Математические обозначения

Список используемых в математике специфических символов можно увидеть в статье Таблица математических символов

Математические обозначения («язык математики») — сложная графическая система обозначений, служащая для изложения абстрактных математических идей и суждений в человеко-читаемой форме. Составляет (по своей сложности и разнообразию) значительную долю неречевых знаковых систем, применяемых человечеством. В данной статье описывается общепринятая международная система обозначений, хотя различные культуры прошлого имели свои собственные, и некоторые из них даже имеют ограниченное применение до сих пор.

Отметим, что математические обозначения, как правило, применяются совместно с письменной формой какого-то из естественных языков.

Помимо фундаментальной и прикладной математики, математические обозначения имеют широкое применение в физике, а также (в неполном своём объёме) в инженерии, информатике, экономике, да и вообще во всех областях человеческой деятельности, где применяются математические модели. Различия между собственно математическим и прикладным стилем обозначений будут оговорены по ходу текста.

Общие сведения

Система складывалась, наподобие естественных языков, исторически (см. история математических обозначений), и организована наподобие письменности естественных языков, заимствуя оттуда также многие символы (прежде всего, из латинского и греческого алфавитов). Символы, также как и в обычной письменности, изображаются контрастными линиями на равномерном фоне (чёрные на белой бумаге, светлые на тёмной доске, контрастные на мониторе и т. д.), и значение их определяется в первую очередь формой и взаимным расположением. Цвет во внимание не принимается и обычно не используется, но, при использовании букв, такие их характеристики как начертание и даже гарнитура, не влияющие на смысл в обычной письменности, в математических обозначениях могут играть смыслоразличающую роль.

Структура

Обыкновенные математические обозначения (в частности, так называемые математические формулы) пишутся в общем в строку слева направо, однако не обязательно составляют последовательную строку символов. Отдельные блоки символов могут располагаться в верхней или нижней половине строки, даже в случае, когда символы не перекрываются вертикалями. Также, некоторые части располагаются целиком выше или ниже строки. С грамматической же стороны почти любую «формулу» можно считать иерархически организованной структурой типа дерева.

Стандартизация

Математические обозначения представляют систему в смысле взаимосвязи своих компонент, но, в целом, не составляют формальную систему (в понимании самой математики). Они, в сколь-нибудь сложном случае, не могут быть даже разобраны программно. Как и любой естественный язык, «язык математики» полон несогласованных обозначений, омографов, различных (в среде своих носителей) трактовок того, что́ считать правильным и т. п. Нет даже сколь-нибудь обозримого алфавита математических символов, и в частности оттого, что не всегда однозначно решается вопрос, считать ли два обозначения разными символами или же разными написаниями одного символа.

Некоторая часть математических обозначений (в основном, связанная с измерениями) стандартизована в ISO 31-11, однако в целом стандартизация обозначений скорее отсутствует.

Элементы математических обозначений

Числа

Для записи целых чисел как правило применяется десятичная система счисления с арабскими цифрами. Подряд записанная строка цифр интерпретируется как число; возможные исключения оговорены ниже.

При необходимости применить систему счисления с основанием, меньшим десяти, основание записывается в нижний индекс: 20003₈. Системы счисления с основаниями, бо́льшими десяти, в общепринятой математической записи не применяются (хотя, разумеется, изучаются самой наукой), поскольку для них не хватает цифр. В связи с развитием информатики, стала актуальной шестнадцатеричная система счисления, в которой цифры от 10 до 15 обозначаются первыми шестью латинскими буквами от A до F. Для обозначения таких чисел в информатике используется несколько разных подходов, но в математику они не перенесены.

Десятичная дробь употребляется для обозначения вещественных чисел в прикладных областях (означая, как правило, приближённое значение, что особо не оговаривается). В математике, если нецелое рациональное число оказалось кратным отрицательной степени десяти, то оно также может быть записано десятичной дробью. Вид разделителя целой и дробной частей (точка или запятая) зависит от традиции, принятой в используемом языке.

В приложениях очень большие или очень малые (по абсолютной величине) часто записываются в экспоненциальной записи: <math>1{,}6 \cdot 10^3</math>. Иногда (особенно вычислители) вместо «умножить на десять в степени» пишут букву «E», то есть <math>1{,}6 \cdot 10^3 = 1{,}6E3</math>, но в большинстве областей (включая «чистую» математику) такая запись не употребляется.

Математика же стремится более к точности, чем к лёгкости обозначений, и поэтому нужное число по мере возможности будет записано в виде выражения, нежели приближённо.

Атомарные символы

Из буквенных символов употребляются, в основном, латинские и греческие буквы. Регистр важен. Латинские буквы «I» (прописное «ай») и «l» (строчное «эл») в прямом начертании пишутся с засечками, дабы не путались с вертикальной чертой «|» и друг с другом, и вообще стремятся использовать начертания, как можно меньше похожие на другие используемые символы. Готические буквы считаются отдельными буквами. В принципе, никаких ограничений на используемые алфавиты нет.

Также можно считать атомарными слова, записанные латинскими буквами, — общепринятые обозначения некоторых функций и операторов, например «log» (на письме они не разбиваются пробелами, не переносятся и т. д.); см. список математических аббревиатур. Такие слова записываются прямым (не курсивным) шрифтом строчными буквами (за исключением, возможно, первой буквы, которая может быть прописной). Существуют также диграфы, состоящие из нелатинских символов.

