Аксиома
Аксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα — утверждение, положение), постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами[1].
Необходимость в принятии аксиом без доказательств следует из индуктивного соображения: любое доказательство вынуждено опираться на какие-либо утверждения, и если для каждого из них требовать своих доказательств, цепочка получится бесконечной. Чтобы не уходить в бесконечность, нужно где-то эту цепочку разорвать — то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные. Именно такие, принятые в качестве исходных, утверждения и называются аксиомами[2].
В современной науке вопрос об истинности аксиом, лежащих в основе какой-либо теории, решается либо в рамках других научных теорий, либо посредством интерпретации данной теории[3].
Аксиоматиза́ция теории — явное указание конечного или счётного, рекурсивно перечислимого (как, например, в аксиоматике Пеано) набора аксиом и правил вывода. После того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно на этих аксиомах и не опираться на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений.
Выбор аксиом, которые составляют основу конкретной теории, не является единственным. Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и евклидовой геометрии.
Набор аксиом называется непротиворечивым, если исходя из аксиом набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию, то есть доказать одновременно и некое утверждение, и его отрицание.
Австрийский математик Курт Гёдель доказал «теоремы о неполноте», согласно которым всякая система математических аксиом (формальная система), начиная с определённого уровня сложности, либо внутренне противоречива, либо неполна (то есть в достаточно сложных системах найдётся хотя бы одно высказывание, ни истинность, ни ложность которого не может быть доказана средствами самой этой системы)[4].
- Примеры аксиом
- Аксиома выбора
- Аксиома параллельности Евклида
- Аксиома Архимеда
- Аксиома объёмности
- Аксиома регулярности
- Аксиома полной индукции
- Аксиома Колмогорова
- Аксиома булеана
- Примеры систем аксиом
- Аксиоматика теории множеств
- Аксиоматика вещественных чисел
- Аксиоматика Евклида
- Аксиоматика Гильберта
История
Впервые термин «аксиома» встречается у Аристотеля (384—322 до н. э.) и переходит в математику от философов Древней Греции. Евклид различает понятия «постулат» и «аксиома», не объясняя их различия. Со времён Боэция постулаты переводят как требования (petitio), аксиомы — как общие понятия. Первоначально слово «аксиома» имело значение «истина, очевидная сама по себе». В разных манускриптах Начал Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, не совпадает их порядок. Вероятно, переписчики придерживались разных воззрений на различие этих понятий.
Отношение к аксиомам как к неким неизменным самоочевидным истинам сохранялось долгое время. Например, в словаре Даля аксиома — это «очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств».
Сейчас аксиомы обосновываются не сами по себе, а в качестве необходимых базовых элементов теории. Критерии формирования набора аксиом в рамках конкретной теории часто являются прагматическими: краткость формулировки, удобство манипулирования, минимизация числа исходных понятий и т. п. Такой подход не гарантирует истинность принятых аксиом.[1] В соответствии с критерием Поппера, лишь опровергающий пример опровергает теорию и, как следствие, доказывает ложность системы аксиом, при этом множество подтверждений теории делает верность системы аксиом лишь весьма вероятной.
См. также
- Догмат
- Концепция
- Логика
- Гипотеза
- Формализм (математика)
- Теорема Гёделя о неполноте
- Система отсчёта
- Факт
- Теорема
- Теория множеств
- Теория категорий
Литература
- Начала Евклида. Книги I—VI. М.-Л., 1950
- Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л., 1948
Ссылки
- Аксиома // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Примечания
- ↑ 1 2 [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_philosophy/37/АКСИОМА Энциклопедический словарь. — М.: Гардарики. Под редакцией А. А. Ивина. 2004.]
- ↑ Клайн Морис. «Математика. Утрата определённости.» — М.: Мир, 1984.
- ↑ Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983.
- ↑ Статья [elementy.ru/trefil/21142 «Теорема Гёделя о неполноте»] на сайте «Элементы»