math>.
  • Графиком непрерывной функции <math>F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> является кривая на двумерной плоскости.
  • Графиком непрерывной функции <math>F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> является поверхность в трёхмерном пространстве.

Примеры

• Функция Дирихле
  • Возвращает единицу, если аргумент — рациональное число, если же иррациональное, то возвращает ноль.

    <math>D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \not\in \mathbb{Q} \end{cases}</math>

  • Область определения: <math>\R</math> (вся числовая ось).
  • Область значений: <math>\left\{ 0, 1 \right\}</math>.

• Функция sgn(x)
  • Возвращает знак аргумента.

    <math>\sgn x = \begin{cases} +1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}</math>

  • Область определения: <math>\R</math>.
  • Область значений: <math>\left\{ -1, 0, +1 \right\}</math>.

• <math>y = \sqrt{1 - x^2}</math>
  • Область определения: <math>\left[ -1, +1 \right]</math>.
  • Область значений: <math>\left[ 0, +1 \right]</math>.

• Факториал
  • Возвращает произведение всех натуральных чисел, не больших данного. Кроме того, <math>0! = 1</math>.

    <math> n! = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ n \cdot \left( n - 1 \right)!, & n \neq 0 \end{cases} </math>

  • Область определения: <math>\N_0</math> (множество натуральных чисел с нулём).
  • Область значений: <math>\left\{ 1, 2, 6, 24, 120, \ldots \right\}</math>

• Антье (пол)
  • Возвращает целую часть числа.

    <math>\lfloor x \rfloor = \max \left\{ q \in \Z \mid q \leqslant x \right\}</math>

  • Область определения: <math>\R</math>.
  • Область значений: <math>\Z</math>.

Способы задания функции

Словесный	С помощью естественного языка	Игрек равно целая часть от икс.
Аналитический	С помощью формулы и стандартных обозначений	<math>f(x)=x!</math>
Графический	С помощью графика
Табличный	С помощью таблицы значений	x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Аналитический способ

Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим. Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью. Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде. Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно. Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания. Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа — основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений.

Примеры:

• <math>f \left( x \right) = x^2</math>;
• <math>f \left( x, y \right) = x \lor y</math>;
• <math>f \left( A \right) = \left| A \right|</math>;
• <math>f \left( x \right) = \begin{cases} x^2, & x \leqslant 0; \\ -x^3, & x > 0. \end{cases}</math>

Табличный способ

Функцию можно задать, перечислив все её возможные аргументы и значения для них. После этого, если это необходимо, функцию можно доопределить для аргументов, которых нет в таблице, путём интерполяции или экстраполяции. Примерами могут служить программа передач, расписание поездов или таблица значений булевой функции:

<math>x</math>	<math>y</math>	<math>x \land y</math>
<math>0</math>	<math>0</math>	<math>0</math>
<math>0</math>	<math>1</math>	<math>0</math>
<math>1</math>	<math>0</math>	<math>0</math>
<math>1</math>	<math>1</math>	<math>1</math>

Графический способ

Функцию можно задать графически, отобразив множество точек её графика на плоскости. Это может быть приблизительный набросок, как должна выглядеть функция, или показания, снятые с прибора, например, с осциллографа. Этот способ задания может страдать от недостатка точности, однако в некоторых случаях другие способы задания вообще не могут быть применены. Кроме того, такой способ задания один из самых презентативных, удобных для восприятия и качественного эвристического анализа функции.

Рекурсивный способ

Функция может быть задана рекурсивно, то есть через саму себя. В этом случае одни значения функции определяются через другие её значения.

Примеры:

• факториал;
• числа Фибоначчи;
• функция Аккермана.

Словесный способ

Функцию можно описать словами на естественном языке каким-либо однозначным способом, например, описав её входные и выходные значения, или алгоритм, с помощью которого функция задаёт соответствия между этими значениями. Наряду с графическим способом, иногда это единственный способ описать функцию, хотя естественные языки и не столь детерминированы, как формальные.

Примеры:

• функция, возвращающая цифру в записи числа пи по её номеру;
• функция, возвращающая число атомов во вселенной в определённый момент времени;
• функция, принимающая в качестве аргумента человека, и возвращающая число людей, которое родится на свет после его рождения.

