CKM-матрица

Аромат в физике элементарных частиц

Ароматы и квантовые числа: Лептонное число: L Барионное число: B Странность: S Очарование: C Прелесть: B' Истинность: T Изоспин: I или Iz Слабый изоспин: Tz Электрический заряд: Q Комбинации: Гиперзаряд: Y Y = 2(Q − Iz) Y = B + S + C + B' + T Слабый гиперзаряд: YW YW = 2(Q − Tz) YW = B − L См. также: CPT-инвариантность CKM-матрица CP-инвариантность Хиральность PMNS-матрица

CKM-ма́трица, ма́трица Каби́ббо — Кобая́ши — Маска́вы (ККМ-матрица, матрица смешивания кварков, иногда раньше называлась KM-матрица) в Стандартной модели физики элементарных частиц — унитарная матрица, которая содержит информацию о силе слабых распадов, изменяющих аромат. Технически, она определяет преобразование между двумя базисами квантовых состояний: состояниями свободно движущихся кварков (то есть их массовыми состояниями) и состояниями кварков, участвующих в слабых взаимодействиях. Она важна также для понимания нарушения CP-симметрии. Точное математическое определение этой матрицы дано в статье по основам Стандартной модели. Эта матрица была предложена для трёх поколений кварков японскими физиками Макото Кобаяси и Тосихидэ Маскава, которые добавили одно поколение к матрице, ранее предложенной Николой Кабиббо.

Матрица

<math>\begin{bmatrix} V_{ud} & V_{us} & V_{ub} \\ V_{cd} & V_{cs} & V_{cb} \\ V_{td} & V_{ts} & V_{tb} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \left| d \right \rangle \\ \left| s \right \rangle \\ \left| b \right \rangle \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \left| d' \right \rangle \\ \left| s' \right \rangle \\ \left| b' \right \rangle \end{bmatrix}.</math>

Слева мы видим CKM-матрицу вместе с вектором сильных собственных состояний кварков, а справа имеем слабые собственные состояния кварков. ККМ-матрица описывает вероятность перехода от одного кварка q к другому кварку q' . Эта вероятность пропорциональна <math>\left| V_{qq'} \right| ^2.</math>

Величины значений в матрице были установлены экспериментально и равны приблизительно:

<math>\begin{bmatrix} 0,9753 & 0,221 & 0,003 \\ 0,221 & 0,9747 & 0,040 \\ 0,009 & 0,039 & 0,9991 \end{bmatrix}.</math>

Таким образом, CKM-матрица довольно близка к единичной матрице.

Подсчёт

Чтобы идти дальше, необходимо подсчитать количество параметров в этой матрице V, которые проявляются в экспериментах и, следовательно, физически важны. Если есть N поколений кварков (2N ароматов), то

1. комплексная матрица N×N содержит 2N² действительных чисел.
2. Ограничивающее условие унитарности ∑_k V_ikV^*_jk = δ_ij. Следовательно, для диагональных компонент (i = j) существует N ограничений, а для остающихся компонент — N(N − 1). Количество независимых действительных чисел в унитарной матрице равно N².
3. Одна фаза может быть поглощена каждым кварковым полем. Общая фаза ненаблюдаема. Следовательно, количество независимых чисел уменьшается на 2N − 1, то есть общее количество свободных переменных равно (N² − 2N + 1) = (N − 1)².
4. Из них N(N − 1)/2 — углы вращения, называемые кварковыми углами смешивания.
5. Оставшиеся (N − 1)(N − 2)/2 являются комплексными фазами, вызывающими нарушение CP-инвариантности.

Если число поколений кварков N = 2 (исторически такой была первая версия CKM-матрицы, когда были известны только два поколения), есть только один параметр — угол смешивания между двумя поколениями кварков. Он называется угол Кабиббо в честь Николы Кабиббо.

В Стандартной модели N = 3, следовательно, есть три угла смешивания и одна комплексная фаза, нарушающая CP-симметрию.