Не стоит использовать символы вроде «Ȉ» (английское «ай» с точками), так как подобные символы могут быть легко перепутаны с производными (см. ниже).

Надстрочные и подстрочные знаки

См. также: #Индексы

Скобки, подобные им символы и разделители

См. также: Скобки

Круглые скобки «()» используются:

• для группировки (то есть, для указания последовательности операций) (подробнее см. в статье о приоритете операций);
• в синтаксисе функций;
• в других случаях.

Квадратные скобки «[]» нередко применяются в значении группировки, когда приходится использовать много пар скобок. В таком случае они ставятся снаружи и (при аккуратной типографике) имеют бо́льшую высоту, чем скобки, стоя́щие внутри.

Квадратные «[]» и круглые «()» скобки используются при обозначении закрытых и открытых промежутков соответственно.

Фигурные скобки «{}» используются, как правило, для определения множеств, хотя в отношении них справедлива та же оговорка, что и для квадратных скобок. Левая «{» и правая «}» скобки могут использоваться по отдельности; их назначение описано ниже.

Символы угловых скобок «<math>\langle\; \rangle</math>» при аккуратной типографике должны иметь тупые углы и тем отличаться от схожих символов неравенства, имеющих прямой или острый угол. На практике же на это не следует надеяться (особенно, при ручной записи формул) и различать их приходится при помощи интуиции.

Часто используются пары симметричных (относительно вертикальной оси) символов, в том числе и отличных от перечисленных, для выделения куска формулы. Назначение парных скобок описано ниже.

Запятая ", " используется в качестве разделителя. При применении запятой, как разделителя в десятичной дроби (например, в русской традиции), пробелы вокруг запятой не ставятся. Во всех иных случаях (например, при применении запятой, как разделителя аргументов функции) справа от запятой делается небольшой пробел, слева же пробел обычно не ставится.

Двоякую роль играет символ вертикальной черты «|». В зависимости от контекста, он может являться как скобкой (например, абсолютная величина <math>|x|</math>, определитель матрицы <math>|M|</math>), так и разделителем в различных конструкциях или же обозначением начала/конца матрицы.

Индексы

В зависимости от расположения различают верхние и нижние индексы. Верхний индекс может означать (но необязательно означает) возведение в степень, об остальных случаях использования см. ниже.

В отличие от обыкновенной типографики, в математике нередко в качестве «индекса» выступает целое выражение, нередко содержащие дроби и собственные индексы, что приводит к измельчению символов и вообще немало усложняет визуальное распознавание формул.

Взаимное расположение символов

Итак, основные модели расположения символов:

• в строку;
• в несколько связанных строк (см. пример);
• внутри скобок (возможны случаи расположения как в один ряд, так и в несколько);
• строка символов сверху или снизу от расположенного в строке символа (обычно увеличенного размера);
• строка символов меньшей высоты (кегля) пишется справа вверху или справа внизу от символа большей высоты (см. выше);
• две подстроки друг над другом, разделённые горизонтальным прямым отрезком — значение см. в этой статье).

Синтаксис

Константы

Константы — величины, фиксированные уже на момент записи формулы, в частности числовые. О записи целых чисел было сказано выше, однако если оно содержит слишком много цифр, то может быть представлено в виде арифметического выражения, например, <math>2^{127} - 1</math>.

Если записываемое число заведомо является рациональным, то в математике в подавляющем большинстве случаев оно будет записано точно, то есть, как правило, в виде простой дроби (если число нецело).

Алгебраическое число, при возможности, будет записано через корни. Аналогично, любое другое число может быть записано в виде выражения, дающего его точное значение.

Комплексное число может быть записано как <math>a + ib</math>, где a и b — вещественные константы, но может быть применена запись через аргумент и модуль комплексного числа.

При необходимости вокруг записи константы ставятся скобки, и, в общем, запись констант в виде выражений в чистой математике ничем не отличается от записи любых иных выражений.

Ряд математических констант имеют буквенные именные обозначения — см. число Пи (<math>\pi</math>), число Эйлера (<math>e</math>) и ряд других. В науках, использующих математический аппарат, существует множество своих именованных и обозначаемых буквами констант. Например, см. Фундаментальные физические постоянные.

Переменные

В науках встречаются наборы величин, и любая из них может принимать или набор значений и называться переменной величиной (вариантой), или только одно значение и называться константой. В математике от физического смысла величины часто отвлекаются, и тогда переменная величина превращается в отвлечённую (или числовую) переменную, обозначаемую каким-нибудь символом, не занятым специальными обозначениями, о которых было сказано выше.

Переменная X считается заданной, если указано множество принимаемых ею значений {x}. Постоянную же величину удобно рассматривать как переменную, у которой соответствующее множество {x} состоит из одного элемента.

Функции и операторы

В математике не усматривается существенного различия между оператором (унарным), отображением и функцией.