Классы числовых функций

• Интегрируемые функции
• Интегрируемые по Лебегу функции
• Равномерно непрерывные функции
• Целые функции

Исторический очерк

Появление понятия

Математическое моделирование явлений и законов природы приводит к возникновению понятия функции, которое поначалу ограничивается алгебраическими функциями (многочленами) и тригонометрией. Как и остальные понятия математики, общее понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. Разумеется, и в древности при вычислениях люди неосознанно использовали различные функции (например, квадратный корень) и даже уравнения, однако как отдельный математический объект, допускающий общее аналитическое исследование, функция могла появиться только после создания Виетом символической алгебры (XVI век). Даже в XVII веке Непер, вводя в обиход логарифмическую функцию, использовал обходной путь — определил её кинематически.

Первоначально объектом исследования стали разнообразные алгебраические формулы. Декарт рассматривал неалгебраические зависимости только в виде редчайшего исключения. У него и у Ферма формула понимается не просто как вычислительный алгоритм, но рассматривается как (геометрически представимое) преобразование одной непрерывно меняющейся величины в другую. У Барроу («Лекции по геометрии», 1670) в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием функции как целостного объекта. В геометрическом и механическом виде понятие функции мы находим и у Ньютона.

Математический термин «функция» впервые появился в 1673 году у Лейбница, и притом не совсем в современном его понимании: Лейбниц вначале называл функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек). Позже, однако, в переписке с Иоганном Бернулли (1694) содержание термина расширяется и в конце концов становится синонимом «аналитически заданной зависимости».

В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых для познания кривых линий» Лопиталя (1696) термин «функция» не употребляется.

Первые попытки определения

В начале XVIII века были получены разложения всех стандартных функций и многих других. Благодаря, в основном, Эйлеру (1748) были уточнены их определения. Эйлер впервые ясно определил показательную функцию, а также логарифмическую как обратную к ней, и дал их разложения в ряд. До Эйлера многие математики считали, например, тангенс тупого угла положительным; Эйлер дал современные определения всех тригонометрических функций (сам термин «тригонометрическая функция» предложил Клюгель в 1770 году).

В приложениях анализа появляется множество новых трансцендентных функций. Когда Гольдбах и Бернулли попытались найти непрерывный аналог факториала, молодой Эйлер сообщил в письме Гольдбаху о свойствах гамма-функции (1729, название принадлежит Лежандру). Через год Эйлер открыл бета-функцию, и далее неоднократно возвращался к этой теме. Гамма-функция и связанные с ней (бета, дзета, цилиндрические (Бесселя)) находят многочисленные применения в анализе, а также в теории чисел, а дзета-функция Римана оказалась незаменимым инструментом для изучения распределения простых чисел в натуральном ряду.

В 1757 году Винченцо Риккати, исследуя секторы гиперболы, вводит гиперболические функции ch, sh (именно с такими обозначениями) и перечисляет их основные свойства. Немало новых функций возникло в связи с неинтегрируемостью различных выражений. Эйлер определил (1768) интегральный логарифм (название предложил И. Зольднер, 1809), Л. Маскерони — интегральные синус и косинус (1790). Вскоре появляется и новый раздел математики: специальные функции.

С этим пёстрым собранием надо было что-то делать, и математики приняли радикальное решение: все функции, независимо от их происхождения, были объявлены равноправными. Единственное требование, предъявляемое к функции — определённость, причём имеется в виду не однозначность самой функции (она может быть и многозначной), а недвусмысленность способа вычисления её значений.

Первое общее определение функции встречается у Иоганна Бернулли (1718): «Функция — это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания функции аналитической формулой. Та же идея выступает и в определении Эйлера, данном им во «Введении в анализ бесконечных» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств».

Всё же в XVIII веке отсутствовало достаточно ясное понимание различия между функцией и её аналитическим выражением. Это нашло отражение в той критике, которой Эйлер подверг решение задачи о колебании струны, предложенное Бернулли (1753). В основе решения Бернулли лежало утверждение о возможности разложить любую функцию в тригонометрический ряд. Возражая против этого, Эйлер указал на то, что подобная разложимость доставляла бы для любой функции аналитическое выражение, в то время как функция может и не иметь его (она может быть задана графиком, «начертанным свободным движением руки»).