Наблюдения и предсказания

Идея Кабиббо появилась из-за необходимости объяснения двух наблюдаемых явлений:

1. переходы u↔d и e↔ν_e, μ↔ν_μ имели похожие амплитуды.
2. переходы с изменением странности ΔS = 1 имели амплитуды, равные 1/4 от амплитуд переходов без изменения странности (ΔS = 0).

Решение Кабиббо состояло в постулировании универсальности слабых переходов, чтобы решить проблему 1, и угла смешивания θ_c (теперь называемого углом Кабиббо) между d- и s-кварками, чтобы решить проблему 2.

Для двух поколений кварков нет нарушающей CP-симметрию фазы, как было показано выше. Поскольку нарушение CP-симметрии наблюдалось в распадах нейтральных каонов уже в 1964 году, появление немногим позже Стандартной модели было ясным сигналом о третьем поколении кварков, как было указано в 1973 году Кобаяси и Масукавой. Открытие b-кварка в Фермилабе (группой Леона Ледермана) в 1977 г. немедленно привело к началу поисков ещё одного кварка третьего поколения — t-кварка.

Универсальность слабых переходов

Ограничение по унитарности CKM-матрицы для диагональных компонент может быть записано как

<math>\sum_j |V_{ij}|^2 = 1</math>

для всех поколений i. Это предполагает, что сумма всех связей кварка u-типа со всеми кварками d-типа одинакова для всех поколений. Никола Кабиббо в 1967 году назвал это соотношение слабой универсальностью. Теоретически, это следствие того факта, что все дублеты SU(2) взаимодействуют с векторными бозонами слабых взаимодействий с одинаковой константой связи. Это подтверждено во многих экспериментах.

Треугольники унитарности

Оставшиеся ограничения по унитарности ККМ-матрицы могут быть записаны в форме

<math>\sum_k V_{ik}V^*_{jk} = 0.</math>

Для любых фиксированных и различных i и j это ограничение накладывается на три комплексных числа, одно для каждого k, что означает, что эти числа являются вершинами треугольника на комплексной плоскости. Существует шесть вариантов i и j, поэтому и шесть таких треугольников, каждый из которых называется треугольником унитарности. Их формы могут быть очень разными, но они все имеют одинаковую площадь, которую можно отнести к нарушающей CP-симметрию фазе. Площадь исчезает для специфических параметров в Стандартной модели, для которых нет нарушения CP-симметрии. Ориентация треугольников зависит от фаз кварковых полей.

Поскольку как три стороны, как и три угла каждого треугольника могут быть измерены в прямых экспериментах, проводится серия тестов для проверки замкнутости треугольников. Это задача для таких экспериментов, как японский BELLE, калифорнийский BaBar и эксперимент LHCb проекта LHC.

См. также

• Стандартная модель (основы) и нарушение CP-инвариантности.
• Квантовая хромодинамика, аромат и сильная CP-проблема.
• PMNS-матрица, эквивалентная матрица смешивания для нейтрино.

Ссылки

• [www.ihst.ru/personal/tomilin/book/ Томилин К. А. Фундаментальные физические постоянные в историческом и методологическом аспектах.] М.: Физматлит, 2006, 368 с, страница 153. (djvu)
• Griffiths, David J. Introduction to Elementary Particles. — Wiley, John & Sons, Inc, 1987. — ISBN ISBN 0-471-60386-4.
• Povh, Bogdan et al., (1995). Particles and Nuclei: An Introduction to the Physical Concepts. New York: Springer. ISBN 3-540-20168-8
• CP violation, by I.I. Bigi and A.I. Sanda (Cambridge University Press, 2000) [ISBN 0-521-44349-0]
• [pdg.lbl.gov/2004/reviews/cpviolrpp.pdf Particle Data Group on CP violation]
• The [www-public.slac.stanford.edu/babar/ Babar] experiment at SLAC and the [belle.kek.jp BELLE] experiment at KEK Japan
• [prola.aps.org/abstract/PRL/v10/i12/p531_1 N. Cabibbo, Phys. Rev. Lett. 10 (1963) 531.]
• [www.slac.stanford.edu/spires/find/hep/www?j=PTPKA,49,652 M. Kobayashi and K. Maskawa, Prog. Theor. Phys. 49 (1973) 652.]