Однако, подразумеваются, что если для записи значения отображения от заданных аргументов необходимо указывать круглые скобки, то символ оного отображения обозначает функцию, в иных случаях скорее говорят об операторе. Символы некоторых функций одного аргумента употребляются и со скобками и без. Многие элементарные функции, например <math>\sin x</math> или <math>\sin(x)</math>, но элементарные функции всегда называются функциями.

Операторы и отношения (унарные и бинарные)

Бинарные операторы и отношения записываются в инфиксной форме, если для них не применяется синтаксис функций. Унарные операторы записываются как попало; в алгебре же обычно знак оператора ставится слева от аргумента (префиксная запись). Оператор дифференцирования записывается штрихом <math>f'</math> (обычно подразумевается дифференцирование по переменной x или просто по единственному аргументу функции) или точкой наверху <math>\dot f</math> (обычно подразумевается дифференцирование по переменной t — времени).

Об использовании арифметических операций и элементарных, а также некоторых иных «стандартных» функций см. статью «математическая формула».

Функции

Функция может упоминаться в двух смыслах: как выражение её значения при заданных аргументах (пишется <math>f(x),\ f(x,y)</math> и т. п.) или собственно как функция. В последнем случае ставится только символ функции, без скобок (хотя зачастую пишут как попало).

Имеется много обозначений общепринятых функций, используемых в математических работах без дополнительных пояснений. В противном случае функцию надо как-то описывать и в фундаментальной математике она принципиально не отличается от переменной и точно также обозначается произвольной буквой. Для обозначения функций-переменных наиболее популярна буква f, также часто применяются g и большинство греческих.

Предопределённые (зарезервированные) обозначения

См. также: Таблица математических символов

Однако, однобуквенным обозначениям может быть, при желании, придан другой смысл. Например, буква i часто используется как обозначение индекса в контексте, где комплексные числа не применяются, а буква π может быть использована как переменная в какой-нибудь комбинаторике. Также, символы теории множеств (такие как «<math>\subset</math>» и «<math>\supset</math>») и исчисления высказываний (такие как «<math>\wedge</math>» и «<math>\vee</math>») могут быть использованы в другом смысле, обычно как отношение порядка и бинарные операции соответственно.

Индексирование

Индексирование графически изображается индексами (обычно нижними, иногда и верхними) и является, в некоторым смысле, способом расширить информационное наполнение переменной. Однако, употребляется оно в трёх несколько различных (хотя и перекрывающихся) смыслах.

Собственно номера

Можно иметь несколько разных переменных, обозначая их одной буквой, аналогично использованию надстрочных знаков. Например: <math>x_1,\ x_2,\ x_3\ldots</math>. Обычно они связаны какой-то общностью, но вообще это не обязательно.

Более того, в качестве «индексов» можно использовать не только числа, но и любые символы. Однако, когда в виде индекса пишется другая переменная и выражение, данная запись интерпретируется как «переменная с номером, определяемым значением индексного выражения».

В тензорном анализе

В линейной алгебре, тензорном анализе, дифференциальной геометрии с индексами (в виде переменных) записываются тензорные величины, причём их количество обозначает ранг тензора. Также употребляются и верхние индексы.

В записи произведения тензорных величин интерпретация зависит от совпадения используемых индексных переменных. Если они все различны, то подразумевается тензорное произведение. Если одна переменная встречается дважды (например: <math>A^k_l B^l_m</math>), то по ней проводится свёртка. Возможна также запись типа <math>A^k_k</math> — след матрицы. Данное обозначение традиционно называют «суммированием по повторяющимся индексам», поскольку в фиксированном базисе именно так и выглядит.

Конструкции с использованием зеркальных (парных) символов

Значения скобкообразных конструкций, отличные от указания последовательности операций (группировки). Если аргументов более одного, то символом разделителя является запятая ", ", если иное не оговорено.

Круглые скобки «()»:

• скалярное произведение (2 аргумента);
• упорядоченная пара (2 аргумента) и т. д. (больше аргументов).

Квадратные скобки «[]»:

• коммутатор (2 аргумента) и подобные операции.

При отсутствии специальных символов скобки «<math>\lfloor\ \rfloor</math>» могут использоваться для обозначения целой части числа.

Фигурные скобки «{}»:

• множества (произвольное количество аргументов через запятую, или же «{выражение|условие}»);
• антикоммутатор (2 аргумента).

Угловые скобки «〈〉»:

• бра и кет (2 или 3 аргумента; разделитель — вертикальная черта «|»), эрмитова форма (2 аргумента);
• кортеж (в математической логике и т. п.; аргументов сколько угодно, хоть 0).

Палки "||" и двойные палки «<math>||\ ||</math>»:

• абсолютная величина («модуль»), норма (1 аргумент).

Множества

См. также: Множество

Множество может быть обозначено, как и другие объекты, в виде предопределённого обозначения, переменной (атомарным символом), в виде результата операции над множествами и т. п. Когда требуется построить множество, используется конструкция «<math>\{</math>выражение<math>\mid</math>условие<math>\}</math>», обозначающее множество всех значений выражения, для которых условие истинно. Переменные, используемые внутри данного выражения, могут быть локальными.

Допустима также запись «<math>\{x\in M\mid</math>условие<math>\}</math>», где

• x — локальная переменная (значения которой формируют искомое множество);
• M — некоторое заранее определённое множество, которое переменная x пробегает.