Эта критика убедительна и с современной точки зрения, ибо не все функции допускают аналитическое изображение (правда, у Бернулли речь идёт о непрерывной функции, которая, как установил в 1885 Вейерштрасс, всегда аналитически изобразима, но она может и не разлагаться в тригонометрический ряд). Однако другие аргументы Эйлера уже ошибочны. Например, он считал, что разложение функции в тригонометрический ряд доставляет для неё единое аналитическое выражение, в то время как она может быть «смешанной» функцией, представимой на разных отрезках разными формулами. На самом деле одно другому не противоречит, но в ту эпоху казалось невозможным, чтобы два аналитических выражения, совпадая на части отрезка, не совпадали на всём его протяжении. Позже, при исследовании функций многих переменных он понял ограниченность прежнего определения и признал разрывные функции, а затем, после исследования комплексного логарифма — даже многозначные функции.

Под влиянием теории бесконечных рядов, которые давали алгебраическое представление почти любой гладкой зависимости, наличие явной формулы постепенно перестало быть обязательным для функции. Логарифм или показательная функция, например, вычисляются как пределы бесконечных рядов; такой подход распространился и на другие нестандартные функции. С рядами стали обращаться как с конечными выражениями, первоначально никак не обосновывая корректность операций и даже не гарантируя сходимость ряда.

Начиная с «Дифференциального исчисления» (1755), Эйлер фактически принимает современное определение числовой функции как произвольного соответствия чисел:

Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых.

Общее определение

С начала XIX века уже всё чаще и чаще определяют понятие функции без упоминания об её аналитическом изображении. В «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению» (1797—1802) Лакруа говорится: «Всякая величина, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних» независимо от того, известен или неизвестен способ вычисления её значений.

В «Аналитической теории тепла» Фурье (1822) имеется фраза: «Функция <math>fx</math> обозначает функцию совершенно произвольную, то есть последовательность данных значений, подчинённых или нет общему закону и соответствующих всем значениям <math>x</math>, содержащимся между <math>0</math> и какой-либо величиной <math>x</math>».

Близко к современному и определение Лобачевского:

…Общее понятие функции требует, чтобы функцией от <math>x</math> называть число, которое даётся для каждого <math>x</math> и вместе с <math>x</math> постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной… Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе.

Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое Дирихле, неоднократно предлагалось и до него. Вот определение Дирихле (1837):

у есть функция переменной х (на отрезке <math>a \leqslant x \leqslant b</math>), если каждому значению х (на этом отрезке) соответствует совершенно определённое значение у, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие — аналитической формулой, графиком, таблицей, либо даже просто словами.

К концу XIX века понятие функции перерастает рамки числовых систем. Первыми это сделали векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение.

Примеры

Неявные функции

Функции могут быть заданы при помощи других функций и уравнений.

Предположим, задана функция <math>F</math> двух переменных, которая удовлетворяет специальным условиям (условиям теоремы о неявных функций), тогда уравнение вида.

<math>F(x,y)=0</math>.

определяет неявную функцию вида <math>y=f(x)</math>.

См. также

• Выпуклость
• Гладкость
• График функции
• Дифференцируемость
• Исследование функции
• Непрерывность
• Рациональность
• Среднее значение функции
• Числовая последовательность

Литература

• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.

• Том 1 [ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat1.htm С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)]
• Том 2 [ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat2.htm Математика XVII столетия. (1970)]
• Том 3 [ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm Математика XVIII столетия. (1972)]

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, ч.1, 3 изд., М., 1971;. ч.2, 2 изд., М., 1980;
• Кудрявцев Л. Д. Математический анализ, 2 изд., т.1-2, 1973,
• Никольский С. М. Курс математического анализа, 2 изд., т.1-2, М., 1975;
• Юшкевич А. П. О развитии понятия функции // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1966. — № 17. — С. 123-150.