Множество можно записать и как перечисление: «{элемент}», «{элемент, элемент}», «{элемент, элемент, элемент}» и т. п.

Символы, обозначающие операции над множествами, описаны в статье «Операции над множествами».

Конструкции математической логики

Логические связки

Для записи логических выражений, составляемых из значений предикатов, бинарных отношений и т. п., используются логические связки. Бинарные связки записываются в инфиксной форме. Общеприняты:

• конъюнкция «&» (также «<math>\wedge</math>», особенно в булевой логике);
• дизъюнкция «<math>\vee</math>» (символ «|», в отличие от программирования, в данном значении не употребляется);
• импликация: «<math>\Rightarrow</math>» (как содержательное утверждение), «→» (суждение формальной теории); в случае когда против обыкновения посылка стои́т справа, а следствие — слева, направление стрелки меняется: «<math>\Leftarrow</math>», «<math>\leftarrow</math>»;
• отрицание «¬» (унарная связка, употребляемая в префиксной форме; многие символы бинарных отношений, особенно символ равенства и символ порядка, имеют разновидность со встроенным отрицанием, получаемым обычно перечёркиванием символа).

Пропозициональные константы, а также другие виды логических связок, общепринятых обозначений не имеют (кроме, возможно, области, собственно, математической логики).

«И» и «или» при записи уравнений

Та же самая конъюнкция при записи т. н. системы уравнений обычно обозначается непарной открывающейся фигурной скобкой «{».

Аналогично, дизъюнкция может обозначаться непарной открывающейся квадратной скобкой «[».

Также существует конструкция, аналогичная тернарной условной операции в некоторых языках программирования:

<math>\vartheta(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x \geqslant 0 \end{cases}</math>

Кванторы

• Квантор всеобщности «∀» (при записи тождеств часто опускается и подразумевается по всем переменным)
• Квантор существования «∃», существует также форма со встроенным отрицанием «<math>\not\exists</math>».
• Существование и единственность «∃!» (диграф).

Перевод в неграфическую форму

Электронное кодирование

Наиболее распространённой системой оного является TeX и его расширения.

См. также

• История математических обозначений
• Таблица математических символов

Отрывок, характеризующий Математические обозначения

– Я говорила с ним. Он надеется, что мы успеем уехать завтра; но я думаю, что теперь лучше бы было остаться здесь, – сказала m lle Bourienne. – Потому что, согласитесь, chere Marie, попасть в руки солдат или бунтующих мужиков на дороге – было бы ужасно. – M lle Bourienne достала из ридикюля объявление на нерусской необыкновенной бумаге французского генерала Рамо о том, чтобы жители не покидали своих домов, что им оказано будет должное покровительство французскими властями, и подала ее княжне.
– Я думаю, что лучше обратиться к этому генералу, – сказала m lle Bourienne, – и я уверена, что вам будет оказано должное уважение.
Княжна Марья читала бумагу, и сухие рыдания задергали ее лицо.
– Через кого вы получили это? – сказала она.
– Вероятно, узнали, что я француженка по имени, – краснея, сказала m lle Bourienne.
Княжна Марья с бумагой в руке встала от окна и с бледным лицом вышла из комнаты и пошла в бывший кабинет князя Андрея.
– Дуняша, позовите ко мне Алпатыча, Дронушку, кого нибудь, – сказала княжна Марья, – и скажите Амалье Карловне, чтобы она не входила ко мне, – прибавила она, услыхав голос m lle Bourienne. – Поскорее ехать! Ехать скорее! – говорила княжна Марья, ужасаясь мысли о том, что она могла остаться во власти французов.
«Чтобы князь Андрей знал, что она во власти французов! Чтоб она, дочь князя Николая Андреича Болконского, просила господина генерала Рамо оказать ей покровительство и пользовалась его благодеяниями! – Эта мысль приводила ее в ужас, заставляла ее содрогаться, краснеть и чувствовать еще не испытанные ею припадки злобы и гордости. Все, что только было тяжелого и, главное, оскорбительного в ее положении, живо представлялось ей. «Они, французы, поселятся в этом доме; господин генерал Рамо займет кабинет князя Андрея; будет для забавы перебирать и читать его письма и бумаги. M lle Bourienne lui fera les honneurs de Богучарово. [Мадемуазель Бурьен будет принимать его с почестями в Богучарове.] Мне дадут комнатку из милости; солдаты разорят свежую могилу отца, чтобы снять с него кресты и звезды; они мне будут рассказывать о победах над русскими, будут притворно выражать сочувствие моему горю… – думала княжна Марья не своими мыслями, но чувствуя себя обязанной думать за себя мыслями своего отца и брата. Для нее лично было все равно, где бы ни оставаться и что бы с ней ни было; но она чувствовала себя вместе с тем представительницей своего покойного отца и князя Андрея. Она невольно думала их мыслями и чувствовала их чувствами. Что бы они сказали, что бы они сделали теперь, то самое она чувствовала необходимым сделать. Она пошла в кабинет князя Андрея и, стараясь проникнуться его мыслями, обдумывала свое положение.
Требования жизни, которые она считала уничтоженными со смертью отца, вдруг с новой, еще неизвестной силой возникли перед княжной Марьей и охватили ее. Взволнованная, красная, она ходила по комнате, требуя к себе то Алпатыча, то Михаила Ивановича, то Тихона, то Дрона. Дуняша, няня и все девушки ничего не могли сказать о том, в какой мере справедливо было то, что объявила m lle Bourienne. Алпатыча не было дома: он уехал к начальству. Призванный Михаил Иваныч, архитектор, явившийся к княжне Марье с заспанными глазами, ничего не мог сказать ей. Он точно с той же улыбкой согласия, с которой он привык в продолжение пятнадцати лет отвечать, не выражая своего мнения, на обращения старого князя, отвечал на вопросы княжны Марьи, так что ничего определенного нельзя было вывести из его ответов. Призванный старый камердинер Тихон, с опавшим и осунувшимся лицом, носившим на себе отпечаток неизлечимого горя, отвечал «слушаю с» на все вопросы княжны Марьи и едва удерживался от рыданий, глядя на нее.
Наконец вошел в комнату староста Дрон и, низко поклонившись княжне, остановился у притолоки.
Княжна Марья прошлась по комнате и остановилась против него.
– Дронушка, – сказала княжна Марья, видевшая в нем несомненного друга, того самого Дронушку, который из своей ежегодной поездки на ярмарку в Вязьму привозил ей всякий раз и с улыбкой подавал свой особенный пряник. – Дронушка, теперь, после нашего несчастия, – начала она и замолчала, не в силах говорить дальше.
– Все под богом ходим, – со вздохом сказал он. Они помолчали.
– Дронушка, Алпатыч куда то уехал, мне не к кому обратиться. Правду ли мне говорят, что мне и уехать нельзя?
– Отчего же тебе не ехать, ваше сиятельство, ехать можно, – сказал Дрон.
– Мне сказали, что опасно от неприятеля. Голубчик, я ничего не могу, ничего не понимаю, со мной никого нет. Я непременно хочу ехать ночью или завтра рано утром. – Дрон молчал. Он исподлобья взглянул на княжну Марью.
– Лошадей нет, – сказал он, – я и Яков Алпатычу говорил.
– Отчего же нет? – сказала княжна.
– Все от божьего наказания, – сказал Дрон. – Какие лошади были, под войска разобрали, а какие подохли, нынче год какой. Не то лошадей кормить, а как бы самим с голоду не помереть! И так по три дня не емши сидят. Нет ничего, разорили вконец.
Княжна Марья внимательно слушала то, что он говорил ей.
– Мужики разорены? У них хлеба нет? – спросила она.
– Голодной смертью помирают, – сказал Дрон, – не то что подводы…
– Да отчего же ты не сказал, Дронушка? Разве нельзя помочь? Я все сделаю, что могу… – Княжне Марье странно было думать, что теперь, в такую минуту, когда такое горе наполняло ее душу, могли быть люди богатые и бедные и что могли богатые не помочь бедным. Она смутно знала и слышала, что бывает господский хлеб и что его дают мужикам. Она знала тоже, что ни брат, ни отец ее не отказали бы в нужде мужикам; она только боялась ошибиться как нибудь в словах насчет этой раздачи мужикам хлеба, которым она хотела распорядиться. Она была рада тому, что ей представился предлог заботы, такой, для которой ей не совестно забыть свое горе. Она стала расспрашивать Дронушку подробности о нуждах мужиков и о том, что есть господского в Богучарове.
– Ведь у нас есть хлеб господский, братнин? – спросила она.
– Господский хлеб весь цел, – с гордостью сказал Дрон, – наш князь не приказывал продавать.
– Выдай его мужикам, выдай все, что им нужно: я тебе именем брата разрешаю, – сказала княжна Марья.
Дрон ничего не ответил и глубоко вздохнул.
– Ты раздай им этот хлеб, ежели его довольно будет для них. Все раздай. Я тебе приказываю именем брата, и скажи им: что, что наше, то и ихнее. Мы ничего не пожалеем для них. Так ты скажи.
Дрон пристально смотрел на княжну, в то время как она говорила.
– Уволь ты меня, матушка, ради бога, вели от меня ключи принять, – сказал он. – Служил двадцать три года, худого не делал; уволь, ради бога.
Княжна Марья не понимала, чего он хотел от нее и от чего он просил уволить себя. Она отвечала ему, что она никогда не сомневалась в его преданности и что она все готова сделать для него и для мужиков.