Отрывок, характеризующий Числовая функция

– Отчего ж… – рассеянно отвечал Долохов, вглядываясь в лицо французского барабанщика.
– Давно у тебя молодчик этот? – спросил он у Денисова.
– Нынче взяли, да ничего не знает. Я оставил его пг'и себе.
– Ну, а остальных ты куда деваешь? – сказал Долохов.
– Как куда? Отсылаю под г'асписки! – вдруг покраснев, вскрикнул Денисов. – И смело скажу, что на моей совести нет ни одного человека. Разве тебе тг'удно отослать тг'идцать ли, тг'иста ли человек под конвоем в гог'од, чем маг'ать, я пг'ямо скажу, честь солдата.
– Вот молоденькому графчику в шестнадцать лет говорить эти любезности прилично, – с холодной усмешкой сказал Долохов, – а тебе то уж это оставить пора.
– Что ж, я ничего не говорю, я только говорю, что я непременно поеду с вами, – робко сказал Петя.
– А нам с тобой пора, брат, бросить эти любезности, – продолжал Долохов, как будто он находил особенное удовольствие говорить об этом предмете, раздражавшем Денисова. – Ну этого ты зачем взял к себе? – сказал он, покачивая головой. – Затем, что тебе его жалко? Ведь мы знаем эти твои расписки. Ты пошлешь их сто человек, а придут тридцать. Помрут с голоду или побьют. Так не все ли равно их и не брать?
Эсаул, щуря светлые глаза, одобрительно кивал головой.
– Это все г'авно, тут Рассуждать нечего. Я на свою душу взять не хочу. Ты говог'ишь – помг'ут. Ну, хог'ошо. Только бы не от меня.
Долохов засмеялся.
– Кто же им не велел меня двадцать раз поймать? А ведь поймают – меня и тебя, с твоим рыцарством, все равно на осинку. – Он помолчал. – Однако надо дело делать. Послать моего казака с вьюком! У меня два французских мундира. Что ж, едем со мной? – спросил он у Пети.
– Я? Да, да, непременно, – покраснев почти до слез, вскрикнул Петя, взглядывая на Денисова.
Опять в то время, как Долохов заспорил с Денисовым о том, что надо делать с пленными, Петя почувствовал неловкость и торопливость; но опять не успел понять хорошенько того, о чем они говорили. «Ежели так думают большие, известные, стало быть, так надо, стало быть, это хорошо, – думал он. – А главное, надо, чтобы Денисов не смел думать, что я послушаюсь его, что он может мной командовать. Непременно поеду с Долоховым во французский лагерь. Он может, и я могу».
На все убеждения Денисова не ездить Петя отвечал, что он тоже привык все делать аккуратно, а не наобум Лазаря, и что он об опасности себе никогда не думает.
– Потому что, – согласитесь сами, – если не знать верно, сколько там, от этого зависит жизнь, может быть, сотен, а тут мы одни, и потом мне очень этого хочется, и непременно, непременно поеду, вы уж меня не удержите, – говорил он, – только хуже будет…