Через час после этого Дуняша пришла к княжне с известием, что пришел Дрон и все мужики, по приказанию княжны, собрались у амбара, желая переговорить с госпожою.
– Да я никогда не звала их, – сказала княжна Марья, – я только сказала Дронушке, чтобы раздать им хлеба.
– Только ради бога, княжна матушка, прикажите их прогнать и не ходите к ним. Все обман один, – говорила Дуняша, – а Яков Алпатыч приедут, и поедем… и вы не извольте…
– Какой же обман? – удивленно спросила княжна
– Да уж я знаю, только послушайте меня, ради бога. Вот и няню хоть спросите. Говорят, не согласны уезжать по вашему приказанию.
– Ты что нибудь не то говоришь. Да я никогда не приказывала уезжать… – сказала княжна Марья. – Позови Дронушку.
Пришедший Дрон подтвердил слова Дуняши: мужики пришли по приказанию княжны.
– Да я никогда не звала их, – сказала княжна. – Ты, верно, не так передал им. Я только сказала, чтобы ты им отдал хлеб.
Дрон, не отвечая, вздохнул.
– Если прикажете, они уйдут, – сказал он.
– Нет, нет, я пойду к ним, – сказала княжна Марья
Несмотря на отговариванье Дуняши и няни, княжна Марья вышла на крыльцо. Дрон, Дуняша, няня и Михаил Иваныч шли за нею. «Они, вероятно, думают, что я предлагаю им хлеб с тем, чтобы они остались на своих местах, и сама уеду, бросив их на произвол французов, – думала княжна Марья. – Я им буду обещать месячину в подмосковной, квартиры; я уверена, что Andre еще больше бы сделав на моем месте», – думала она, подходя в сумерках к толпе, стоявшей на выгоне у амбара.
Толпа, скучиваясь, зашевелилась, и быстро снялись шляпы. Княжна Марья, опустив глаза и путаясь ногами в платье, близко подошла к ним. Столько разнообразных старых и молодых глаз было устремлено на нее и столько было разных лиц, что княжна Марья не видала ни одного лица и, чувствуя необходимость говорить вдруг со всеми, не знала, как быть. Но опять сознание того, что она – представительница отца и брата, придало ей силы, и она смело начала свою речь.
– Я очень рада, что вы пришли, – начала княжна Марья, не поднимая глаз и чувствуя, как быстро и сильно билось ее сердце. – Мне Дронушка сказал, что вас разорила война. Это наше общее горе, и я ничего не пожалею, чтобы помочь вам. Я сама еду, потому что уже опасно здесь и неприятель близко… потому что… Я вам отдаю все, мои друзья, и прошу вас взять все, весь хлеб наш, чтобы у вас не было нужды. А ежели вам сказали, что я отдаю вам хлеб с тем, чтобы вы остались здесь, то это неправда. Я, напротив, прошу вас уезжать со всем вашим имуществом в нашу подмосковную, и там я беру на себя и обещаю вам, что вы не будете нуждаться. Вам дадут и домы и хлеба. – Княжна остановилась. В толпе только слышались вздохи.
– Я не от себя делаю это, – продолжала княжна, – я это делаю именем покойного отца, который был вам хорошим барином, и за брата, и его сына.
Она опять остановилась. Никто не прерывал ее молчания.
– Горе наше общее, и будем делить всё пополам. Все, что мое, то ваше, – сказала она, оглядывая лица, стоявшие перед нею.
Все глаза смотрели на нее с одинаковым выражением, значения которого она не могла понять. Было ли это любопытство, преданность, благодарность, или испуг и недоверие, но выражение на всех лицах было одинаковое.
– Много довольны вашей милостью, только нам брать господский хлеб не приходится, – сказал голос сзади.
– Да отчего же? – сказала княжна.
Никто не ответил, и княжна Марья, оглядываясь по толпе, замечала, что теперь все глаза, с которыми она встречалась, тотчас же опускались.
– Отчего же вы не хотите? – спросила она опять.
Никто не отвечал.
Княжне Марье становилось тяжело от этого молчанья; она старалась уловить чей нибудь взгляд.
– Отчего вы не говорите? – обратилась княжна к старому старику, который, облокотившись на палку, стоял перед ней. – Скажи, ежели ты думаешь, что еще что нибудь нужно. Я все сделаю, – сказала она, уловив его взгляд. Но он, как бы рассердившись за это, опустил совсем голову и проговорил:
– Чего соглашаться то, не нужно нам хлеба.
– Что ж, нам все бросить то? Не согласны. Не согласны… Нет нашего согласия. Мы тебя жалеем, а нашего согласия нет. Поезжай сама, одна… – раздалось в толпе с разных сторон. И опять на всех лицах этой толпы показалось одно и то же выражение, и теперь это было уже наверное не выражение любопытства и благодарности, а выражение озлобленной решительности.
– Да вы не поняли, верно, – с грустной улыбкой сказала княжна Марья. – Отчего вы не хотите ехать? Я обещаю поселить вас, кормить. А здесь неприятель разорит вас…
Но голос ее заглушали голоса толпы.
– Нет нашего согласия, пускай разоряет! Не берем твоего хлеба, нет согласия нашего!
Княжна Марья старалась уловить опять чей нибудь взгляд из толпы, но ни один взгляд не был устремлен на нее; глаза, очевидно, избегали ее. Ей стало странно и неловко.
– Вишь, научила ловко, за ней в крепость иди! Дома разори да в кабалу и ступай. Как же! Я хлеб, мол, отдам! – слышались голоса в толпе.
Княжна Марья, опустив голову, вышла из круга и пошла в дом. Повторив Дрону приказание о том, чтобы завтра были лошади для отъезда, она ушла в свою комнату и осталась одна с своими мыслями.


Долго эту ночь княжна Марья сидела у открытого окна в своей комнате, прислушиваясь к звукам говора мужиков, доносившегося с деревни, но она не думала о них. Она чувствовала, что, сколько бы она ни думала о них, она не могла бы понять их. Она думала все об одном – о своем горе, которое теперь, после перерыва, произведенного заботами о настоящем, уже сделалось для нее прошедшим. Она теперь уже могла вспоминать, могла плакать и могла молиться. С заходом солнца ветер затих. Ночь была тихая и свежая. В двенадцатом часу голоса стали затихать, пропел петух, из за лип стала выходить полная луна, поднялся свежий, белый туман роса, и над деревней и над домом воцарилась тишина.
Одна за другой представлялись ей картины близкого прошедшего – болезни и последних минут отца. И с грустной радостью она теперь останавливалась на этих образах, отгоняя от себя с ужасом только одно последнее представление его смерти, которое – она чувствовала – она была не в силах созерцать даже в своем воображении в этот тихий и таинственный час ночи. И картины эти представлялись ей с такой ясностью и с такими подробностями, что они казались ей то действительностью, то прошедшим, то будущим.
То ей живо представлялась та минута, когда с ним сделался удар и его из сада в Лысых Горах волокли под руки и он бормотал что то бессильным языком, дергал седыми бровями и беспокойно и робко смотрел на нее.
«Он и тогда хотел сказать мне то, что он сказал мне в день своей смерти, – думала она. – Он всегда думал то, что он сказал мне». И вот ей со всеми подробностями вспомнилась та ночь в Лысых Горах накануне сделавшегося с ним удара, когда княжна Марья, предчувствуя беду, против его воли осталась с ним. Она не спала и ночью на цыпочках сошла вниз и, подойдя к двери в цветочную, в которой в эту ночь ночевал ее отец, прислушалась к его голосу. Он измученным, усталым голосом говорил что то с Тихоном. Ему, видно, хотелось поговорить. «И отчего он не позвал меня? Отчего он не позволил быть мне тут на месте Тихона? – думала тогда и теперь княжна Марья. – Уж он не выскажет никогда никому теперь всего того, что было в его душе. Уж никогда не вернется для него и для меня эта минута, когда бы он говорил все, что ему хотелось высказать, а я, а не Тихон, слушала бы и понимала его. Отчего я не вошла тогда в комнату? – думала она. – Может быть, он тогда же бы сказал мне то, что он сказал в день смерти. Он и тогда в разговоре с Тихоном два раза спросил про меня. Ему хотелось меня видеть, а я стояла тут, за дверью. Ему было грустно, тяжело говорить с Тихоном, который не понимал его. Помню, как он заговорил с ним про Лизу, как живую, – он забыл, что она умерла, и Тихон напомнил ему, что ее уже нет, и он закричал: „Дурак“. Ему тяжело было. Я слышала из за двери, как он, кряхтя, лег на кровать и громко прокричал: „Бог мой!Отчего я не взошла тогда? Что ж бы он сделал мне? Что бы я потеряла? А может быть, тогда же он утешился бы, он сказал бы мне это слово“. И княжна Марья вслух произнесла то ласковое слово, которое он сказал ей в день смерти. «Ду ше нь ка! – повторила княжна Марья это слово и зарыдала облегчающими душу слезами. Она видела теперь перед собою его лицо. И не то лицо, которое она знала с тех пор, как себя помнила, и которое она всегда видела издалека; а то лицо – робкое и слабое, которое она в последний день, пригибаясь к его рту, чтобы слышать то, что он говорил, в первый раз рассмотрела вблизи со всеми его морщинами и подробностями.
«Душенька», – повторила она.
«Что он думал, когда сказал это слово? Что он думает теперь? – вдруг пришел ей вопрос, и в ответ на это она увидала его перед собой с тем выражением лица, которое у него было в гробу на обвязанном белым платком лице. И тот ужас, который охватил ее тогда, когда она прикоснулась к нему и убедилась, что это не только не был он, но что то таинственное и отталкивающее, охватил ее и теперь. Она хотела думать о другом, хотела молиться и ничего не могла сделать. Она большими открытыми глазами смотрела на лунный свет и тени, всякую секунду ждала увидеть его мертвое лицо и чувствовала, что тишина, стоявшая над домом и в доме, заковывала ее.
– Дуняша! – прошептала она. – Дуняша! – вскрикнула она диким голосом и, вырвавшись из тишины, побежала к девичьей, навстречу бегущим к ней няне и девушкам.