Одевшись в французские шинели и кивера, Петя с Долоховым поехали на ту просеку, с которой Денисов смотрел на лагерь, и, выехав из леса в совершенной темноте, спустились в лощину. Съехав вниз, Долохов велел сопровождавшим его казакам дожидаться тут и поехал крупной рысью по дороге к мосту. Петя, замирая от волнения, ехал с ним рядом.
– Если попадемся, я живым не отдамся, у меня пистолет, – прошептал Петя.
– Не говори по русски, – быстрым шепотом сказал Долохов, и в ту же минуту в темноте послышался оклик: «Qui vive?» [Кто идет?] и звон ружья.
Кровь бросилась в лицо Пети, и он схватился за пистолет.
– Lanciers du sixieme, [Уланы шестого полка.] – проговорил Долохов, не укорачивая и не прибавляя хода лошади. Черная фигура часового стояла на мосту.
– Mot d'ordre? [Отзыв?] – Долохов придержал лошадь и поехал шагом.
– Dites donc, le colonel Gerard est ici? [Скажи, здесь ли полковник Жерар?] – сказал он.
– Mot d'ordre! – не отвечая, сказал часовой, загораживая дорогу.
– Quand un officier fait sa ronde, les sentinelles ne demandent pas le mot d'ordre… – крикнул Долохов, вдруг вспыхнув, наезжая лошадью на часового. – Je vous demande si le colonel est ici? [Когда офицер объезжает цепь, часовые не спрашивают отзыва… Я спрашиваю, тут ли полковник?]
И, не дожидаясь ответа от посторонившегося часового, Долохов шагом поехал в гору.
Заметив черную тень человека, переходящего через дорогу, Долохов остановил этого человека и спросил, где командир и офицеры? Человек этот, с мешком на плече, солдат, остановился, близко подошел к лошади Долохова, дотрогиваясь до нее рукою, и просто и дружелюбно рассказал, что командир и офицеры были выше на горе, с правой стороны, на дворе фермы (так он называл господскую усадьбу).
Проехав по дороге, с обеих сторон которой звучал от костров французский говор, Долохов повернул во двор господского дома. Проехав в ворота, он слез с лошади и подошел к большому пылавшему костру, вокруг которого, громко разговаривая, сидело несколько человек. В котелке с краю варилось что то, и солдат в колпаке и синей шинели, стоя на коленях, ярко освещенный огнем, мешал в нем шомполом.
– Oh, c'est un dur a cuire, [С этим чертом не сладишь.] – говорил один из офицеров, сидевших в тени с противоположной стороны костра.
– Il les fera marcher les lapins… [Он их проберет…] – со смехом сказал другой. Оба замолкли, вглядываясь в темноту на звук шагов Долохова и Пети, подходивших к костру с своими лошадьми.
– Bonjour, messieurs! [Здравствуйте, господа!] – громко, отчетливо выговорил Долохов.
Офицеры зашевелились в тени костра, и один, высокий офицер с длинной шеей, обойдя огонь, подошел к Долохову.
– C'est vous, Clement? – сказал он. – D'ou, diable… [Это вы, Клеман? Откуда, черт…] – но он не докончил, узнав свою ошибку, и, слегка нахмурившись, как с незнакомым, поздоровался с Долоховым, спрашивая его, чем он может служить. Долохов рассказал, что он с товарищем догонял свой полк, и спросил, обращаясь ко всем вообще, не знали ли офицеры чего нибудь о шестом полку. Никто ничего не знал; и Пете показалось, что офицеры враждебно и подозрительно стали осматривать его и Долохова. Несколько секунд все молчали.
– Si vous comptez sur la soupe du soir, vous venez trop tard, [Если вы рассчитываете на ужин, то вы опоздали.] – сказал с сдержанным смехом голос из за костра.
Долохов отвечал, что они сыты и что им надо в ночь же ехать дальше.
Он отдал лошадей солдату, мешавшему в котелке, и на корточках присел у костра рядом с офицером с длинной шеей. Офицер этот, не спуская глаз, смотрел на Долохова и переспросил его еще раз: какого он был полка? Долохов не отвечал, как будто не слыхал вопроса, и, закуривая коротенькую французскую трубку, которую он достал из кармана, спрашивал офицеров о том, в какой степени безопасна дорога от казаков впереди их.
– Les brigands sont partout, [Эти разбойники везде.] – отвечал офицер из за костра.
Долохов сказал, что казаки страшны только для таких отсталых, как он с товарищем, но что на большие отряды казаки, вероятно, не смеют нападать, прибавил он вопросительно. Никто ничего не ответил.
«Ну, теперь он уедет», – всякую минуту думал Петя, стоя перед костром и слушая его разговор.
Но Долохов начал опять прекратившийся разговор и прямо стал расспрашивать, сколько у них людей в батальоне, сколько батальонов, сколько пленных. Спрашивая про пленных русских, которые были при их отряде, Долохов сказал:
– La vilaine affaire de trainer ces cadavres apres soi. Vaudrait mieux fusiller cette canaille, [Скверное дело таскать за собой эти трупы. Лучше бы расстрелять эту сволочь.] – и громко засмеялся таким странным смехом, что Пете показалось, французы сейчас узнают обман, и он невольно отступил на шаг от костра. Никто не ответил на слова и смех Долохова, и французский офицер, которого не видно было (он лежал, укутавшись шинелью), приподнялся и прошептал что то товарищу. Долохов встал и кликнул солдата с лошадьми.
«Подадут или нет лошадей?» – думал Петя, невольно приближаясь к Долохову.
Лошадей подали.
– Bonjour, messieurs, [Здесь: прощайте, господа.] – сказал Долохов.
Петя хотел сказать bonsoir [добрый вечер] и не мог договорить слова. Офицеры что то шепотом говорили между собою. Долохов долго садился на лошадь, которая не стояла; потом шагом поехал из ворот. Петя ехал подле него, желая и не смея оглянуться, чтоб увидать, бегут или не бегут за ними французы.
Выехав на дорогу, Долохов поехал не назад в поле, а вдоль по деревне. В одном месте он остановился, прислушиваясь.
– Слышишь? – сказал он.
Петя узнал звуки русских голосов, увидал у костров темные фигуры русских пленных. Спустившись вниз к мосту, Петя с Долоховым проехали часового, который, ни слова не сказав, мрачно ходил по мосту, и выехали в лощину, где дожидались казаки.
– Ну, теперь прощай. Скажи Денисову, что на заре, по первому выстрелу, – сказал Долохов и хотел ехать, но Петя схватился за него рукою.
– Нет! – вскрикнул он, – вы такой герой. Ах, как хорошо! Как отлично! Как я вас люблю.
– Хорошо, хорошо, – сказал Долохов, но Петя не отпускал его, и в темноте Долохов рассмотрел, что Петя нагибался к нему. Он хотел поцеловаться. Долохов поцеловал его, засмеялся и, повернув лошадь, скрылся в темноте.

Х
Вернувшись к караулке, Петя застал Денисова в сенях. Денисов в волнении, беспокойстве и досаде на себя, что отпустил Петю, ожидал его.
– Слава богу! – крикнул он. – Ну, слава богу! – повторял он, слушая восторженный рассказ Пети. – И чег'т тебя возьми, из за тебя не спал! – проговорил Денисов. – Ну, слава богу, тепег'ь ложись спать. Еще вздг'емнем до утг'а.
– Да… Нет, – сказал Петя. – Мне еще не хочется спать. Да я и себя знаю, ежели засну, так уж кончено. И потом я привык не спать перед сражением.
Петя посидел несколько времени в избе, радостно вспоминая подробности своей поездки и живо представляя себе то, что будет завтра. Потом, заметив, что Денисов заснул, он встал и пошел на двор.
На дворе еще было совсем темно. Дождик прошел, но капли еще падали с деревьев. Вблизи от караулки виднелись черные фигуры казачьих шалашей и связанных вместе лошадей. За избушкой чернелись две фуры, у которых стояли лошади, и в овраге краснелся догоравший огонь. Казаки и гусары не все спали: кое где слышались, вместе с звуком падающих капель и близкого звука жевания лошадей, негромкие, как бы шепчущиеся голоса.
Петя вышел из сеней, огляделся в темноте и подошел к фурам. Под фурами храпел кто то, и вокруг них стояли, жуя овес, оседланные лошади. В темноте Петя узнал свою лошадь, которую он называл Карабахом, хотя она была малороссийская лошадь, и подошел к ней.
– Ну, Карабах, завтра послужим, – сказал он, нюхая ее ноздри и целуя ее.
– Что, барин, не спите? – сказал казак, сидевший под фурой.
– Нет; а… Лихачев, кажется, тебя звать? Ведь я сейчас только приехал. Мы ездили к французам. – И Петя подробно рассказал казаку не только свою поездку, но и то, почему он ездил и почему он считает, что лучше рисковать своей жизнью, чем делать наобум Лазаря.
– Что же, соснули бы, – сказал казак.
– Нет, я привык, – отвечал Петя. – А что, у вас кремни в пистолетах не обились? Я привез с собою. Не нужно ли? Ты возьми.
Казак высунулся из под фуры, чтобы поближе рассмотреть Петю.
– Оттого, что я привык все делать аккуратно, – сказал Петя. – Иные так, кое как, не приготовятся, потом и жалеют. Я так не люблю.
– Это точно, – сказал казак.
– Да еще вот что, пожалуйста, голубчик, наточи мне саблю; затупи… (но Петя боялся солгать) она никогда отточена не была. Можно это сделать?
– Отчего ж, можно.
Лихачев встал, порылся в вьюках, и Петя скоро услыхал воинственный звук стали о брусок. Он влез на фуру и сел на край ее. Казак под фурой точил саблю.
– А что же, спят молодцы? – сказал Петя.
– Кто спит, а кто так вот.
– Ну, а мальчик что?
– Весенний то? Он там, в сенцах, завалился. Со страху спится. Уж рад то был.
Долго после этого Петя молчал, прислушиваясь к звукам. В темноте послышались шаги и показалась черная фигура.
– Что точишь? – спросил человек, подходя к фуре.
– А вот барину наточить саблю.
– Хорошее дело, – сказал человек, который показался Пете гусаром. – У вас, что ли, чашка осталась?
– А вон у колеса.
Гусар взял чашку.
– Небось скоро свет, – проговорил он, зевая, и прошел куда то.
Петя должен бы был знать, что он в лесу, в партии Денисова, в версте от дороги, что он сидит на фуре, отбитой у французов, около которой привязаны лошади, что под ним сидит казак Лихачев и натачивает ему саблю, что большое черное пятно направо – караулка, и красное яркое пятно внизу налево – догоравший костер, что человек, приходивший за чашкой, – гусар, который хотел пить; но он ничего не знал и не хотел знать этого. Он был в волшебном царстве, в котором ничего не было похожего на действительность. Большое черное пятно, может быть, точно была караулка, а может быть, была пещера, которая вела в самую глубь земли. Красное пятно, может быть, был огонь, а может быть – глаз огромного чудовища. Может быть, он точно сидит теперь на фуре, а очень может быть, что он сидит не на фуре, а на страшно высокой башне, с которой ежели упасть, то лететь бы до земли целый день, целый месяц – все лететь и никогда не долетишь. Может быть, что под фурой сидит просто казак Лихачев, а очень может быть, что это – самый добрый, храбрый, самый чудесный, самый превосходный человек на свете, которого никто не знает. Может быть, это точно проходил гусар за водой и пошел в лощину, а может быть, он только что исчез из виду и совсем исчез, и его не было.