17 го августа Ростов и Ильин, сопутствуемые только что вернувшимся из плена Лаврушкой и вестовым гусаром, из своей стоянки Янково, в пятнадцати верстах от Богучарова, поехали кататься верхами – попробовать новую, купленную Ильиным лошадь и разузнать, нет ли в деревнях сена.
Богучарово находилось последние три дня между двумя неприятельскими армиями, так что так же легко мог зайти туда русский арьергард, как и французский авангард, и потому Ростов, как заботливый эскадронный командир, желал прежде французов воспользоваться тем провиантом, который оставался в Богучарове.
Ростов и Ильин были в самом веселом расположении духа. Дорогой в Богучарово, в княжеское именье с усадьбой, где они надеялись найти большую дворню и хорошеньких девушек, они то расспрашивали Лаврушку о Наполеоне и смеялись его рассказам, то перегонялись, пробуя лошадь Ильина.
Ростов и не знал и не думал, что эта деревня, в которую он ехал, была именье того самого Болконского, который был женихом его сестры.
Ростов с Ильиным в последний раз выпустили на перегонку лошадей в изволок перед Богучаровым, и Ростов, перегнавший Ильина, первый вскакал в улицу деревни Богучарова.
– Ты вперед взял, – говорил раскрасневшийся Ильин.
– Да, всё вперед, и на лугу вперед, и тут, – отвечал Ростов, поглаживая рукой своего взмылившегося донца.
– А я на французской, ваше сиятельство, – сзади говорил Лаврушка, называя французской свою упряжную клячу, – перегнал бы, да только срамить не хотел.
Они шагом подъехали к амбару, у которого стояла большая толпа мужиков.
Некоторые мужики сняли шапки, некоторые, не снимая шапок, смотрели на подъехавших. Два старые длинные мужика, с сморщенными лицами и редкими бородами, вышли из кабака и с улыбками, качаясь и распевая какую то нескладную песню, подошли к офицерам.
– Молодцы! – сказал, смеясь, Ростов. – Что, сено есть?
– И одинакие какие… – сказал Ильин.
– Развесе…oo…ооо…лая бесе… бесе… – распевали мужики с счастливыми улыбками.
Один мужик вышел из толпы и подошел к Ростову.
– Вы из каких будете? – спросил он.
– Французы, – отвечал, смеючись, Ильин. – Вот и Наполеон сам, – сказал он, указывая на Лаврушку.
– Стало быть, русские будете? – переспросил мужик.
– А много вашей силы тут? – спросил другой небольшой мужик, подходя к ним.
– Много, много, – отвечал Ростов. – Да вы что ж собрались тут? – прибавил он. – Праздник, что ль?
– Старички собрались, по мирскому делу, – отвечал мужик, отходя от него.
В это время по дороге от барского дома показались две женщины и человек в белой шляпе, шедшие к офицерам.
– В розовом моя, чур не отбивать! – сказал Ильин, заметив решительно подвигавшуюся к нему Дуняшу.
– Наша будет! – подмигнув, сказал Ильину Лаврушка.
– Что, моя красавица, нужно? – сказал Ильин, улыбаясь.
– Княжна приказали узнать, какого вы полка и ваши фамилии?
– Это граф Ростов, эскадронный командир, а я ваш покорный слуга.
– Бе…се…е…ду…шка! – распевал пьяный мужик, счастливо улыбаясь и глядя на Ильина, разговаривающего с девушкой. Вслед за Дуняшей подошел к Ростову Алпатыч, еще издали сняв свою шляпу.
– Осмелюсь обеспокоить, ваше благородие, – сказал он с почтительностью, но с относительным пренебрежением к юности этого офицера и заложив руку за пазуху. – Моя госпожа, дочь скончавшегося сего пятнадцатого числа генерал аншефа князя Николая Андреевича Болконского, находясь в затруднении по случаю невежества этих лиц, – он указал на мужиков, – просит вас пожаловать… не угодно ли будет, – с грустной улыбкой сказал Алпатыч, – отъехать несколько, а то не так удобно при… – Алпатыч указал на двух мужиков, которые сзади так и носились около него, как слепни около лошади.
– А!.. Алпатыч… А? Яков Алпатыч!.. Важно! прости ради Христа. Важно! А?.. – говорили мужики, радостно улыбаясь ему. Ростов посмотрел на пьяных стариков и улыбнулся.
– Или, может, это утешает ваше сиятельство? – сказал Яков Алпатыч с степенным видом, не заложенной за пазуху рукой указывая на стариков.
– Нет, тут утешенья мало, – сказал Ростов и отъехал. – В чем дело? – спросил он.
– Осмелюсь доложить вашему сиятельству, что грубый народ здешний не желает выпустить госпожу из имения и угрожает отпречь лошадей, так что с утра все уложено и ее сиятельство не могут выехать.
– Не может быть! – вскрикнул Ростов.
– Имею честь докладывать вам сущую правду, – повторил Алпатыч.
Ростов слез с лошади и, передав ее вестовому, пошел с Алпатычем к дому, расспрашивая его о подробностях дела. Действительно, вчерашнее предложение княжны мужикам хлеба, ее объяснение с Дроном и с сходкою так испортили дело, что Дрон окончательно сдал ключи, присоединился к мужикам и не являлся по требованию Алпатыча и что поутру, когда княжна велела закладывать, чтобы ехать, мужики вышли большой толпой к амбару и выслали сказать, что они не выпустят княжны из деревни, что есть приказ, чтобы не вывозиться, и они выпрягут лошадей. Алпатыч выходил к ним, усовещивая их, но ему отвечали (больше всех говорил Карп; Дрон не показывался из толпы), что княжну нельзя выпустить, что на то приказ есть; а что пускай княжна остается, и они по старому будут служить ей и во всем повиноваться.
В ту минуту, когда Ростов и Ильин проскакали по дороге, княжна Марья, несмотря на отговариванье Алпатыча, няни и девушек, велела закладывать и хотела ехать; но, увидав проскакавших кавалеристов, их приняли за французов, кучера разбежались, и в доме поднялся плач женщин.