Что бы ни увидал теперь Петя, ничто бы не удивило его. Он был в волшебном царстве, в котором все было возможно.
Он поглядел на небо. И небо было такое же волшебное, как и земля. На небе расчищало, и над вершинами дерев быстро бежали облака, как будто открывая звезды. Иногда казалось, что на небе расчищало и показывалось черное, чистое небо. Иногда казалось, что эти черные пятна были тучки. Иногда казалось, что небо высоко, высоко поднимается над головой; иногда небо спускалось совсем, так что рукой можно было достать его.
Петя стал закрывать глаза и покачиваться.
Капли капали. Шел тихий говор. Лошади заржали и подрались. Храпел кто то.
– Ожиг, жиг, ожиг, жиг… – свистела натачиваемая сабля. И вдруг Петя услыхал стройный хор музыки, игравшей какой то неизвестный, торжественно сладкий гимн. Петя был музыкален, так же как Наташа, и больше Николая, но он никогда не учился музыке, не думал о музыке, и потому мотивы, неожиданно приходившие ему в голову, были для него особенно новы и привлекательны. Музыка играла все слышнее и слышнее. Напев разрастался, переходил из одного инструмента в другой. Происходило то, что называется фугой, хотя Петя не имел ни малейшего понятия о том, что такое фуга. Каждый инструмент, то похожий на скрипку, то на трубы – но лучше и чище, чем скрипки и трубы, – каждый инструмент играл свое и, не доиграв еще мотива, сливался с другим, начинавшим почти то же, и с третьим, и с четвертым, и все они сливались в одно и опять разбегались, и опять сливались то в торжественно церковное, то в ярко блестящее и победное.
«Ах, да, ведь это я во сне, – качнувшись наперед, сказал себе Петя. – Это у меня в ушах. А может быть, это моя музыка. Ну, опять. Валяй моя музыка! Ну!..»
Он закрыл глаза. И с разных сторон, как будто издалека, затрепетали звуки, стали слаживаться, разбегаться, сливаться, и опять все соединилось в тот же сладкий и торжественный гимн. «Ах, это прелесть что такое! Сколько хочу и как хочу», – сказал себе Петя. Он попробовал руководить этим огромным хором инструментов.
«Ну, тише, тише, замирайте теперь. – И звуки слушались его. – Ну, теперь полнее, веселее. Еще, еще радостнее. – И из неизвестной глубины поднимались усиливающиеся, торжественные звуки. – Ну, голоса, приставайте!» – приказал Петя. И сначала издалека послышались голоса мужские, потом женские. Голоса росли, росли в равномерном торжественном усилии. Пете страшно и радостно было внимать их необычайной красоте.
С торжественным победным маршем сливалась песня, и капли капали, и вжиг, жиг, жиг… свистела сабля, и опять подрались и заржали лошади, не нарушая хора, а входя в него.
Петя не знал, как долго это продолжалось: он наслаждался, все время удивлялся своему наслаждению и жалел, что некому сообщить его. Его разбудил ласковый голос Лихачева.
– Готово, ваше благородие, надвое хранцуза распластаете.
Петя очнулся.
– Уж светает, право, светает! – вскрикнул он.
Невидные прежде лошади стали видны до хвостов, и сквозь оголенные ветки виднелся водянистый свет. Петя встряхнулся, вскочил, достал из кармана целковый и дал Лихачеву, махнув, попробовал шашку и положил ее в ножны. Казаки отвязывали лошадей и подтягивали подпруги.
– Вот и командир, – сказал Лихачев. Из караулки вышел Денисов и, окликнув Петю, приказал собираться.


Быстро в полутьме разобрали лошадей, подтянули подпруги и разобрались по командам. Денисов стоял у караулки, отдавая последние приказания. Пехота партии, шлепая сотней ног, прошла вперед по дороге и быстро скрылась между деревьев в предрассветном тумане. Эсаул что то приказывал казакам. Петя держал свою лошадь в поводу, с нетерпением ожидая приказания садиться. Обмытое холодной водой, лицо его, в особенности глаза горели огнем, озноб пробегал по спине, и во всем теле что то быстро и равномерно дрожало.
– Ну, готово у вас все? – сказал Денисов. – Давай лошадей.
Лошадей подали. Денисов рассердился на казака за то, что подпруги были слабы, и, разбранив его, сел. Петя взялся за стремя. Лошадь, по привычке, хотела куснуть его за ногу, но Петя, не чувствуя своей тяжести, быстро вскочил в седло и, оглядываясь на тронувшихся сзади в темноте гусар, подъехал к Денисову.
– Василий Федорович, вы мне поручите что нибудь? Пожалуйста… ради бога… – сказал он. Денисов, казалось, забыл про существование Пети. Он оглянулся на него.
– Об одном тебя пг'ошу, – сказал он строго, – слушаться меня и никуда не соваться.
Во все время переезда Денисов ни слова не говорил больше с Петей и ехал молча. Когда подъехали к опушке леса, в поле заметно уже стало светлеть. Денисов поговорил что то шепотом с эсаулом, и казаки стали проезжать мимо Пети и Денисова. Когда они все проехали, Денисов тронул свою лошадь и поехал под гору. Садясь на зады и скользя, лошади спускались с своими седоками в лощину. Петя ехал рядом с Денисовым. Дрожь во всем его теле все усиливалась. Становилось все светлее и светлее, только туман скрывал отдаленные предметы. Съехав вниз и оглянувшись назад, Денисов кивнул головой казаку, стоявшему подле него.
– Сигнал! – проговорил он.
Казак поднял руку, раздался выстрел. И в то же мгновение послышался топот впереди поскакавших лошадей, крики с разных сторон и еще выстрелы.
В то же мгновение, как раздались первые звуки топота и крика, Петя, ударив свою лошадь и выпустив поводья, не слушая Денисова, кричавшего на него, поскакал вперед. Пете показалось, что вдруг совершенно, как середь дня, ярко рассвело в ту минуту, как послышался выстрел. Он подскакал к мосту. Впереди по дороге скакали казаки. На мосту он столкнулся с отставшим казаком и поскакал дальше. Впереди какие то люди, – должно быть, это были французы, – бежали с правой стороны дороги на левую. Один упал в грязь под ногами Петиной лошади.
У одной избы столпились казаки, что то делая. Из середины толпы послышался страшный крик. Петя подскакал к этой толпе, и первое, что он увидал, было бледное, с трясущейся нижней челюстью лицо француза, державшегося за древко направленной на него пики.
– Ура!.. Ребята… наши… – прокричал Петя и, дав поводья разгорячившейся лошади, поскакал вперед по улице.
Впереди слышны были выстрелы. Казаки, гусары и русские оборванные пленные, бежавшие с обеих сторон дороги, все громко и нескладно кричали что то. Молодцеватый, без шапки, с красным нахмуренным лицом, француз в синей шинели отбивался штыком от гусаров. Когда Петя подскакал, француз уже упал. Опять опоздал, мелькнуло в голове Пети, и он поскакал туда, откуда слышались частые выстрелы. Выстрелы раздавались на дворе того барского дома, на котором он был вчера ночью с Долоховым. Французы засели там за плетнем в густом, заросшем кустами саду и стреляли по казакам, столпившимся у ворот. Подъезжая к воротам, Петя в пороховом дыму увидал Долохова с бледным, зеленоватым лицом, кричавшего что то людям. «В объезд! Пехоту подождать!» – кричал он, в то время как Петя подъехал к нему.
– Подождать?.. Ураааа!.. – закричал Петя и, не медля ни одной минуты, поскакал к тому месту, откуда слышались выстрелы и где гуще был пороховой дым. Послышался залп, провизжали пустые и во что то шлепнувшие пули. Казаки и Долохов вскакали вслед за Петей в ворота дома. Французы в колеблющемся густом дыме одни бросали оружие и выбегали из кустов навстречу казакам, другие бежали под гору к пруду. Петя скакал на своей лошади вдоль по барскому двору и, вместо того чтобы держать поводья, странно и быстро махал обеими руками и все дальше и дальше сбивался с седла на одну сторону. Лошадь, набежав на тлевший в утреннем свето костер, уперлась, и Петя тяжело упал на мокрую землю. Казаки видели, как быстро задергались его руки и ноги, несмотря на то, что голова его не шевелилась. Пуля пробила ему голову.